遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月检测 数学试题

这是一份遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月检测 数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，已知，，，则边（ ）
A．B．2C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在正四棱锥S−ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OC，则直线CD与平面PAC的夹角是（ ）
A．45∘B．90∘C．30∘D．60∘
6．在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线l经过点P(2，3)，且在x轴上的截距的取值范围是(－1，3)，则其斜率k的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－1，eq \f(1,3))
C．(－3，1)
D．(－∞，－1)∪(eq \f(1,3)，＋∞)
8．已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α 外，AB⊂α ,AC,BC与平面α 所成的角分别为45∘ ,30∘ ,AB=6，则点C到平面α 的距离为（ ）
A. 6B. 26C. 1D. 2
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，分别为的对边，（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为钝角三角形
10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．，使得
D．设与的夹角为，则
11．已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ）
A．该三棱柱既有外接球，又有内切球
B．三棱锥的体积是
C．直线与直线恒不垂直
D．直线与平面所成角的正弦值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，，，，则 .
13．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为 m.
14．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
16．已知平面内两点A(6,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)求过点P(2,-3)且与直线AB垂直的直线m的方程.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
18．如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD.△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO=66DO .
（1）证明：PA⊥ 平面PBC ；
（2）求二面角B−PC−E 的余弦值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】在中，，
由正弦定理，得.
故选D
2．【答案】D
【详解】直线的斜率为，
对应倾斜角为.
故选D.
3．【答案】C
【详解】根据，，，得到， 的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解.
【详解】如图所示：
因为，，，
所以的中点 ，分别为 ， 的外接圆的圆心，
所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，
所以，
所以球O的表面积为，
故选C
4．【答案】D
【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；
对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；
对于C，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；
对于D，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确.
故选D.
5．【答案】C
【解析】如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A0,−a,0，C0,a,0，D−a,0,0，S0,0,a，P(−a2，0，a2)，
则CA=0,−2a,0，AP=(−a2，a，a2)，CD=−a,−a,0.
设平面PAC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅CA=0，n⋅AP=0，
∴−2ay=0,−a2x+ay+a2z=0,可取n=1,0,1.
设直线CD与平面PAC的夹角为θ ，
则sinθ=|cs⟨CD,n⟩|=CD⋅nCDn=−a2a2×2=12，
又0∘≤θ≤90∘ ，∴θ=30∘ .故选C.
6．【答案】A
【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接，，
取，，的中点，连接，
所以，，
所以，

所以，
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，
因为，所以，
对上式两边同时平方可得：
（舍去）或，
解得，符合题意，
所以球的表面积为．
故选：A.
7．【答案】A
【详解】取x轴上的点M(－1，0)，N(3，0)，则kPM＝eq \f(3－0,2－（－1）)＝1，kPN＝eq \f(3－0,2－3)＝－3.
∵直线l与线段MN相交(不包含端点)，∴k＜－3或k＞1.
8．【答案】C
【解析】过点C作CH⊥α 于点H，连接AH,BH，则∠CAH=45∘ ，∠CBH=30∘ .
在Rt△CHA和Rt△CHB中，AC=CHsin45∘=2CH，BC=CHsin30∘=2CH.
又在Rt△ACB中,有AC2+BC2=AB2，即2CH2+4CH2=6，得CH=1.
即点C到平面α 的距离为1.故选C.
9．【答案】ACD
【分析】
A选项，利用正弦定理得到，证明出等腰三角形；B选项，利用正弦定理定理得到，从而或，即为等腰三角形或直角三角形；C选项，由正弦定理得到，求出；D选项，利用正切的和角公式得到，结合，得到，证明出为钝角三角形.
【详解】
A选项，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得：，即，
所以或，故或，
则为等腰三角形或直角三角形，B错误；
，由正弦定理得：，
又因为，所以，
因为，所以，所以，故，
因为，所以，C正确；
因为，
所以，即，
因为，所以，
结合，所以一负二正，所以为钝角三角形，
D正确.
故选：ACD
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；
对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；
对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；
对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BD
【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，
则，
，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.
B选项，设是的中点，则，，
根据正三棱柱的性质可知，，
由于平面，所以平面，
所以，B选项正确.
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，
则，设，
，
，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，
，
即，
所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.
故选：BD
12．【答案】
【详解】由正弦定理得：，则，
又因为，则，所以.
13．【答案】
【分析】画出示意图，在直角与直角中，求得，在中，利用余弦定理列出方程，即可求解.
【详解】如图所示，设炮台顶部为，两条船分别为，炮台底部为，
则，
在直角与直角中，可得，，
则，
在中，由余弦定理得 ，
即，
所以.
故答案为：
14．【答案】
【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
16．【答案】见详解
【详解】(1)因为A(6,-6),B(2,2),所以kAB=2−(−6)2−6=-2,因为直线l与直线AB平行,所以kl=kAB=-2,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为y+3=-2(x-2),即2x+y-1=0.
(2)由(1)知kAB=-2.
因为直线m与直线AB垂直,所以km=-1kAB=12,
又直线m过点P(2,-3),
所以直线m的方程为y+3=12(x-2),即x-2y-8=0.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，又，则，
所以，则.
（2）由题意，可得，又，则，
由余弦定理，有，则，
综上，的周长为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.
【详解】（1）证明：在四棱柱中，，故四边形是平行四边形
所以，
因为平面，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，
所以，
因为，所以，
所以，
故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为
即 令，则，
设直线与平面所成角为，
.
所以直线与平面所成角的正弦值是.
19．【答案】见解析
【详解】（1）设DO=a ,由题设可得PO=66a ,AO=33a ,AB=a ,PA=PB=PC=22a .
因此PA2+PB2=AB2 ，从而PA⊥PB .
又PA2+PC2=AC2 ,故PA⊥PC .
所以PA⊥ 平面PBC .
（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，|OE| 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz.
由题设可得E(0,1,0) ,A(0,−1,0) ,
C(−32,12,0) ,P(0,0,22) .
所以EC=(−32,−12,0) ,EP=(0,−1,22) .
设m=(x,y,z) 是平面PCE 的法向量，则
m⋅EP→=0,m⋅EC→=0, 即−y+22z=0,−32x−12y=0.
可取m=(−33,1,2) .
由（1）知AP=(0,1,22) 是平面PCB 的一个法向量，记n=AP .则cs⟨n,m⟩=n⋅m|n|⋅|m|=255 .
所以二面角B−PC−E 的余弦值为255 .