山西省山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

这是一份山西省山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
考试时间：120 分钟满分：150 分
一、选择题（本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的30% 分位数是（）
A．2.5B．3C．3.5D．4
复数 z  3  i 在复平面内对应的点所在的象限为（）
i
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
设集合 A  { x x 是等腰直角三角形}， B  { x x 是等腰三角形}， C  { x x 是等边三角
形}， D = { x x 是直角三角形}，则（）
C  A
D  A
C  B
D  B
若关于 x 的不等式 x2  px  q  0 的解集是{x | 1  x  2} ，则关于 x 的不等式
x2  px 12 
x  q
0 的解集是（）
{x | 3  x  2 或 x  4}
C．{x | 3  x  0 或2  x  4}
在V ABC 中，已知sin2 C 
B．{x | 3  x  2 或 x  4}
D．{x | x  2 或3  x  4}
2 sin B sin C  cs A  cs Bcs A  cs B ，则 A  （）
π
4
π
3
2π
3
3π
4
已知等差数列a ,b 的前n 项和分别为S ,T ，若 Sn  n ，则满足 an  1 的正整
T
nn
数n 有（）
n
n n2n  3
bn3
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
已知抛物线C : y2  2 px( p  0) 的焦点为 F ， A ， B 是抛物线上两点，且AFB  2π ，
3
| AB |
弦 AB 的中点M 在C 的准线的射影为 H ，则| MH | 的最小值为（）
A． 3
3
B．
C．
D．2
2
3
当函数 y  3sin x  4 cs x 取得最小值时， sin  2x  π   （）
6 
7  24 3
50
 7  24 3
50

 24  7 3
50
24  7 3
50
二、多选题（本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
2
已知双曲线C : x
6
m  0
y2
 1，则（）
m
6
双曲线C 的实轴长为2
双曲线C 的渐近线方程为 y   6mx
当双曲线C 的离心率等于其虚轴长时， m   6
23
已知a 是递增的等比数列，其前 n 项和为S ，若a = 3 , S = 19 ，则（ ）
nn2 234
a  1
a  a
 35
15316
S  65D．S  2 不是等比数列
48m
在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知
双曲正弦函数的解析式为sinh  x  ex  e x ，双曲余弦函数的解析式为csh  x  ex  e x
22
（其中e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
sinh  x  y   sinh  xcsh  y   csh  xsinh  y 
函数 f  x  csh  xsinh  x 为奇函数
若直线 y  m 与函数 y  csh  x 和 y  sinh  x 的图象共有三个交点，这三个交点的横
坐标分别为 x1 , x2 , x3 ，则 x1  x2  x3  ln 1 2 
若存在t 0, ln 3，关于 x 的不等式sinh t   csh  x  m 恒成立，则实数m 的取值范
围为 , 7 
3 

三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
已知向量 →  0,1, b  1, k  ，若向量 →  b 在向量a 上的投影向量为 3 → ，则k .
aa a
2
若函数 f  x  x ln x  3a x2 在区间(0, ) 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围
2
是．
如图，在四面体 A  BCD 中， BAC  60 ， AD  AC ， AB  AD ，
AB  AC  AD  4 .点 P ，Q 分别在侧面 ABC 和棱 AD 上运动，PQ  2, M 为线段 PQ 中点，当 P, Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥 A  BCD 分成上、下两部分的体积之比等于.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
已知函数 f  x  2 3sinxcsx  2cs2 x 1．
求函数 f  x 的周期和其图象的对称轴方程；
当 x  0, 5π 时，求 f  x 的值域．
12 
2
已知椭圆C : x
a2
2
2
y
 1(a  b  0) ， a  2 ，且C 的离心率为.
b22
求C 的标准方程；
14
若 A3,0 ，直线l : x  ty 1(t  0) 交椭圆C 于 E, F 两点，且△AEF 的面积为的值.
，求t
在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD ∥ BC ， AB  AD ， PA  平面
ABCD ， AP  AD  2 AB  4BC .
求证：平面 PAC  平面 PBD ；
若 AM  平面 PCD 于点M ，求二面角M  AD  P 的余弦值.
已知函数 f  x  ax  c  b ln x （ a ， b ， c  R ）.
x
当a  b  1 ， c  2 时，求函数 f  x 的最小值；
当a  c  1 时，若 f  x 存在两个极值点 x1, x2 ，求证：
xxb2
b2
eb
eb
f (e 1 )  f (e 2 )  2  () ；
24
设a ，b 为函数 f  x 的极值点，且a  b ，若a ，b ，c 是一个三角形的三边长，求a  b  c
的取值范围.
(参考： ( 5 1)3  2 ( 5 1) 1  0 )
22
某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满 100 元，可获得 1 张奖券；
②每张奖券可以进行 1 次抽奖活动，即从装有 4 个白球、2 个红球的盒子中，随机摸取 1
个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品 1 份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取 1 个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得 2 份礼品（即该顾客将 2 个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第 2 张奖券抽奖，中奖"的概率；
顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2 份礼品时，共使用了 3 张奖券”的概率；
顾客丙消费了 1000 元，设 X 表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出 X
1 9 4 n 2 n  4 9 2 9 
的分布列并证明期望 E  X   2  n   5    3   10  2  5    3   .
n1
   
   
ft西大学附中
2025～2026 学年第一学期高三 10 月模块诊断
数 学 试 题
考试时间：120 分钟满分：150 分
一、选择题（本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的30% 分位数是（）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义求30% 分位数.
【详解】由10  30%  3 ，结合已知数据从小到大， 30% 分位数是第 3、4 位两个数字的平均数，
所求分位数为
3  4
2
 3.5 .
故选：C
复数 z  3  i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
i
【答案】C
【分析】根据复数的除法确定复数 z ，即可判断其对应的点所在的象限.
【详解】由 z  3  i  3  ii  1 3i ，可得复数 z 在复平面内对应的点为1, 3 ，
i
ii
所在的象限为第三象限.
故选：C
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
设集合 A  { x x 是等腰直角三角形}， B  { x x 是等腰三角形}， C  { x x 是等边三角形}， D = { x x 是直角三角形}，则（ ）
C  A
D  A
C  B
D  B
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断.
【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故 B 错误；等边三角形都是等腰三角形，故C  B ，故 C 正确；
等边三角形都不是等腰直角三角形，故 A 错误；直角三角形不一定是等腰三角形，故 D 错误.
故选：C
若关于 x 的不等式 x2  px  q  0 的解集是{x | 1  x  2} ，则关于 x 的不等式
（ ）
x2  px 12
x  q
0 的解集是
{x | 3  x  2 或 x  4}
C．{x | 3  x  0 或2  x  4}
{x | 3  x  2 或 x  4}
D．{x | x  2 或3  x  4}
【答案】B
【分析】由条件确定 p  1, q  2 ，将原不等式转换成 x  3 x  4 x  2  0 ，即可求解.
【详解】由题意可得， x2  px  q   x 1 x  2  x2  x  2 ，即 p  1, q  2 ，
则有
x2  px 12  x2  x 12 
x  q
x  2
0 ，
即x2  x 12 x  2   x  3 x  4 x  2  0 ，解得3  x  2 或 x  4 ，
即解集为{x | 3  x  2 或 x  4}
故选：B
在V ABC 中，已知sin2 C 
sin B sin C  cs A  cs Bcs A  cs B ，则 A  （ ）
π
4
π
3
2π
3
3π
4
【答案】D
【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角 A.
【详解】因为sin2 C  2 sin B sin C  cs A  cs Bcs A  cs B
 cs2 B  cs2 A  1 sin2 B  1 sin2 A  sin2 A  sin2 B ，由正弦定理得： c2  2bc  a2  b2 ，
由余弦定理， cs A 
b2  c2  a2
2bc
 
2
2
，
又 A 为三角形内角，所以 A  3π .
4
故选：D
已知等差数列a ,b 的前n 项和分别为S ,T ，若 Sn  n ，则满足 an  1 的正整数n 有（ ）

nnn n
Tn2n  3
bn3
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】C
2n 1
整理得6n  3  4n 1 ，所以n  2 ，故符合条件的n 可取 1，2，
故选：C．
2(2n 1)  34n 1

，
又
S2n1 T2n1
2n 1a1  a2n1 

2
2n 1b1  b2n1 
2

2n 1 an an
2n 11
2n 1bn

bn
，所以
4n 13

，

【分析】利用等差数列性质得S 2n 1 a ,T
2n1
n 2n1
 2n 1 b

，由
a1
n
n
b3
2n 1
即可求解.
n
【详解】由
Sn
Tn2n  3

n
，得
S2n1 T2n1

已知抛物线C : y2  2 px( p  0) 的焦点为 F ， A ， B 是抛物线上两点，且AFB  2π ，弦 AB 的中点M 在
3
| AB |
2
3
C 的准线的射影为 H ，则| MH | 的最小值为（ ）
A． 3
3
B．
C．
D．2
2
3 ，
1 a  b
3 a  b
 2 
AB
MH
当且仅当a  b 时取等号，∴
，
3 a  b
2
 AB 
3a  b2
4
 ，∴ AB 2 
2

 a  b 2
又∵ ab  
3
在△ABF 中， AB 2  a2  b2  2ab  cs 2π  a2  b2  ab  a  b2  ab ，
2
在梯形 ABPQ 中，有 MH  1 a  b ，
根据抛物线的定义，可知 AF  AQ ， BF  BP ，
【答案】C
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段 MH ，解三角形得到线段 AB ，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设 AF  a 、 BF  b ， A ， B 在准线的射影分别为Q, P ，如图所示，
| AB |
故| MH | 的最小值为 3 .
故选：C
当函数 y  3sin x  4 cs x 取得最小值时， sin  2x  π   （ ）
6 
7  24 3
50
 7  24 3
50

 24  7 3
50
24  7 3
50
5
故选：A.
50
3  24  1  7  7  24 3 .
225225
2
3 sin 2x  1 cs 2x 
2


6 
25
25
所以sin 2x  24 ， cs 2x  7 ，故sin  2x  π  
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数 y  3sin x  4 cs x 转化为单一三角函数形式，找到最小值对应的相位角，
sin x  csθ  3 .
5
2
2
当 x θ  π  2kπ, k  Z 时， y 取最小值，此时 x  θ π  2kπ, k  Z ，故cs x  sinθ  4 。
5
5
【详解】 y  3sin x  4 cs x  5sin(x θ) ，其中csθ 3 ， sinθ 4 .


6 
再利用和角公式计算sin  2x  π  的值.
二、多选题（本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
2
已知双曲线C : x
6
m  0
y2
 1，则（ ）
m
6
双曲线C 的实轴长为2
双曲线C 的渐近线方程为 y   6mx
当双曲线C 的离心率等于其虚轴长时， m   6
6
6  m  4m ，解得
6
2
 4b ，所以
a2  b2
a2
 2b ，则
a2  b2
a2
选项 D：双曲线C 的离心率等于虚轴长时，
错误；
a
曲线C 的实轴长为2 6 ；双曲线C 的渐近线方程为： y   b x ，即 y   6m x .所以选项 B 正确，选项 C
 1a  0, b  0 ，知a  6, b  m .所以双
2
ab
y2
x2
选项 B、C：对照焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程： 2 
【答案】ABD
【详解】选项 A：依题意可得双曲线 C 的焦点在 x 轴上，所以m  0, 所以选项 A 正确；
23
23
故选：ABD.
m   6 .所以选项 D 正确.
已知a 是递增的等比数列，其前 n 项和为S ，若a = 3 , S = 19 ，（ ）
nn2 234
a  1
a  a
 35
15316
S  65D．S  2 不是等比数列
48m
【答案】AC
【详解】设an 的公比为q q  1 ，则由a2  0 ，an 递增，得q  1 ，
因为S  a 1 q  1  ，所以 3 1 q  1   19 ，解得q  3 或q  2 （舍去），
32 

q 

2 

q 

4
2
3
对于 A，
a  1
a
1
2
q
，故 A 正确；
对于 B， a  a qn1 
 3 n1
81 945
n1
 2 
 
， a5  a3 
16416

.故 B 错误；
对于 C， S 
a 1 q
1

n
n
1 q

1 
 3 n
 2 

1
3
2
 2 
 3 n
 2 
  2 ， S  2  2 ，故 C 正确；
81
65
4
16
8
对于 D，S  2  2 
 3 m
m
 2 1
 
，S  2  2  3 ，所以Sm  2 是首项为 3，公比为 等比数列，故 D 错误．
 3 1
 2 
3
 
2
故选：AC
在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为sinh  x 
ex  e x
2
（ ）
，双曲余弦函数的解析式为csh  x 
ex  e x
2
（其中
e为自然对数的底数），则下列说法正确的是
sinh  x  y   sinh  xcsh  y   csh  xsinh  y 
函数 f  x  csh  xsinh  x 为奇函数
若直线 y  m 与函数 y  csh  x 和 y  sinh  x 的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为
x1 , x2 , x3 ，则 x1  x2  x3  ln 1 2 
若存在t 0, ln 3，关于 x 的不等式sinh t   csh  x  m 恒成立，则实数m 的取值范围为 , 7 
3 

【答案】BCD
ex y  e x y
【详解】对于 A， sinh  x  y  ，
2
ex  e x
ey  e y
ex  e x
ey  e y
sinh  xcsh  y   csh  xsinh  y  ，
2222
化简后得
ex y  e x y
ex y  e x y
，故 A 错误；
22
对于 B， y  csh  x  ex  e x 的定义域为 R， csh x  e x  ex  csh  x ，所以 y  csh  x 是偶函数；
22
y  sinh  x  ex  e x 的定义域为 R， sinh x  e x  ex  sinh  x ，所以 y  sinh  x 是奇函数，
22
所以函数 f  x  csh  xsinh  x 为奇函数，故 B 正确；
对于 C，因为直线
y  m
与函数
y  csh  x 和
y  sinh  x
的图象共有三个交点，
y  sinh  x  ex  e x
在 R
2
上单调递增，即直线 y  m 与函数 y  sinh  x 只有一个交点，所以直线 y  m 与函数 y  csh  x 有两个交点，
ex  e x
2 ex  ex
x  0
因为 y  csh  x  1，当且仅当
22
ex3  e x3
时，等号成立，
所以m  1，即 x1  x2  0 ，
2
 1，解得ex3  1 2 ，
所以 x3  ln 1 2 ，则 x1  x2  x3  ln 1 2  ，故 C 正确；
对于 D， sinh t   csh  x  et  et  ex  e x ， t 0, ln 3，
22
令 g t   et  et ，则 gt   et  et  0 ，所以 g t  在0, ln 3 上单调递增，
则 g t 
2
minmax
 g 0  0, g t 
2
 g ln 3  4 ，
3
ex  e x
2 ex  ex
x  0
又csh  x  1，当且仅当
22
所以csh  x 最小值为 1，
时，等号成立，
因为存在t 0, ln 3，关于 x 的不等式sinh t   csh  x  m 恒成立，
所以m  sinh t   csh  x
max
 4 1  7 ，
33
所以m 的取值范围为 , 7  ，故 D 正确；
3 

故选：BCD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
已知向量 →  0,1, b  1, k  ，若向量 →  b 在向量a 上的投影向量为 3 → ，则k .
a
【答案】 1 /0.5
2
→
【详解】a  b  1, k 1 ，
a2 a
→→→→
→a  b  a a
1, k 1 0,1 →→
向量a  b 在向量a 上的投影向量为→
a
 → 
a12
a  k 1 a ，
→a3 →31
又向量a  b 在向量 上的投影向量为a ，故k 1  ，解得k  .
故答案为： 1
2
222
若函数 f  x  x ln x  3a x2 在区间(0, ) 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是．
2
1
【答案】(0, )
3
【详解】由题意，函数 f  x  x ln x  3a x2 ，可得 f  x  ln x 1 3ax ，
2
因为函数 f  x 在区间(0, ) 上有两个极值点，
即 f  x  0 在(0, ) 上有两个不等的实数根，
即3a  ln x 1 在(0, ) 上有两个不等的实数根，
x
即函数 g  x  ln x 1 和 y  3a 的图象有两个交点，
x
又由 g  x  ln x 1 ，可得 g x  ln x ，
xx2
当 x (0,1) 时， g x  0 ， g  x  单调递增；当 x (1, ) 时， g x  0 ， g  x  单调递减，
所以 g  xmax  g 1  1 ，且当 x  0 时， g  x   ，当 x   时， g  x  0 ，
所以0  3a  1 ，解得0  a  1 ，即实数a 的取值范围是(0, 1) .
33
1
故答案为： (0, 3) .
如图，在四面体 A  BCD 中， BAC  60 ， AD  AC ， AB  AD ， AB  AC  AD  4 .点 P ， Q 分别在侧面 ABC 和棱 AD 上运动， PQ  2, M 为线段 PQ 中点，当 P, Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥 A  BCD
分成上、下两部分的体积之比等于.
π
【答案】
48 3  π
【分析】根据已知证得 AD  AP ，即QAP  90 ，易知点M 的轨迹以 A 为球心的球面被三个平面
ABD, ACD, ABC 所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得.
【详解】由 AD  AC ， AB  AD ， AC  AB  A ， AC, AB  平面 ABC ，则 AD  平面 ABC ，由 AP ⊂平面 ABC ，则 AD  AP ，则QAP  90 ，而 PQ  2 ，故 AM  1 ，
则中点M 的轨迹以 A 为球心的球面（如图），被三个平面 ABD, ACD, ABC 所截，
体积为球体的 1 ，
12
所以上部分体积为
1
12 3
 π13 
4
π
，下部分体积为
9
V  1  4  1  42 sin 60  π  48 3  π ，
32
9
9
所以上、下两部分的体积之比等于
π
48 3  π
.
π
故答案为：
48 3  π
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
已知函数 f  x  2 3sinxcsx  2cs2 x 1．
求函数 f  x 的周期和其图像的对称轴方程；
当 x  0, 5π 时，求 f  x 的值域．
……5 分
令2x  π  π kπk  Z ，解得 x  π kπk  Z ．
62
32
……7 分
（2）因为0  x ，所以
5π
12
π
6
 2x 
π2π
63
……9 分
从而可知sin  π  sin  2x  π  sin π，
6 6 


2
因此1  f  x  2 ，故所求值域为1, 2．
……13 分

【详解】（1） f  x 
3sin2x  cs2x  2sin2x  cs2x  2sin 2x 

3
1


π
 2
2
2




6 

， ……3 分
所以T  2π  π；
12 
2
已知椭圆C : x
a2
2
2
y
 1(a  b  0) ， a  2 ，且C 的离心率为.
b22
求C 的标准方程；
14
若 A3,0 ，直线l : x  ty 1(t  0) 交椭圆C 于 E, F 两点，且△AEF 的面积为
，求t 的值.
1 2
3
t 2  2
122 4t 2  6
4t 2
2

12

可得 y1  y2 y  y 4 y
……10 分
，
y 

t 2  22t 2  2t 2  2
，
……12 分
设直线l 与 x 轴的交点为 D 1, 0 ，且 A3, 0 ，则 AD  1 3  4 ，……13 分
故SV AEF  2 AD  y1  y2  2 
1
2 4t 2  6
t 2  2
 14 ，解得t  2
.
……15 分
y2
【详解】（1）由题意得： a  2, e  c 
a
所以C 的标准方程为： 1 .
42
（2）由题意设 E  x1 , y1 , F  x2 , y2  ，
2 ，即c 
2
2, 则b2  a2  c2  2 ， ……3 分
x2
y2
……5 分
x  ty 1
联立 x2

 4  2  1
1 2
，消去 x 得： t  2 y  2ty  3  0 ，
2
2
……7 分
则Δ  4t 2 12 t 2  2  16t 2  24  0 ，
……8 分
则 y  y  
12
2t
t 2  2
, y y  
在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD ∥ BC ， AB  AD ， PA  平面 ABCD ， AP  AD  2 AB  4BC .
求证：平面 PAC  平面 PBD ；
AM  平面 PCD 于点M ，求二面角M  AD  P 的余弦值.
【详解】（1）在Rt△ABC 和Rt△ABD 中，
tan BAC  BC  1 ， tan ABD  AD  2 ，
AB2
AB
BAC 与∠ABD 互余，所以ABD  BAC  π ，即 AC ⊥BD .……2 分
2
又 PA  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ， PA  BD .
……3 分
又平面 PAC 中， AC  PA  A ，
 BD  平面 PAC ，……4 分
又 BD  平面 PBD ，平面 PAC  平面 PBD .……5 分
（2）Q AB ， AD ， AP 两两互相垂直，
分别以 AB ， AD ， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.……6 分
不妨设 BC  1 ，则 A0, 0, 0 ， C 2,1, 0 ， D 0, 4, 0 ， P 0, 0, 4 ，
 PC  2,1, 4 ， PD  0, 4, 4 .……7 分
Q点M 在平面 PCD 内，
设 PM  xPC  y PD ，……8 分
则 AM  AP  xPC  y PD  0, 0, 4  x 2,1, 4  y 0, 4, 4
 2x, x  4 y, 4  4x  4 y  ，……9 分
Q AM  平面 PCD ， AM  PC ， AM  PD ，

––––→ –––→

 AM  PC  4x  x  4 y 16 16x 16 y  21x  20 y 16  0
––––→ –––→，
 AM  PD  4x 16 y 16 16x 16 y  20x  32 y 16  0
x  12
17
解得

 y  1
17
，……11 分
––––→

 24 16 16 
M  24 , 16 , 16 
AM  
,, ，即
 17 17 17  ，……12 分
 17 17 17 
点M 到平面 PAD 的距离d  24 ，
117
点M 到棱 AD 的距离d2 
 24 2
 17 
 16 2
  17 
 8 13
17
，……13 分

设二面角M  AD  P 大小为θ，则sinθ d1 
d2
24
8 13
 3 13 ，……14 分
13
csθ
1 sin2θ 2 13 ，
13
即二面角M  AD  P 的余弦值为 2 13 .……15 分
13
（其他解法酌情给分）
已知函数 f  x  ax  c  b ln x （ a ， b ， c  R ）.
x
当a  b  1 ， c  2 时，求函数 f  x 的最小值；
xxb2
b1b2
e e  (1)  2  (
x
1
x
2
1
b2
2
eb
2
e ) .
b
1
b2
2
x
1
x
f (e )  f (e )  2
所以
，
b
e
1 1  0
2
eb
2
b 
1 a
……11 分
a4
c 

a2
1 a ，

，显然a  1，则
a2b  c
，即
a2b  c
a2  b(1 a)
a(a  b)  b
所以
b2

因为a ， b 为函数 f  x 的极值点，则ax2  bx  c  a(x  a)(x  b)  a[x2  (a  b)x  ab] ，
且 x  0 ，
x2
x
x2
bax2  bx  c
c

（3）由题设 f (x)  a 
……10 分
4
eb
……2 分

所以x1  x2  b  0 ，可得x1  x2  b ，
由 f  x 存在两个极值点x1 ， x2 ，则 x1, x2 是 x2  bx 1  0 在(0, ) 上的两个不同根，
Δ  b2  4  0
，
x2
x
x2
x
bx2  bx 1
1
1
（2）当a  c  1 时，则 f (x)  x  b ln x 且 x  0 ，可得 f (x)  1
当0  x  2 时 f (x)  0 ，当 x  2 时 f (x)  0 ，
所以 f ( x) 在(0, 2) 上单调递减，在(2, ) 上单调递增，所以 f (x)min  f (2)  3  ln 2 ；……4 分
b  2
，
x2
(x 1)(x  2)

x2
x
x2
1x2  x  2
2

则 f (x)  1
x
【详解】（1）当a  b  1 ， c  2 时， f (x)  x  2  ln x 且 x  0 ，
eb
1
2
x
e )(1) ，
1
x
b2
2
x
1
x
所以 f (e )  f (e )  (e 
……8 分
b2
12
ex1ex2
2
ex2
1
ex1
由 f (ex1 )  f (ex2 )  ex1  1  bx  ex2  1  bx  ex1  ex2  ( 1  1 )  b(x  x )  (ex1  ex2 )(1 1 )  b2 ，
 1 2
x x  1
 1 2
……6 分
x x  1

当a  c  1 时，若 f  x 存在两个极值点x ， x2 ，求证： f (e 1 )  f (e 2 )  2  ( e ) ；
12eb4
设a ， b 为函数 f  x 的极值点，且a  b ，若a ， b ， c 是一个三角形的三边长，求a  b  c 的取值范围.
(参考： ( 5 1)3  2 ( 5 1) 1  0 )
22
1 a1 a
)
32
a2a4
而a  b  c  a  a  a  a ，
……14 分
5 1 ，
2
2
2
2
6 ，故 1  a 5 1 时ϕ(a)  a3  2a 1  0 ，综上， 1  a 
3
5 1 
22
又 1 
……17 分
由 y  a3  a2  a 在( 1 ,
22
5 1 上单调递增，
)
……15 分
当a  1 ，则a3  a2  a  ( 1 )3  ( 1 )2  1  7 ，
2
2228
当a 5 1 ， a3  2a 1 ，则a3  a2  a  a2  3a 1  (
2
5 1)2  3
2
5 1 1 
2
5 1，
故 y ( 7 , 5 1) ，即a  b  c 的范围为( 7 , 5 1) .
8
8
2
由a  b ，则 a a  0 ，故
2
1 a
a
1 a
1  2a 1  0  1  a  1
1 a
2
，易知b  c ，
……12 分
由 ， b ， 是一个三角形的三边长，则a  c  b ，即a ，所以a3  2a 1  0 ，
a
c
a4a2
1 a1 a
令ϕ(a)  a3  2a 1且 1  a  1，则ϕ(a)  3a2  2 ，
当 1  a 
2
3
2
6 时ϕ(a)  0 ，当 6  a  1时ϕ(a)  0 ，
3
所以ϕ(a) 在( 1 , 6 ) 上单调递减，在( 6 ,1) 上单调递增，
23
3
ϕ(
5 1  (
5 1
2
)
2
)  2 (
3
5 1 1  0 ，ϕ(1)  0 ，
某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满 100 元，可获得 1 张奖券；
②每张奖券可以进行 1 次抽奖活动，即从装有 4 个白球、2 个红球的盒子中，随机摸取 1 个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品 1 份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取 1 个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得 2 份礼品（即该顾客将 2 个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第 2 张奖券抽奖，中奖"的概率； (2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第 2 份礼品时，共使用了 3 张奖券”的概率；
  .
  
 5  3  

 4 9 2 9 

  10  2 
  
 5  3  
 4 n 2 n 
 n  
2 n1
1 9
期望 E  X  
(3)顾客丙消费了 1000 元，设 X 表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出 X 的分布列并证明
【详解】（1）设事件 Aij  “甲使用第i 张奖券抽奖，中 j 次奖” i  1, 2, j  0,1, 2 ，则所求事件为 A10 A21  A10 A22  A11 A21 ，其概率为
P  A A
10 2110 2211 21
 A A
 A A   P  A A   P  A A
10 21
10 22
  P  A A   2  1  4  2  1  1  1  4  1  62 ．
11 21
3 3 53 3 53 5 5225
……3 分
 ， n  1, 2,L , 9 ，
……15 分
3
∴
P X  10  a


1010 
 b

 2 9 4 9 2 9 
 
3
 2 

     
  
5

  
 4 n1  2 n1 
3
1
 4 n 2 n 
3 55153
nn
 
 
   
55
3
  3 



25

   
  

 .
2
  
n 



10  2 

  
 4 9 2 9 
……17 分
n1   
5
3

   
5
10
 2 
 4 9 2 9
  
5
3
；
……16 分
∴

E X 

n1
n  P X  n 


1 9
 4 n 2 n 

4
……10 分
∴ a 
n 
 2 n1
 
3
，
……11 分
bb 
n
4
 2 n1
4
2  2 n
n1n
5153
 
 
……8 分
设事件 Bij  “乙使用第i 张奖券抽奖，中 j 次奖” i  1, 2, 3, j  0,1, 2 ，
则所求事件为 B11B20 B31  B10 B21B31  B10 B20 B32 ，其概率为 P  B11B20 B31  B10 B21B31  B10 B20 B32  
P  B11B20 B31   P  B10 B21B31   P  B10 B20 B32 
 1  4  4  1  2  1  4  1  2  2  1  1  364 ．
3 55 53 3 5 53 3 3 53375
由题意可知 X 的所有可能取值为 1，2，⋯，10．
当 X  9 时，表示顾客丙使用 X 张奖券将 2 个红球全部摸出；
当 X  10 时，表示顾客丙使用第 10 张奖券抽奖时盒子里有 1 个或 2 个红球．
……7 分
设事件“顾客丙使用第n 张奖券抽奖时盒子里有 2 个红球”的概率为an ，事件“顾客丙使用第n 张奖券抽奖时盒子里有 1 个红球”的概率为bn , n  1, 2,L,10 ，
则a  1， b  0 ， a
1
1
n1n
 2 a ，
3
b ，
b
n1
 4  b  1  4  a  4 b  4 a , n  1, 2,L, 9 ，
5
n
3 5
n5 n
15
 ， n  1, 2,L ,10 ，

  
3
 ，∴
b  2 
n

  
   3 
5
n 
……13 分
∴ 
P X  n   a  b 

1 1
1
1
 2 n1
4 
553
n
 
 
∴
b 3
n1 
 2 n1
2
 2 n 
 4 n1  2 n1 
 
3
b  3
5

