湖南省九校联盟2026届高三（上）第一次联考（一模）数学试题（学生版）

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这是一份湖南省九校联盟2026届高三（上）第一次联考（一模）数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）
A. 2B. C. 4D. 8
3. 已知向量，则向量在上的投影向量为（）
A. B.
C. D.
4. 已知点满足，则的最小值为（）
A. 2B. C. D. 4
5. 下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
6. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（）
A. 16B. 24C. 32D. 48
7. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）
A. B. C. D.
8. 已知正实数满足和．则的值为（）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在平行六面体中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则平面
D. 若，则平面
10. 如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）
A. 与是相似椭圆B. 为中点
C. D. 为定值
11. 在中，是的中点，则下列结论正确的是（）
A. 可以是钝角三角形
B.
C. 若，则
D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知（为虚数单位，），则的值为___________．
13. 若数列满足，则___________．
14. 某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在锐角中，内角的对边分别是，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
16. 在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18. 张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．
19. 已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
（3）已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．