湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4.设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.的内角的对边分别为.已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知文印室内有份待打印的文件自，上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（ ）
A. B. C. D.
7.数列中的前项和，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
8.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，在正方体中，点分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.若，则下列叙述中正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“对恒成立”的充要条件是“”
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
11.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次任取出个球，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立
B．事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立
C．事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立
D．事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件
第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．
12.已知的展开式中，二项式系数的和为，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项．
13.定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
14.已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是______．
四、解答题：本大题共5个大题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知数列满足:，，且.
（1）求证: 数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和.
16.（15分）在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面⊥平面．
（2）若为的中点，求到平面的距离．
18.（17分）某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）
（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，
若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）
（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）
19.（17分）设，.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)记函数，若当时，函数有极大值，求的取值范围.
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数与指数函数的性质确定集合中的元素，再由集合的运算法则计算．
【详解】
，为实数集中去掉除和以外的所有正整数的实数组成的集合．
，
所以．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】本题首先根据共轭复数的性质得出，然后通过复数的运算法则得出，最后通过复数的模的求法即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
则，
，
故选：D.
3.【答案】C
【解析】
因为，所以 所以.
因为，所以，则.
故选：C.
4.【答案】A
【解析】
因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A.
5.【答案】D
【解析】
∵在中, ，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
要使三角形有两解，得到：，且，即
∴解得：.
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
原来份文件加上甲乙两份共份文件，不同的打印方式有种.
故选：B.
7.【答案】D
【解析】
当时，，
当时，，
经检验不满足上式，所以，
设，则，
所以，
故选：D．
8.【答案】A
【解析】
由，可得，可解的，
故双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
9.【答案】A、C、D
【解析】
【分析】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC三个选项，由向量的线性运算判断D．
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，，，，
，
，，，，A正确；
，，B错；
，，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
10.【答案】B、D
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合不等式的性质，二次函数性质，一元二次不等式根的分布知识判断各选项，
【详解】
，则一定有，但是时，若，则，A错；
时有成立，充分的，但当时有或，不必要，B正确；
若，但，则恒成立，C错；
方程有一正一负两实根的的充要条件是，因此D正确．
故选：BD．
11.【答案】A、B
【解析】
【分析】
利用互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可
【详解】
从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，事件为白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑除“两球都不是白球”外，还有其他事件，如白红可能发生，所以A，B项正确；
因为事件“两球至少有一个白球”，其中包含两个都是白球，故不互斥，所以C项不正确；
因为从个球中取出个，可能是个同色，还可能不同色，所以两球都为红球与事件“两球都为白球”不是对立事件，所以D项错误．
故选：AB.
12.【答案】
【解析】
由题意知，，解得,
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，
解得，故其展开式中系数最大的项第项.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.
【详解】
根据题意，对，有
又是定义在上的单调增函数
∴上存在常数使得
，，解得
14.【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，判断的单调性，再根据换元法求出不等式的解．
【详解】
令，则，
，，
，即在上单调递增，
又，当时，，即，
令，则不等式等价于，
，即，故．
故答案为：.
15.【解析】
（1）证明：
又
∴数列是以首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）得，
（3）
16.【解析】
（1），由正弦定理：，
又，，，
即：，.
，，即
（2），，由正弦定理有：，
，，.
，，
为锐角三角形，，，
，，，
，
即的周长的取值范围是.
17.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可求出，利用勾股定理可证，，从而可证结论；
（2）由题知，然后利用等体积法可求.
【详解】
（1）证明：如图，连接，在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以．
同理．又因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）过作于，连接，．
由（1）知平面，所以平面．
因为，，所，．
因为，所以．
因为，所以，所以．
在中，因为，，，
所以．
因为为的中点，所以，．
在中，因为，，，
所以，
所以，于是的面积为．
因为，
所以三棱锥的体积为．
设到平面的距离为．
因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相同，
所以，解得，
即到平面的距离为．
18.【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；
（2）由题意，求出剩余个分数的平均值，由个分数的标准差，能求出剩余个分数的标准差；
（3）求出将座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费．
【详解】
（1）因为
所以中位数为满足
由，解得
设平均分为，
则
（2）由题意，剩余个分数的平均值为
因为个分数的标准差
所以
所以剩余个分数的标准差为
（3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为：
因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为
因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为：
又因为
因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元.
19.
【解析】
(1)当时，，所以，
故，又，
故函数的图象在点处的切线方程为：，
化简整理得：.
(2)由已知得，
所以()，
令得，，下面对两根进行讨论：
①当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，是函数的极小值点，不合题意.
②当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，是函数的极小值点，不合题意.
③当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，不是函数的极值点，不合题意.
④当即时，，随的变化情况如下表：

由表知，是函数的极小值点，不合题意.
②当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，是函数的极大值点，符合题意.
综上所述，当时，是函数的极大值点，即的取值范围是由表知，是函数的极小值点，不合题意.
③当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，不是函数的极值点，不合题意.
④当即时，，随的变化情况如下表：
由表知，是函数的极大值点，符合题意.
综上所述，当时，是函数的极大值点，即的取值范围是.