2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题-普通用卷

这是一份2022-2023学年福建省永泰县城关中学高二上学期期中考试数学试题-普通用卷，共15页。试卷主要包含了圆C1，设F1，F2是双曲线C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
A. 3n−2B. n2C. n2−2n+2D. n2+2n−2
2.若直线ax+by+c=0的倾斜角为120∘，则( )
A. a− 3b=0B. a+ 3b=0C. 3a−b=0D. 3a+b=0
3.已知F1，F2分别是椭圆x29+y2m=1(00的左、右焦点，直线l是双曲线C的一条渐近线，F2关于直线l对称的点为F2′，以F1F′2为直径的圆与直线l有公共点，则双曲线C的离心率的取值可能为( )
A. 54B. 43C. 2D. 2
12.若对任意的i,j∈N∗且i≠j，总存在n∈N∗，使得an=ai⋅aji+j≤n，则称数列an是“Ω数列”，关于“Ω数列”描述正确的是( )
A. 至少存在一个等比数列不是“Ω数列”
B. 至少存在两个常数列为“Ω数列”
C. 若an是“Ω数列”，则an+1也是“Ω数列”
D. 对任意的a∈N，1n+a总是“Ω数列”
13.已知直线l1：mx+3y+1=0与直线l2：2x+m+5y−4=0互相垂直，则它们的交点坐标为__________.
14.法国数学家费马于1640年提出了猜想：Fn=22n+1(n∈N)是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数，因为随着n的增大，Fn迅速增大，所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易，一直到1732年才被数学家欧拉算出F5=641×6700417，才证明费马的猜想是错误的.若数列an满足an=lg12Fn−1n∈N∗，则满足anb>0的离心率为 33，短轴长为2 6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，求△PAB面积的最大值.
21.在数列an中，a1=6，且an+1an+an+1=3an.
(1)证明：1an−12是等比数列.
(2)求数列nan的前n项和Sn.
22.已知圆W经过A(3,3),B(2,2 2),C(2,−2 2)三点．
(1)求圆W的方程．
(2)若经过点P(−1,0)的直线l1与圆W相切，求直线l1的方程．
(3)已知直线l2与圆W交于M，N(异于A点)两点，若直线AM,AN的斜率之积为2，试问直线l2是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式，属于基础题.
观察为平方数数列，即可得出结果.
【解答】
解：由题意，依次点数为1、4、9、16，为完全平方数，故an=n2.
故选：B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
由倾斜角与斜率的关系求解.
【解答】
解：由题意得k=−ab=− 3，则a− 3b=0，
故选：A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的焦点三角形问题，属于基础题.
利用椭圆的几何性质求解即可.
【解答】
解：因为P是椭圆上一点，
所以△PF1F2的周长=PF1+PF2+F1F2=2a+2c=8，
由椭圆方程得2a=6，又a2=b2+c2，
解得b=2 2c=1，
所以m=b2=8，
故选：C
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
判断两圆的位置关系即可得答案.
【解答】
解：因为圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0变形为C1:x+12+y−12=1，
所以圆C1的圆心为−1,1，半径为r=1，
圆C2:x2+y2−2x−6y+6=0变形为圆C2:x−12+y−32=4，
所以圆C2的圆心为1,3，半径为R=2，
因为R−r=10，
∴直线ax+by+c=0斜率k=−ab0，b0，则D正确.
故选AD.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查数列的最大(小)项问题，是较易题.
由题知当n≤8时，an9时，an>0，进而根据题意求解即可得答案.
【解答】
解：因为2x2−13x−450,x1+x2=6−2tbt2+1,x1x2=b2t2+1.
kAM⋅kAN=y1−3x1−3⋅y2−3x2−3=tx1+b−3tx2+b−3x1−3x2−3
=t2x1x2+(tb−3t)x1+x2+b2−6b+9x1x2−3x1+x2+9
=9t2+b2+6tb−18t−6b+99t2+b2+6tb−9=2，
则9t2+b2+6tb+18t+6b−27=0，
整理得(3t+b)2+6(3t+b)−27=(3t+b+9)(3t+b−3)=0，
解得b=−3t−9或b=−3t+3(舍去).
当b=−3t+3时，直线l2的方程为y=tx−3t+3，此时直线l2经过点A(3,3)，不符合题意，故舍去．
所以b=−3t−9，
故直线l2的方程为y=tx−3t−9，即y=t(x−3)−9，经过定点(3,−9).
综上所述，直线l2经过定点，且该定点的坐标为(3,−9).

【解析】本题考查求圆的一般方程，直线与圆的位置关系的判断及求参，属于拔高题.
(1)设圆的一般方程，代入A，B，C三点坐标列出方程组，即可求得圆的方程；
(2)由圆的方程可得圆心和半径，直线l1的斜率不存在时，不符合题意，故直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x+1)，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得直线的斜率，进而可得直线l1的方程；
(3)当直线l2斜率不存在时，不满足；当直线l2斜率存在时，设直线l2的方程为y=tx+b，与圆方程联立，得t2+1x2+(2tb−6)x+b2=0，由此利用判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件即可证明直线过定点