【02-暑假预习】第12讲 函数的单调性与最值（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)(2)

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：7大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 单调函数的定义
知识点2 单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。
单调区间D 定义域I。
遵循最简原则，单调区间尽可能大。
单调区间之间可用“，”分开，不能用“ ”，可以用“和来表示。”
知识点3 函数单调性的判断
定义法证明函数单调性的步骤
取值：设 为区间nei 任意的两个值，且；
作差变形：，通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；
定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；
下结论：根据定义做出结论。
2、函数的复合：f(x)+g(x)=h(x) f(x)-g(x)=h(x)
注意：加同不变，减异随前。
3.复合函数：
注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。
知识点4 函数的最值
考点一 定义法判断或证明函数单调性
1．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ．
2．已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)求函数的最大值和最小值.
3．已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
4．求证：在R上是减函数．
考点二 求函数单调区间
1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）2．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在上是减函数B．在上是减函数
C．在上是增函数D．（a为实数）在上是增函数
（多选题）3．已知函数若的最小值为，则（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增
C．D．函数的最小值为
4．函数的单调递减区间为 .
5．求函数的单调区间，并指出其值域
考点三 利用函数单调性求参数
1．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A．B．1C．3D．
3．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ．
4．已知，的值域为，则所有可能值为 ．
5．已知函数．
(1)求m的值；
(2)用定义法证明：函数在上是减函数；
(3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．
考点四 恒成立问题
1．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（ ）
A．B．1C．2D．4
3．若，对，均有恒成立，则的最小值为
4．已知函数（）
(1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围．
5．已知函数.
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若，不等式对恒成立，求的最大值；
(3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围.
考点五 能成立问题
1．若命题“，”是真命题，则a的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
3．若当时，不等式有解，求实数的取值范围.
4．已知函数，，（）
(1)当时，求的值；
(2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围；
(3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
5．已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
(1)求，的值；
(2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．
考点六 函数单调性的应用
1．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为 ．
5．已知函数的解析式为.
(1)求，的值；
(2)画出这个函数的图象，并写出的最大值.
考点七 分段函数单调性的判读与应用
1．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设函数，若，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ．
4．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值域；
(3)若在上单调递减，求实数的取值范围．
知识导图记忆
知识目标复核
1．单调函数的定义
2．函数单调性的判断
3．函数单调性的应用
4. 函数的最值
1．下列函数为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）7．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
9．函数的单调减区间是 ．
10．函数，则的值域是 ．
11．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ．
12．函数，的最大值为 .
13．函数在上的最大值为，则 .
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ；
15．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ．
16．已知，若不等式组的解集为，则 ．
17．已知函数.
(1)求证：函数在上是增函数；
(2)求在上的最大值和最小值.
18．用定义法证明：函数在上是增函数.
19．已知函数，.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)求函数的最大值与最小值.
20．若函数在上为增函数，求的取值范围.
21．求证：函数在上是减函数，在上是增函数增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1