福建省福州市2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试卷试题及答案

这是一份福建省福州市2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试卷试题及答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三个向量m=(4，5，x)、p=(2，2，0)及n=(−2，0，4)共面，则x的值为（ ）
A．2B．1C．−1D．3
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为向量m，p，n共面，则m=yp+zn，
即(4，5，x)=y(2，2，0)+z(−2，0，4)，
所以2y−2z=42y=54z=x，
解得x=2，y=52，z=12.
故答案为：A.
【分析】根据共面定理有m=yp+zn，从而可得(4，5，x)=y(2，2，0)+z(−2，0，4)，据此列方程组求解即可.
2．已知直线l：2x−y−1=0，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A．12B．−1C．−12D．1
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线l：2x−y−1=0，
令x=0，得−y−1=0，即y=−1，
所以直线l在y轴上的截距为−1.
故答案为：B.
【分析】根据截距定义，令x=0即可得出直线l在y轴上的截距 .
3．已知圆心为(−2，1)的圆过点(0，1)，则该圆的标准方程是（ ）
A．(x+2)2+(y−1)2=4B．(x+2)2+(y−1)2=1
C．(x−2)2+(y+1)2=4D．(x−2)2+(y+1)2=1
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为(−2，1)的圆过点(0，1)，所以半径r=(−2−0)2+(1−1)2=2，所以r2=4，则该圆的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=4。
故答案为：(x+2)2+(y−1)2=4.
【分析】利用两点距离公式求出圆的半径长，再结合圆心坐标和半径长，从而求出圆的标准方程。
4．若向量m=(2，a，−4)，n=(1，2，b)，且m//n，则a−2b的值为（ ）
A．−1B．0C．6D．8
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】依题意，向量m=(2，a，−4)，n=(1，2，b)，且m//n，
通过观察横坐标可知m=2n，
所以a=2×2=4，−4=2b，b=−2，
所以a−2b=4+4=8.
故答案为：D
【分析】根据题意，得到m=2n，列出方程，即可求解.
5．点P为椭圆x25+y29=1上一点，F为焦点，则|PF|的最大值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵x25+y29=1，∴a2=9，b2=5⇒c2=4，
即a=3，c=2.
所以|PF|的最大值为a+c=3+2=5.
故答案为：C
【分析】根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解.
6．椭圆x22+y24=1的离心率是（ ）
A．2B．3C．22D．32
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆x22+y24=1，a2=4，b2=2，所以c2=2，
即e=c2a2=22.
故答案为：C
【分析】 直接利用椭圆的方程，求出a，c，即可得到椭圆的离心率.
7．两条平行直线2x−y+3=0和ax−3y+6=0间的距离为d，则a，d的值分别为（ ）
A．a=6，d=63B．a=6，d=55C．a=−6，d=55D．a=−6，d=63
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：∵两直线平行，∴a2=−3−1，求得a=6，
∴两直线2x−y+3=0和2x−y+2=0间的距离d=3−122+1=55.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行斜率相等求出a，再利用平行直线距离公式求解d.
8．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆C的方程为x225+y212=1，其左､右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|=6，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则|F1Q||F2Q|=（ ）
A．153B．54C．32D．53
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，椭圆C的方程为x225+y212=1，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|=6，
由椭圆定义可得|PF2|=2a−|PF1|=10−6=4，
由光学性质可知，PQ为∠F1PF2的角平分线，
所以|F1Q||F2Q|=|F1P||F2P|=64=32.
故答案为：C.
【分析】由角平分线定理以及入射光线与反射光线的关系即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知实数x，y满足圆C的方程x2+y2−2x=0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心（−1，0），半径为1
B．过点(2，0)作圆C的切线，则切线方程为x=2
C．yx+1的最大值是3
D．x2+y2的最大值是4
【答案】B,D
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系；圆的切线方程
【解析】【解答】解：对选项A：x2+y2−2x=0，即(x−1)2+y2=1，圆心为(1，0)，半径为r=1，故A错误；
对选项B：(2，0)在圆上，则(2，0)和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为x=2，
故B正确；
对选项C：yx+1表示圆上的点(x，y)到点A(−1，0)的斜率，如图所示：
当AB与圆相切时，斜率最大，此时|AC|=2，|BC|=1，故AB⊥BC，
故此时斜率最大为tan30°=33，故C错误；
对选项D：x2+y2表示圆上的点(x，y)到原点距离的平方，故最大值为(1+r)2=4，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将CD选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误D正确，得到答案.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(−2，0)，B(2，0)，点P满足PA、PB的斜率之积为−34，点P的运动轨迹记为C.下列结论正确的（ ）
A．轨迹C的方程x24+y23=1（x≠±2）
B．存在点P使得∠APB=900
C．点M(1，1)，F(1，0)，则|PF|+|PM|的最小值为4+5
D．斜率为2的直线与轨迹C交于Q，S两点，点N为QS的中点，则直线ON的斜率为−38
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图，
对于A，设点P的坐标为(x，y)，且A(−2，0)，B(2，0)，
因为PA、PB的斜率之积为−34，
所以kAP⋅kBP=yx+2⋅yx−2=−34(x≠±2)，
化简得点P的轨迹C方程为x24+y23=1(x≠±2)，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，a2=4，b2=3，c2=1，
若∠APB=900，则点P在以线段AB为直径的圆上，
以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在P满足∠APB=90°，B错误；
对于C，当点P 的坐标为(1，32)时，此时|PF|+|PM|=20，所以直线可化为−kx+y−1+2k=0，
假设d(B,l3)=|1||−3k−1−1+2k|1×k2+1=2，则3k2−4k=0，解得k=0或43．
所以存在直线l3的方程为y−1=0或4x−3y−5=0；
（3）当sinα=0时，直线l4:xcsα−2=0，
dF1,l4=−tcsα−2csα,dF2,l4=tcsα−2csα，
由dF1,l4⋅dF2,l4=(−tcsα−2)(tcsα−2)cs2α=1，整理得
4−t2cs2α=cs2α，∵sin2α+cs2α=1，∴t2=3，∵t>0，即t=3，
当sinα≠0时，直线l4:xcsα+2ysinα−2=0，
得dF1,l4=2sinα−tcsα−2(2sinα)cs2α+4sin2α,dF2,l4=2sinαtcsα−2(2sinα)cs2α+4sin2a，
由dF1,l4⋅dF2,l4=(tcsα−2)(−tcsα−2)cs2α+4sin2α=1，
即4−t2cs2α=cs2α+4sin2α=4−3cs2α，
4−t2cs2α=4−3cs2α或4−t2cs2α=3cs2α−4，解得
t2=3或(t2+3)cs2α=8，
由题意对任意的参数α都有dF1,l4⋅dF2,l4=1恒成立，所以t=3，
综上所述，存在实数t>0满足题目条件，即t=3