广东省佛山市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一、
项是符合题目要求的．
1. 下列关系中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.
【详解】易知为有理数，可得，即 A 正确；
易知，即 B 错误；
而 0 不是正整数，所以，即 C 错误；
显然不是整数，即，可得 D 错误；
故选：A
2. 如果集合中只有一个元素，则实数 m 的值为（）
A. 1 B. 2 C. 0 或 2 D. 1 或 2
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数 m 的值.
【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元
素.
当时，方程是一元二次方程.
因为集合有且只有一个元素，
所以 .解得 .
综上，实数的值为或 .
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故选：C.
3. 满足 ⫋ 的集合 A 的个数为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合之间的关系直接得出结果.
【详解】集合 A 可以是，共 3 个.
故选：B.
4. 已知全集，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合运算直接求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以 .
故选：D
5. 广州奥林匹克中学第 5 届（总第 35 届）学校运动会于 2024 年 11 月 7 日至 8 日在车陂路校区和智谷校区
同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有 28 名学生参加比赛，其中有 15 人参加田
赛比赛，有 14 人参加径赛比赛，有 8 人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛有 3 人，同时参加田赛
和径赛比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人.
A. 3 B. 9 C. 19 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】解：设只参加射击的人数为 x，同时参加射击和径赛比赛的人数为 y，只参加径赛的人数为 z，作
出韦恩图，如图所示：
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则由韦恩图得：
，解得，
所以只参加一项比赛的有人.
故选：C
6. 已知 a，，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】由推不出，例如，；由可得，或
，，当，时不能推出，例如，，所以“ ”是
“ ”的既不充分也不必要条件.
7. 下列命题不正确的是.
A.
B.
C.
D.
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【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐个对选项进行判断，B 项通过特例法能推出不成立
【详解】根据不等式的性质可判断选项 A、C、D 中的命题正确；
对于 B 项，若，则推不出，
即命题不正确，
所以答案选 B
【点睛】对于简单的不等式判断的题型，需要结合基本性质进行判断
8. 定义集合的一种运算：，若，，则
中的元素个数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为 3，
故选：C.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分）
9. 下列命题中是真命题的有（）
A.
B.
C. “ ”是“ ”的充分不必要条件
D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
【答案】ABC
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【解析】
【分析】对 A 配方即可判断；对 B，求解方程即可判断；对 C，解出一元二次不等式即可判断；对 D，根
据菱形和正方形关系即可判断.
【详解】对于 A 项，因为，所以，此命题为真命题，A 正
确；
对于 B 项，由，解得或 1，所以命题“ ”为真命题，B 正确；
对于 C 项，由，解得或，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，C 正确；
对于 D 项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立，
但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D 错误，
故选：ABC.
10. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】作差判断 A；举例说明判断 BD；利用不等式性质判断 C.
【详解】，
对于 A，，则，A 正确；
对于 B，取，满足，而，B 错误；
对于 C，，因此，C 正确；
对于 D，，取，满足，而，D 错误.
故选：AC
11. 下列命题中正确的是（）
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A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项.
详解】对于 A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号，
所以时，，故当时，为真命题，即 A 正确；
对于 B，显然时，有，故 B 错误；
对于 C，易知，当且仅当时取得等号，
所以当时，，命题时，为真命题，
故 C 正确；
对于 D，易知，当且仅当时取得等号，
所以当时，，命题时，为真命题，
故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知集合，，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定的元素与集合关系列式，再结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】由集合，，得或，
当时，，此时，不符合题意；
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当时，显然，解得，
则集合，符合题意，故 .
故答案为：1
13. 不等式的解集为__________．
【答案】R
【解析】
【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集.
【详解】开口向上，，
二次函数图象在轴上方，故不等式解集为 R.
故答案为：R
14. 若正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为 .
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 57 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）比较与的大小．
（2）已知，，比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）作差法得出差值为负；
（2）作差并因式分解得出即可判断正负.
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【详解】（1）因为
，
所以；
（2），
因为，，
所以，，
所以，
所以．
16. 已知不等式在 R 上恒成立，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】当时，原不等式为，在 R 上恒成立，所以满足题意；
当时，不等式在 R 上恒成立，
则，解得，
综上，的取值范围为，
17. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深 3m．若池底每平方米的造价为 180 元，
池壁每平方米的造价为 150 元，求建造该蓄水池的最低总造价．
【答案】21420 元
【解析】
【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等
式求解最值即可.
【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为，
设建造该蓄水池的总造价为元，
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则．
因为，当且仅当即时，等号成立，
所以，即建造该蓄水池的最低总造价是 21420 元．
18. 已知集合， .
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）的值为或
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果；
（2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，的值为或 .
【小问 2 详解】
对于集合， .
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想使，则，
此时，该方程组无解，
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综上的取值范围是 .
19. 设 .
（1）若，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；
（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不
等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问 1 详解】
若，则由，
解得，所以不等式的解集为 .
【小问 2 详解】
不等式，
即，
当时，，解得；
当时，则，解原不等式可得；
当时，，解原不等式可得或；
当时，原不等式即为，即恒成立；
当时，，解原不等式可得或 .
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
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当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为 .