湖南省湘潭地区2026届高三（上）10月月考数学试题（学生版）

这是一份湖南省湘潭地区2026届高三（上）10月月考数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 14
4. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数是奇函数，则=（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
6. 在中，是边上一点，且，是的中点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A. 27种B. 36种C. 54种D. 72种
8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四点共面
B. 与异面
C.
D. RS与所成角为
10. 设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A，B互斥，则
B. 若，则A，B相互独立
C. 若A，B互斥，则A，B相互独立
D. 与相等
11. 已知是抛物线上一点.按如下方式依次构造点（）；过点作斜率为（）的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点.令.（ ）
A. 若，则
B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列
D. 设是的面积，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________．
14. 已知直线是曲线与的公切线，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．
16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的倾斜角为45°，求.
17. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号．
（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由；
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考：，，.
18. 已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
（1）求的方程；
（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
19. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数a的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；
（3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号
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利润/万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4