安徽省鼎尖名校大联考2026届高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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满分：150分 考试时间：120分钟
命题学校：铜陵一中 审题学校：凤台一中 终审学校：霍邱一中
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】借助指数函数单调性解出集合后，利用集合交集定义计算即可得.
【详解】由题意可知，
，故的元素个数为.
故选：C.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题即可得答案.
【详解】全称命题否定：，.
故选：B.
3. 下列四个函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的定义，再借助导数判断函数的单调性即可.
【详解】对于A，的定义域为，
，是奇函数，
又，在和上单调递增，在和上单调递减，故A错误；
对于B，的定义域为，
，是奇函数，
又，在和上递增，函数在定义域上不单调递增，故B错误；
对于C，的定义域为，，是奇函数，
又，在和上递减，故C错误；
对于D，的定义域为，，是奇函数，
又，在上递增，故D正确.
故选：D.
4. 已知“”，“”，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，明确条件对应的集合，根据集合之间的包含关系确定的关系.
【详解】解不等式得；
解不等式得.
因为⫋，所以是的充分不必要条件.
故选：B
5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将原函数化简后可表示出该不等式，再分类讨论即可得.
【详解】，；
，
，
令，定义域为且，
要使，有如下两种情况：
①，解得，
②，解得，且
综上所述，不等式的解集为.
故选：C
6. 若为的一个极大值点，则的函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，结合条件得，在的附近区域有，在的附近区域有，再结合各个选项的图形，逐一分析判断，即可求解.
【详解】令，，
由于是的一个极大值点，故，①，
在的附近区域有，所以在的附近区域有②；
在的附近区域有，所以在的附近区域有③.
对于A，由导数的几何意义及图可知，时，，；
时，，，所以 A可能，
对于B，由导数的几何意义及图可知，，，，不符合②，所以B一定不可能，
对于C，由导数的几何意义及图可知，，，，不符合②，所以C一定不可能；
对于D，由导数的几何意义及图可知，，不符合①，所以D一定不可能，
故选：A.
7. 函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将有2个零点转化为函数与有2个交点的问题，再数形结合即可求解.
【详解】，图象如下：

又有2个零点相当于与有2个交点，
根据图象可得，故，
则实数的取值范围为.
故选：A.
8. 已知不等式的解集为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，根据一元二次不等式的解集及其根与系数的关系，可得，化简，构造函数，利用导数研究函数 的单调性即可求出其最大值.
【详解】根据题意，令，则可得，
，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
.
即的最大值为.
故选：D.
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 的增区间为B. 的减区间为
C. 的值域为D. 有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AB，根据对数型复合函数单调性计算；对于CD，根据对数函数性质判断.
【详解】令，解得或，
所以函数的定义域为，又在定义域内单调递减，
所以根据复合函数同增异减的性质可知，
的增区间为，的减区间为，故A错误，B正确；
因为当或时，的值域为，
所以的值域为，无最大值，故C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 的对称中心为
C. 有3个零点
D. 与有1个交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间和极值，进而得出的图象，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，直接求出的对称中心，即可求解.
【详解】因为，则，
令，得到，解得或，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
且，，其图象如图，
对于选项A，因为的单调递增区间为和，所以A正确，
对于B，因为，
又
即，所以关于点中心对称，
即的对称中心为，所以选项B正确，
对于C，由图可知，有且只有1个零点，所以C错误，
对于D，因为，所以与有1个交点，故D正确，
故选：ABD.
11. 设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则集合中还有另外两个元素
B. 集合中元素个数为3的倍数
C. 集合中所有元素之积为1
D. 若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB；求出所有元素积判断C；确定元素个数并求出所有元素判断D.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，（且），得，
令，得无解，即，同理，，
则，即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素，
对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合中元素个数为3的倍数，B正确；
对于C，，集合中互不生成的元素有个，则所有元素的积为，C错误；
对于D，依题意，集合中的元素个数应为3或6，由及
中有一个元素平方等于所有元素的积，得中应有6个元素，且其中一个元素为，
由，得，又，则另外三个元素和为，
即，解得，，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线，则曲线在点处的切线的倾斜角为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出导函数，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为，
所以切线斜率，
设曲线在点处的切线的倾斜角为，
则，解得.
故答案为：.
13. 已知，，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件得到，再利用基本不等式求和的最小值.
【详解】，，，
，当且仅当即，时取等号.
故答案为：
14. 直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则面积的最小值为____________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用导数的几何意义，设出直线，求出交点的横坐标，从而求出，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设，
由，得到，由，得到
所以由导数的几何意义得：，
，联立方程解得：
的面积，
令，所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合或，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解分式不等式，确定集合的范围，再根据集合的并集补集运算法则进行运算即可；
（2）先求解含绝对值不等式，确定集合的范围，再根据得到，根据集合间的关系得到不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，解不等式，
，即，等价于，
解得，所以，
所以或，
又，所以或
【小问2详解】
因为，解不等式，
，解得，所以，
因为 所以，所以或，
所以或，
综上，实数的取值范围为.
16. 已知函数，.
（1）若时，求函数在处的切线方程；
（2）若，且函数，讨论函数的单调性.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数及其导数，再分类讨论求出其单调性.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为.
【小问2详解】
依题意，，其定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：.
（1）当时，求出该函数模型的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）
（2）在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，总耗电量最少，最少为
【解析】
【分析】（1）代入表格中数据，通过解方程即可求出对应函数表达式；
（2）对高速路段和国道路段分别求出耗电量和速度的关系式，结合对勾函数和二次函数的性质分别求出最小值即可．
【小问1详解】
，
由表中数据可得，
解得，
．
【小问2详解】
高速路段长，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
，
国道路段，所用时间为，
则所耗电量为，
，当时，，
当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为．
18. 已知函数，.
（1）证明：函数的图象为中心对称图形；
（2）求的值；
（3）对于任意，都存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先计算定义域，再设出对称中心，验证是否满足即可得；
（2）计算可得，结合（1）中所得计算即可得；
（3）由题意可得在上的值域是在上值域的子集，分别计算两函数对应值域后，由包含关系列出不等式计算即可得.
【小问1详解】
，定义域，
设对称中心为，则需满足，，
，即，
函数的图象为中心对称图形且对称中心为；
【小问2详解】
由（1）知，又，
；
【小问3详解】
由题意可知，在上的值域是在上值域的子集，
在上单调递减，
且，，
时，，
，
在上单调递增，又，，
时，，
，
且，解得，
综上，实数的取值范围为.
19. 已知函数和函数__________有相同的最大值，请在以下的函数：①，②，③中选择一个函数填入横线中，并完成下列问题.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：存在实数，使函数，共有4个不相同的零点，按从小到大的顺序为，则.
【答案】（1）横线填②，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，利用导数判断函数的单调性，确定函数最值，再分别对①③②三个求导，利用导数判断函数单调性，进而判断函数是否存在最大值，由此即可确定②符合题意，确定的最大值，根据已知条件即可求；
（2）根据已知条件化简不等式得到，构造函数，对求导，分、和三种情况讨论的正负，判断函数的单调性，结合确定的取值范围；
（3）构造函数，，将与的零点相转化为与与的交点，分别对求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，根据函数解析式确定特殊点的函数值，画出函数的大致图象，利用数形结合的方法确定存在实数，使函数，共有4个不相同的零点，结合图象分和两种情况，应用相等关系以及基本不等式即可证明.
【小问1详解】
定义域为，，
令，解得，
若，在上，上，
所以有最小值无最大值，不满足题意，故，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，单调递减，
所以最大值为.
对于①，定义域，，
令，解得，因为
所以时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
所以无最大值，所以不满足题意.
对于③，定义域，因为
所以，恒单调递增；无最大值，
所以不满足题意.
对于②定义域，，
令，解得，因为，
所以时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减；
所以的最大值为，所以满足题意，
所以，解得.
【小问2详解】
因为，当时，，
所以，，且，整理得：，
即，，
令，
则，
（i）当时，，，单调递减，又，
所以当时，，，所以；
当时，，，所以，
所以满足题意；
（ii）当时，由于，，所以，
又，所以时，，而，
所以不满足题意；
（iii）当时，此时恒成立，故在上有，
此时恒成立，所以不满足题意.
综上所述，的取值范围为.
【小问3详解】
设，，
与的零点相当于与与的交点，
，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，，；
，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，，；
又，
所以、图如下：
设与相交于点，由图象可知：

①.当时，，
不妨设交点分别为：，，，
又
因为，所以，同理
所以，，所以，即，
因为、、、均大于零，
所以，所以得证；
②当时，将①中的、两点互换，即与互换，结论不变.
综上所述，得证，存在实数使题干要求成立.
0
20
40
80
0
2400
4400
12000