浙江省精诚联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可求解.
【详解】由，故A正确，，故B错误，，故C错误，，故D错误.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用命题的否定的定义求解即可.
【详解】由命题的否定的定义可得命题“”的否定是，故D正确.
故选：D
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域和对应关系逐一判断即可求解.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故A错误；
对于B：定义域都为，对应关系相同，所以和为同一个函数，故B正确；
对于C：与对应关系不同，故不是同一个函数，故C错误；
对于D：的定义域为，的定义域为，故不是同一个函数，故D错误；
故选：B
4. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求集合，由得，进而求的范围，即可求解.
【详解】由，所以，
又由有，所以，
所以，，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可.
【详解】因为，所以，
解得，故D正确.
故选：D
6. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，，
故选：C.
7. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意求出，，，将原不等式化为，进而求出解集即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以和是一元二次方程的解，且，
则由韦达定理得，，解得，，
即不等式可化为，
可得，解得或，
则不等式的解集为或，故C正确.
故选：C
8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解.
【详解】由函数的定义域为，所以，
所以的定义域为，所以，
则的定义域为，故A正确.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A当时，即可判断，对于B根据不等式的性质即可判断，对于C利用作差法即可判断，对于D当时即可判断.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：当时，所以，所以，所以，故C正确；
对于D：当时，，故D错误.
故选： BC.
10. 关于的不等式的解集可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据的情况，分类讨论，即可求解.
【详解】当时，，所以，故B正确；
当时，原不等式化为，
当时，，所以，所以不等式解集为，故D正确；
当时，，所以不等式的解集为，故C正确；
当时，，所以不等式的解集为，
当时，，所以不等式的解集为.
综上可得，关于的不等式的解集不可能为，故A错误.
故选：BCD
11. 已知二次函数在上有两个不同零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合题意并利用判别式得到判断A，利用得到判断B，结合对放缩，再结合二次函数性质判断C，将变形为，再结合基本不等式判断D即可.
【详解】设二次函数的零点为，且令，
对于A，因为二次函数在上有两个不同的零点，
所以，解得，故A正确，
对于B，因为二次函数在上有两个不同的零点，
所以，解得，故B错误，
对于C，由已知得，则，则，
因为二次函数在上有两个不同的零点，
所以，解得，且令，
由二次函数性质得在上单调递增，可得，
即得证，故C正确，
对于D，由韦达定理得，，
则
，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，解得，
同理可得，
当且仅当时取等，解得，
而，则，
即得证，故D正确.
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则等于_________________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数，先求，进而求解.
【详解】由题意有，
故答案为：.
13. 已知函数，则的值域为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】令得，利用一元二次函数即可求解.
【详解】令，则，所以，
所以，函数在上单调递增，
所以，所以，
故答案为：.
14. 已知，且满足，求的最小值为_______________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.
【详解】由题意得，
则由柯西不等式得，
可得，解得，
当且仅当时取等，此时，
可得的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交、并、补集运算即可求解；
（2）由得，解出即可求解.
小问1详解】
当时，，
，
或，
；
【小问2详解】
因为， 所以，
所以.
16. 求下列各式的最值
（1）求的最大值；
（2）当时，求的最小值；
（3）已知，求的最小值.
【答案】（1）
（2）4 （3）6
【解析】
【分析】（1）构造，利用二次函数性质求出，进而得到即可.
（2）对合理变形，再利用基本不等式求最值即可.
（3）对合理变形，再利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
令，则，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，可得.
【小问2详解】
由题意得，
因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为4.
【小问3详解】
而，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.
17. 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元
【解析】
分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；
（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.
【小问1详解】
由题意有销售额为，
所以当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
（2）当时，，
当时，万元，
当时，，当且仅当，
即时等号成立，万元，
即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
18. 已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得成立，求实数取值范围；
（3）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，解方程组即可求解；
（2）由（1）知等价于，即，令，利用单调性求出的最大值即可求解；
（3）由题意可得，即是方程的两个互异的正根，即，解出即可求解.
【小问1详解】
由题意有：，解得；
【小问2详解】
由（1）知等价于，
因为存在，使得成立，所以
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，故，
故实数的取值范围是；
【小问3详解】
由已知有：，依题意可得，
即是方程的两个互异的正根，
故，解得，
故实数c的取值范围是.
19. （1）设取大函数，若，则_________；
（2）设为正整数，，记
①当时，若，求的值；
②当时，设集合，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合Q中元素个数的最大值.
【答案】（1）；（2）①1；②4
【解析】
【分析】（1）根据题干定义直接计算即可；
（2）①利用的定义即可求解；②当时，根据相同时，是奇数，求得此时集合中元素所有可能取值，然后验证不同时，是偶数，由此确定集合中元素个数的最大值.
【详解】（1）由题意得，，
可得 ，
（2）①由题意得，
②当时，当相同时，为奇数，
所以中有3个1和1个0或者1个1和3个0，
当不同时，讨论情况如下，
（i）当中有3个1和1个0时，
元素为，
经验证是偶数，满足题意，
所以集合Q最多有4个元素，
（ii）当中有1个1和3个0时，
元素为，
经验证是偶数，满足题意，
集合Q最多有4个元素，
综上所述，集合中元素个数的最大值为4.