2025四川省成都市中考数学试卷试题及答案

这是一份2025四川省成都市中考数学试卷试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃B．﹣2℃C．﹣5℃D．﹣7℃
2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2y＝3xyB．（x3）2＝x5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．2xy•3x＝6x2y
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（4分）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
6．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
8．（4分）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为2km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45min
C．小明家到书店的距离为1km
D．小明从书店到家步行的时间为40min
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若3，则的值为 ．
10．（4分）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
11．（4分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 ．
12．（4分）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（）﹣12cs45°+|2|；
（2）解不等式组：．
15．（8分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
16．（8分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73）
17．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F．
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）．
（1）求k的值；
（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
20．（4分）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为 ．
21．（4分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 ．
23．（4分）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，求的值．（用含n的代数式表示）
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃B．﹣2℃C．﹣5℃D．﹣7℃
【解答】解：5﹣7＝﹣2（℃），
即傍晚的气温是﹣2℃，
故选：B．
2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．主视图是一个矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C．主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；
D．主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是三角形，三角形的内部有一点与三角形的三个顶点相连，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2y＝3xyB．（x3）2＝x5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．2xy•3x＝6x2y
【解答】解：x与2y不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
（x3）2＝x6，则B不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则C不符合题意，
2xy•3x＝6x2y，则D符合题意，
故选：D．
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0，
∴点P所在的象限是第二象限．
故选：B．
5．（4分）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【解答】解：由题意知，被调查的总人数为16÷40%＝40（人），
则选择“脑机接口”的人数为40﹣（16+14）＝10（人），
故选：B．
6．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意有：，
故选：A．
7．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
8．（4分）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为2km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45min
C．小明家到书店的距离为1km
D．小明从书店到家步行的时间为40min
【解答】解：由图象可知：
A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意；
B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意；
C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意；
D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若3，则的值为 4 ．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：4
10．（4分）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 3 ．
【解答】解：由题意知，输入的数x＝（15+3）÷6
＝18÷6
＝3，
故答案为：3．
11．（4分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 2 ．
【解答】解：连接AC，
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝1，，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∵正六边形为轴对称图形，
∴，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2，
故答案为：2．
12．（4分）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）．
【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，
∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0．
∴电流I的值随电阻R值的增大而减小．
故答案为：减小．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 ．
【解答】解：如图，连接AD、CD，
由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD，
即AC⊥BD，OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC，
∵S△ABCAC•OBAB•BC，
∴OB，
∴BD＝2OB，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（）﹣12cs45°+|2|；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+22
＝4﹣32
＝3；
（2）解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤8，
故原不等式组的解集为2＜x≤8．
15．（8分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 10分 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
【解答】解：（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是96﹣86＝10（分），
故答案为：10分；
（2）m（86+88+89+91+92+95+96）＝91，
n（86+86+89+90+91+93+95）＝90，
∵91＞90，
∴平台A的服务态度更好；
（3）（92×5+91×3+90×2）＝91.3（分），
（95×5+90×3+88×2）＝92.1（分），
∵91.3＜92.1，
∴该公司会选择平台B．
16．（8分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73）
【解答】解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，
在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米；
在Rt△ABC中，米，
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米．
17．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F．
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵，
∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD，
∵∠CAB＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠BCD，
∴BE∥CD；
（2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r，
∵BD＝1，
∵OD＝r+1，
∵OC⊥CD，
∴，
∴r＝2，即半圆O的半径为2，
∴AB＝2r＝4，
连接AE，则：∠AEB＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠EAF＝∠BAF，
∴AF平分∠BAE，
∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）．
（1）求k的值；
（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0），
∴0＝﹣3+b，
解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
把A（a，2）代入y＝﹣x+3，
得2＝﹣a+3，
解得：a＝1，
∴点A（1，2），
把点A（1，2）代入y，
得k＝1×2＝2；
（2）如图，连接AD，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2），
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），
∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20，
设点D的坐标为，
∴，，
∵∠ACD＝90°，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴，
解得：m＝﹣4或﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，），
设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0）
把点（﹣4，）（1，2）代入得：，
解得：
∴直线AD的函数表达式为y；
（3）设点E的坐标为（t，），
设直线AE的解析式为y＝k2x+b2，
把点（t，），（1，2）代入，
得，
解得：，
∴直线AE的解析式为y，
当y＝0时，0，
解得x＝t+1，
∴点P的坐标为（t+1，0），
∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|，
∴，
∵△BEP的面积为2，
∴，
解得t或t＝﹣2，
∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 4x（答案不唯一） （填一个即可）．
【解答】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，
∴加上的单项式是：4x，
故答案为：4x（答案不唯一）．
20．（4分）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为 ．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，因为b2﹣4a≥0，所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为，
故答案为：．
21．（4分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接OB．
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝AB，
∴▱OABC是菱形，
∴∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴AC＝2OA•sin∠AOB＝2×1，
∴S菱形OABCAC•OB1，
∴S阴影S菱形OABC．
故答案为：．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 4 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 ．
【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，
∵∠DBC＝45°
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG＝DG，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACH，
∴，
∴设DF＝3x，CH＝5x，
则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，
∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，
∴，
∴在Rt△CGD中，，
由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，
∴（负值舍去），
∴，BC＝2CH＝10x，
∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
又∵∠E＝∠E，
∴△DEC∽△BED，
∴，
∴，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE，
∴，
解得：CE＝0（舍去）或CE，
故答案为：4，．
23．（4分）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
【解答】解：，
由题意，
当k＝3＝2×1+1时，，
当k＝5＝2×2+1时，，
当k＝7＝2×3+1时，，
…，
当k＝2n+1时，，
又∵n，
∴对于任意奇数k（k＞2），，
故答案为：，．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元，
则每个B种挂件的价格为x元，
∴7．
∴x＝25．
经检验：x＝25是原方程的根．
答：每个A种挂件的价格为25元．
（2）由题意，设该游客最多购买m个A种挂件，
则购买（m+5）个B种挂件，
又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，
∴25m+20（m+5）≤600．
∴m11．
又∵m为整数，
∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，求的值．（用含n的代数式表示）
【解答】解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠PCG，
∴∠AFE＝∠PCG，
∵∠AFE＝∠QFG，
∴∠PCG＝∠QFG，
∵∠FGQ＝∠CGP，
∴∠CQE＝∠P，
∵CE＝BE，BE＝EF，
∴EF＝EC，
又∵∠CEQ＝∠FEP，
∴△EFP≌△ECQ（AAS）；
（2）∵△EFP≌△ECQ，
∴EQ＝EP，
∵EF＝EC，
∴FQ＝CP，
∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，
∴△FQG≌△CPG（AAS），
∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△CGP∽△BAP，
∴，
∴，解得：AB＝12，
∴CD＝12，
∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4；
（3）如图，延长AD，EQ交于点M，
设CQ＝a，BE＝b
∴，CE＝2BE，
∴DQ＝an，EC＝2b，
∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b，
∵△ABE关于AE折叠，
∴AF＝AB＝（n+1）a，
∵AD∥BC，即DM∥EC，
∴△DQM∽△CQE，
∴，即，
∴DM＝2bn
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADQ，
又∵△ABE关于AE折叠，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFQ+∠AFE＝180°，
∴∠AFQ+∠ADQ＝180°，
∴∠DAF+∠DQF＝180°，
∵∠EQC+∠DQF＝180°，
∴∠EQC＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠FPE，
∴∠EQC＝∠FPE，
又∵∠FEP＝∠CEQ，
∴△FEP∽△CEQ，
∴，即，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AMF∽△PEF，
∴，
∴，
解得：，
∴，
又∵PC∥AD，
∴△GPC∽△GAD，
∴．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴，
解得，
则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立，
整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，
即时，满足题意，
将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：，
∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：，即：，
联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，，
∵M为AB的中点，
∴M，
联立，
同理可得：N，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，
∴，
设T（1，t），则，
解得：，
∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/19 11:00:07；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691人数
元宇宙
16
脑机接口
a
人形机器人
14
物品完好度
服务态度
物流时长
平台A
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m
90
平台B
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n
88
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
B
A
D
C
人数
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