甘肃省西北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷试题及答案

这是一份甘肃省西北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷试题及答案，共18页。试卷主要包含了 直线的倾斜角是， 已知，，，则，5B， 若直线与平行，则与间的距离为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高二数学
命题人：江景 审题人：阮虎
一､单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率可确定直线的倾斜角.
【详解】由得，所以该直线的斜率为：.
设直线倾斜角为，则，且，所以.
故选：C
2. 已知，，，则（ ）
A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】依题意根据计算可得；
【详解】解：因为，，
则，所以事件与事件不相互独立，
．
故选：B
3. 若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（ ）
A. −8B. C. 10D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，
∴=a1•（a1+3×2），
化为2a1=-16，
解得a1=-8．
∴则S9=-8×9+ ×2=0，
故选D．
【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的一个法向量为，得到，写出直线方程.
【详解】因为直线的一个法向量为，
所以，
则直线l的方程为 ，即，
故选：C
6. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
7. 点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定直线所过的定点，然后确定d的最大值即可.
【详解】直线方程即，据此可知直线恒过定点，
当直线时，有最大值，
结合两点之间距离公式可得最大值为.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8. 曲线与直线有两个交点时，实数k取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图直线过定点，要有2个交点，直线要在,之间，求出两直的斜率可得结果
【详解】解：曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图：

直线过定点，设半圆的切线BE的切点为E，
则BC的斜率为．
设切线BE的斜率为，，则切线BE的方程为，根据圆心A到线BE距离等于半径得
，，
由题意可得，∴，
故选：A．
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点关于直线的对称点为
C. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确
故选：ABD
10. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A. 目标恰好被命中一次的概率为
B. 目标恰好被命中两次的概率为
C. 目标被命中的概率为
D. 目标被命中的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误.
【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，
在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；
在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；
在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确．
故选：BD．
11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，求出，, 即可判断；
对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断；
对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；
对于D，当时，可得，即可判断．
【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；
对于B，若，则，当时，，满足2，
所以，则是等比数列，B正确；
对于C，是等差数列，则，C正确；
对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.
故选：BC．
12. 已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形周长的最小值为
B. 最大值为
C. 若，则三角形的面积为
D. 若，则的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】首先设，
对于选项A，根据题意，表达四边形周长关于的函数，由的取值范围求函数的最小值可判断A错误；
对于选项B，根据等面积法，求出关于的函数关系，由的取值范围求函数的最大值可判断B错误；
对于选项C，根据题意，计算的底和高，求出面积判断C正确；
对于选项D，设动点，求出切线的方程与直线的方程，二者联立消去得到二者交点的轨迹是圆，的最大值为圆心与距离加半径，可判断D正确．
【详解】对于选项A，设，则，
则四边形周长为，则当最小时周长最小，又最小值为2，
所以四边形周长最小为，故A错误；
对于选项B，，即，
所以，因为，所以，故B错误；
对于选项C，因为，所以，即，所以，
，，，
所以三角形的面积为，故C正确；
对于选项D，设，,则切线的方程为，
又因为直线过点，代入可得化简得
设,同理可得，
因此点都过直线，即直线的方程为，
的方程为，
二者联立得，，
由①式解出，代入②式并化简得，
配方得，，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设其圆心为，所以的最大值为，故D正确．
故选：CD.
【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB选项，设变量，用分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D选项，设出动点，分别表达直线和的方程，联立消去，得到动点的轨迹，进一步求解答案.
三､填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
则该班成绩在内的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据测验成绩进行统计表，即可求得成绩在内的概率，得到答案.
【详解】根据测验成绩进行统计表，可得该班成绩在内的概率为.
故答案为：
14. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】
【详解】当时，；当时，；所以.
15. 已知a>0，，直线：，：，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
16. 已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
【解析】
【分析】
设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.
【详解】由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a,－a)，
又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴半径.
又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a,－a)到直线x－y－3＝0的距离，
∴，即，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
故答案为：.
四､解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边所在直线方程；
（2）边上中线AD所在直线的方程；
（3）边的垂直平分线DE的方程
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两点式求直线的方程；
（2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程；
（3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程.
【小问1详解】
因为直线经过B2,1和两点，
由两点式得的方程为，即
【小问2详解】
，，为的中点，
点的坐标为0,2，
又边的中线过点，两点，
由截距式得所在直线方程为，即 .
【小问3详解】
的斜率，则的垂直平分线的斜率，
由斜截式得直线的方程为，即．
18. 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.
【小问1详解】
设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
所以，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”的概率为；
【小问2详解】
设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以.
19. 已知圆的方程：．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线：交于，两点，且，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据圆的标准方程化简即可求得的取值范围；
（2）利用点到直线的距离及垂径定理即可解得.
【小问1详解】
由题意得：
方程，可化为，
此方程表示圆，
，即．
小问2详解】
圆的方程化为，圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为，
由于，则有，
，得，
20. 已知是递增的等比数列，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可；
（2）利用构造法求bn的通项公式，然后使用分组求和法可得.
【小问1详解】
记数列an的公比为，由题知，即，
解得或，
又an是递增的等比数列，所以，所以，
所以数列an的通项公式为.
【小问2详解】
当时，，得
当时，，整理得，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，得，
又，所以，
所以
21. 在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，.
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立.
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；
（2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，根据古典概型概率的计算公式，分别计算出乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，再计算出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.
【小问1详解】
设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
因为比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖，
甲以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，，，共次，
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
【小问2详解】
由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
乙以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，，共次，
故，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
丙以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，共次，
故，
则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率为：
.
22. 已知数列满足
（1）若，求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解答
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系分奇偶项讨论计算即可；
（2）结合（1）可得是以为首项，为公比的等比数列，计算可求数列an的通项公式；
（3）分为奇数与偶数，求得，进而分离变量，当为奇数时，可得，当为偶数时，，求得最小值即可.
【小问1详解】
由，
可得，
所以，
所以；
【小问2详解】
由，，所以，
结合（1）可得是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
又，解得，
所以，即；
【小问3详解】
当为偶数时，
，
令，
所以，
两式相减得，
所以，所以；
当为奇数时，
，
所以，；
因为对一切正整数恒成立，
当为偶数时，
，所以，
又，，
所以单调递增，所以，所以，
当为奇数时，
，所以，
又，
可得，
所以单调递增，故，所以，
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：数列通项公式的常用求法：(1)基本量计算法；(2)利用递推式叠加法；(3)利用递推式叠乘法；(4)构造等差等比数列法；恒成立问题常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．
分数段
频率
0.03
0.04
017
0.36
0.25
0.15