2025年山东省德州市中考数学真题（Word版，含答案）

这是一份2025年山东省德州市中考数学真题（Word版，含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列实数为无理数的是（ ）
A．﹣3B．C．D．0.
3．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（ ）
A．B．C．D．
4．已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（ ）
A．3m＝nB．m3＝nC．m+3＝nD．m+1＝n
5．如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A＝42°，则∠CBD的度数为（ ）
A．21°B．27°C．30°D．34.5°
6．在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．（5，1）D．
8．如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5cm，则剩余部分的面积是（ ）
A．25πcm2B．C．D．
9．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
10．我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（ ）
A．7组B．21组C．28组D．42组
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12．如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）
13．把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 ．
14．已知点P（a，b）在双曲线上，点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，若|b﹣c|＝2，则N的坐标为 ．
15．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
（2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）．
（参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cs37°≈0.830，tan37°≈0.75）
18．本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：x≥30；良好：25≤x＜30；合格：20≤x＜25；不合格：x＜20．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 2718 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
请根据以上信息，完成下面问题：
（1）补全条形图；
（2）表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）已知该校七年级共400人，请估算七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？
19．综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
20．如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B′（a，0）处．
（1）求a的值；
（2）求直线AM的解析式；
（3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围．
21．如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE．
（1）设∠ABC＝α，则∠EAC＝ ；（用含α的式子表示）
（2）求证：AE＝DE；
（3）若DE＝2，BD＝1，求EF的长．
22．已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+n（m，n为常数）过点（1，5）．
（1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围；
（2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长．
23．已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE．
（1）将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（2）如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若，PE＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．
参考答案
1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B
11.x≥3 12.∠DAE=∠B（答案不唯一） 13.
14.（，）或（－，－） 15.
16．解：（1）原式＝23+2−3−2
=3；
（2）原式=2(m−2)(m+1)(m−1)⋅(m+1)2m−2−m+2m−1
=2(m+1)m−1−m+2m−1
=2m+2−m−2m−1
=mm−1．
17．解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米，
则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m），
答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m；
（2）如图，过点B作BF⊥CD于F，
则四边形BEDF为矩形，
∴DF＝BE＝56m，
∵CD＝296m，
∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m），
在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°，
则BC=CFsin∠CBF≈2400.6=400（m），
答：车的行驶路线BC的长约为400m．
18．解：（1）由题意得，总人数为20人，
∴合格人数：20×30%＝6人；优秀人数：20﹣5﹣6﹣2＝7人．
∴补全后条形图：优秀对应人数7，合格对应人数6．
（2）由题意，分析3月成绩，∵27出现次数最多（4次），
∴a＝27．
又∵3月优秀人数为4人，
∴优秀率b=420×100%=20%．
∵6月优秀人数为7人，
∴优秀率c=720×100%=35%．
故答案为：27；20%；35%．
（3）由题意，∵3月优秀率20%，6月优秀率35%，
∴七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加的人数为400×（35%﹣20%）＝400×15%＝60（人）．
19．解：（1）由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：y=53x．
将y=53x代入3x+2y＝6得，3x+2×53x＝6．
∴x=1819．
答：窗户框架的宽AB为1819m．
（2）由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为6−2x3m，
∴S=6−2x3⋅x，即S=−23x2+2x，
∴要使窗架的面积最大，则x=−22×(−23)=1.5，于是宽为6−2x3=6−2×1.53=1．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
20．解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2，
∴AB＝10，
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴AB＝AB'＝OA+OB'＝10，
∴a＝4；
（2）设M（0，m），
由题意得△ABM≌△AB'M，
∴BM＝B'M＝8﹣m，
由（1）得OB'＝4，
在Rt△OB'M中，MB'2＝OM2+OB'2，
∴（8﹣m）2＝m2+16，
解得m＝3，
∴M（0，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣6，0），M（0，3）代入得，
−6k+b=0b=3，
解得k=12b=3，
∴直线AM的解析式为y=12x+3；
（3）直线y＝﹣x+t与直线AM相交，
当x＝4时，交点坐标为（4，5），
此时﹣4+t＝5，则t＝9，
∵直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝4的左侧，
∴由图象得t＜9．
21．（1）解：∵点D是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC=12∠ABC=12α，
∵CE=CE，
∴∠CAE＝∠CBE=12α；
故答案为：12α；
（2）证明：连接AD，
∵点D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EAC+∠CAD，∠EDA＝∠BAD+∠ABD，
又∵∠EAC＝∠EBC＝∠EBA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE；
（3）解：由题可知AE＝DE＝2，BE＝DE+BD＝3，
∵∠EBA＝∠EAF，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBA，
∴EAEB=EFEA，
∴EF=EA2EB=43．
22．解：（1）①∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5）和（0，﹣1），
∴1+2m+3+n=5n=−1，
解得m=1n=−1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1；
②抛物线y＝x2+5x﹣1的对称轴为x=−52，
B（2，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣7，y2），
∵对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，
∴由图象性质得3t+2≤﹣7或3t﹣1≥2，
解得t≤﹣3或t≥1；
（2）∵抛物线y＝x2+（2m+3）x+n过点（1，5），
∴1+2m+3+n＝5，
则n＝1﹣2m，
∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+n≥3x+2，
∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对任意实数x都成立，
∴Δ＝4m2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，
（m+1）2≤0，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+3，
联立抛物线y＝x2+x+3与直线y＝4，
得x2+x+3＝4，
解得x=−1±52，
∴交点M，N的横坐标分别为−1+52和−1−52，
∴MN=−1+52−−1−52=5．
23．（1）①证明：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
则∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∵∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，∠CPH＝90°﹣45°＝45°，
∴PH＝CH，
∴四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，
∵∠EPG+∠GPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PEG≌△PFH（ASA），
∴PE＝PF；
②解：S四边形PECFS正方形ABCD是定值，
过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
由①可知四边形PGCH是正方形，
∴PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，
∴S△PEG＝S△PFH，
∴S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGCF
＝S△PFH+S四边形PGCF
＝S正方形PGCH，
∵APPC=12，
∴PCAC=23，
∵PH∥AD，
∴△CPH∽△CAD，且PCAC=23，
∴S△PCHS△ACD=(23)2=49，
∴S四边形PECFS正方形ABCD=S正方形PGCHS正方形ABCD=2S△PCH2S△ACD=49，
∴S四边形PECFS正方形ABCD是定值．该定值为49；
（2）解：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，
∴∠PGE＝∠PHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，
由旋转可知∠EPF＝90°，
∴∠EPG＝∠FPH，
∴△PFH∽△PEG，
∴PFPE=PHPG=APPC=k，
∵PE＝a，
∴PF＝ka，
∵∠BPE＝45°，∠BCP＝45°，
∴∠BPF＝∠BCP＝45°，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴PB2＝BE•BC，
同理可得PB2＝BF•AB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BF，
连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，
在Rt△PEF中，S△PEF=12PE•PF=12a⋅ka=12ka2，
EF2＝PE2+PF2＝a2+（ka）2＝（1+k2）a2，
∴S△BEF=12BE•BF=12EF⋅12EF=14EF2=1+k24a2，
∴S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF=12ka2+1+k24a2=(1+k)24a2．
月份
平均数/个
众数/个
优秀率
3月
25.6
a
b
6月
27.7
29
c