四川省德阳中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分.每小题的四个选项中只有一个是符合要求的.
1. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数除法运算求出 ，找出其对应点所在象限.
【详解】因为 ，所以 ，
所以复数 在复平面内对应点 ，位于第四象限.
故选：D.
2. 如图， 是水平放置的 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知 为坐标原点，顶点 、
均在坐标轴上，且 的面积为 12，则 的长度为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求得原图形三角形中 的值，再根据斜二测画法的规则进而求得 .
【详解】画出 的原图为直角三角形，且 ，
因为 ，所以 ，所以 .
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故选：B
3. 已知一组数据为 ，则这组数据的 分位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合百分位数定义即可求解.
【详解】数据从小到大排序为： ，共 8 个，则 ，
则这组数据的 分位数是： .
故选：C
4. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解．
【详解】 ，在 上单调递增，
，故 ，所以 ，
，在 上单调递增，
，故 ，即 ，所以 ．
故选：D
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可.
【详解】由
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.
故选：C
6. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数奇偶性的定义得 为奇函数，利用函数单调性的性质得函数 在 上单调递增，
进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.
【详解】 的定义域为 ，因为 ，所以 是奇函数．
，则 在 上单调递增，
由 0，可得 ，即 ．
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：D.
7. 在 中，内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 为等腰三角形
B. 若 ，则 解的个数为 2
C. 若 为锐角三角形，则 .
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】A 选项，根据条件得到 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；B
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选项， ，故 无解，B 错误；C 选项，由正弦函数单调性得到 ；
D 选项，由向量数量积公式和余弦定理得到答案.
【详解】A 选项， ，则 或 ，
所以 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
B 选项， ，则 ， ，
故 无解，B 错误；
C 选项，若 为锐角三角形，则 ，即 ，
其中 ，故 ，
又 在 上单调递增，所以 ，C 错误；
D 选项， ，
由余弦定理得 ，所以 ，D 正确.
故选：D
8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每
天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一年后是
；而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是 ；这样，一年后
的“进步值”是“退步值”的 倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，大约经过（ ）天.
（参考数据： ， ，
A. 9 B. 15 C. 25 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】设经过 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，根据题设可得 ，求解出 ，即可求解.
【详解】设经过 天“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，则 ，
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所以 ，
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 至少有一个实数 ，使
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 命题“ ”的否定是假命题
D. “集合 ”中只有一个元素是“ ”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】
【分析】由在实数范围内， 可得 A 错误；举反例可得必要性不成立，可得 B 正确；由全称与特称命
题的性质和二次函数的性质可得 C 错误；由集合 中只有一个元素可得 或 ，再由必要性可得 D 正
确；
【详解】对于 A，在实数范围内， ， ，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，充分性成立，
若 ，如 ，此时 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 B 正确；
对于 C，命题“ ”的否定是 ，
由二次函数的性质可得 开口向上， ，所以 恒成立，故 C 错误；
对于 D，若集合 中只有一个元素，
当 时， ；当 时，可得 ，
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所以必要性成立，故 D 正确；
故选：BD.
10. 在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为 1、2、3、4 的 4 个神秘书签，书签除编号外完全
相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（ ）
A. 第一张书签编号比第二张大的概率是
B. “两书签编号之和为 6”的概率是
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为 5”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为 5”的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项 A，求得不放回抽取总的方法数和第一张书签编号比第二张大的抽法数，利用古典概型
概率公式计算可判断；对于选项 B、C、D，利用列举法求出各事件包含的基本事件数，进而计算出相应概
率，最后结合事件独立性定义和概率加法公式进行判断即可.
【详解】选项 A，依次不放回地抽取两张书签有 ，
共 12 种，
第一张书签编号比第二张大的抽法有 共 6 种，
所以第一张书签编号比第二张大的概率是 ，故 A 正确；
选项 B，“两书签编号之和为 6”的有序数对为 和 ，共 2 种结果，
故“两书签编号之和为 6”的概率是 ，所以 B 错误；
选项 C，设事件 “抽到第一张书签编号为奇数”，事件 “两书签编号和为 5”，
对事件 ：第一张书签编号为奇数（1 或 3），有 2 种可能，
第二张书签编号无要求，共 种结果，所以 ；
对事件 ：两书签编号和为 5 的有序数对为 ，共 4 种结果，所以 .
因此事件 ：抽到第一张书签编号为奇数且两书签编号和为 5，有 ，共 2 种结果，
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所以 .
由于 ，
所以“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为 5”相互独立，故 C 正确；
选项 D，根据上述分析， ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 如图，在正三棱柱 中， ，M，N，D，Q 分别为棱 AB，AC， ， 的中点，
，则以下结论正确的是（ ）
A. 平面 QMN
B.
C. 点 Q 到平面 DMN 的距离为
D. 三棱锥 D－QMN 的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用线面平行判定定理判断 A；应用勾股定理计算判断 B；应用等体积法求出点 Q 到平面 的
距离判断 C；利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断 D.
【详解】由题， ，所以 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，A 正确；
由题可得， ，
设 ，易得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，
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故 ，B 错误；
因为 ，所以 ，得 ，
， 平面 ，得出 平面 ，
，
所以 ，
又 ，
设点 Q 到平面 的距离为 d，则 ，得 ，C 正确；
将三棱锥 补成以 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥 的外接球，
其球心 O 位于上下底面外心的中点， ，
故 的外接圆半径 ，
设外接球半径为 R，则 ，
所以三棱锥 的外接球表面积 ，D 正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ， ，若 ，则集合 子集的个数为____个.
【答案】8
【解析】
【分析】先求出集合 交集，再根据集合子集个数公式求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
所以集合 子集的个数为 .
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故答案为：8
13. 已知 、 ，且 是关于 的方程 的一个根， ______．
【答案】34
【解析】
【分析】利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得．
【详解】由 是关于 的方程 的一个根，
则 ，
整理得 ，
则 ，解得 ，
所以 ．
故答案为：34．
14. 已知函数 若实数 ， ， 满足 ，且 ，则
的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 作 出 函 数 的 图 象 ， 根 据 图 象 先 确 定 ， 再 由 函 数
确定出 的取值范围，再由 确定出 ，即可求解.
【详解】作出函数 的图象，如图，
当 时， ，
由图可知， ，即 ，
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得 ，则 .
由 ，即 ，得 ，求得 ，
，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或步骤.
15. 已知空间中三点 ， ， ．
（1）设 ，且 ，求 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1） 或 ．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件可知， ，结合向量共线的性质，结合模的公式，即可求解；
（2）根据三角形的顶点坐标，利用模长公式求边长以及夹角，最后代入三角形面积公式，即可求解.
【小问 1 详解】
由已知得 ．
因为 ，所以可设 ，
所以 ，解得 ，
所以 或 ．
【小问 2 详解】
由题可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
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所以 的面积 ．
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的值域；
（2）若函数 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可.
（2）求解 零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可.
【小问 1 详解】
化简函数 ，
利用恒等式 ， ， ，
得到：
，
当 时， ， 在 的值域为 ，
所以若 ，函数 的值域为 .
【小问 2 详解】
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令 ，解得 ，
则 或 ，
即 或 ，
在区间 内，前两个非负解为 ， ，后续解依次为 ， 等，
使 恰好有两个零点，需满足 ，
因此， 的取值范围为 .
17. 如图，在平行六面体 中， ,
,且点 F 为 与 的交点，点 E 在线段 上，且
（1）求 的长；
（2）设 ，求 x，y，z 的值.
（3） 与 所成角 余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设 ，利用条件求出 ，
结合图形用 表示 ，利用向量数量积的运算律计算即得 的长；
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（2）利用条件，将 用 线性表示，对照已知式，即得 x，y，z 的值；
（3）分别将 与 用 线性表示，求出 ， 和 ，再利用向量夹角的计算公式
计算，即得 与 所成角的余弦值.
【小问 1 详解】
设 ，因 ， ，
则 ，
因 ，
则
.
即 的长为 ；
【小问 2 详解】
由图可得：
，
因 ，故 ；
【小问 3 详解】
因 ，而 ，
则 ， ，
，
设 与 所成角为 ，则 .
即 与 所成角的余弦值为 .
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18. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一
次“奥运会”知识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 n 人，按年龄分成 5
组，其中第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，得到如图
所示的频率分布直方图.
（1）求 a 的值，并根据频率分布直方图，估计这 n 人的平均年龄；
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取 20 人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄 36），乙（ 年
龄 42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲、乙
两人至少有一人被选上的概率.
【答案】（1） ，平均年龄为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出 ，再利用平均数的公式即可求解；
（2）根据古典概型公式可得
【小问 1 详解】
由题意有： ， 解得 ，
设这 n 人的平均年龄为 ，
则 ；
【小问 2 详解】
（2）由题意得，第四组应抽取 人，记为 （甲）， ， ， ，
第五组抽取 人，记为 （乙）， ，
对应的样本空间的样本点为：
，共包含 15 个等可能的样本点
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设事件 为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则 ，共包含 9 个等可能的样
本点
所以 .
答：甲、乙两人至少有一人被选上的概率为 .
19. 如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ， .已知 分
别为 的中点，平面 与棱 交于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（3）判断线段 上是否存在一点 H，使得点 H 到平面 的距离为 ？若存在，请求出点 H 的坐标；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 或 .
【解析】
【分析】（1）先由条件证明 平面 ，再由 平面 得 ，由等腰三角形三线合
一证得 ，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明 平面 ，得到 ，再证
，求得 ，从而可得 ，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的
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法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得；
（3）假设线段 上存在一点 ，满足 ，表示出 的坐标，结合平面
的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得 的值，从而得到点 H 的坐标.
【小问 1 详解】
因 平面 ， 平面 ，则 ，
在正方形 中， ，因 平面 ，
则 平面 ，因 平面 ，则 ，
又 ，点 是 的中点，则 ，
因 平面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
由（1） 平面 ，因 平面 ，则 ，
因 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，
因 平面 ，则 ，
因点 是 的中点， ，则 ，
因 平面 ，则 平面 ，
因 平面 ，则 ，
因 平面 ，则 平面 ，
因 平面 ，则 ，即 .
由（1） 平面 ，因 平面 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，则 ，
因 ， ， ，则 ，即 .
以点 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
，
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设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ，
而平面 的法向量可取为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【小问 3 详解】
由（2）可得 ，则 ，假设线段 上存在一点 ，满足
，
代入坐标，可得 ，则 ，
由（2）已得平面 的法向量为 ，
则点 H 到平面 的距离 ，解得 或 ，
故点 的坐标为 或 ，
即在线段 上存在一点 H，使得点 H 到平面 距离为 ，其坐标为 或 .
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