四川省成都市成华区2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份四川省成都市成华区2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共19页。
注意事项：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
已知集合，则集合 的真子集个数为（）
A 7B. 8C. 15D. 16
已知命题 ，则是（）
B.
C. D.
下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A. ，B. ，
C ，D. ，
已知函数，则 （）
A. 8B. C. D.
已知， ，则下列结论错误是（）
B.
C. D.
已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为（）
A.B.
C.D.
要建造一个容积为 9 立方米，深为 1 米长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为 100 元，水池的壁每平方米的造价为 90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（）
A. 2100 元B. 1980 元C. 1870 元D. 1760 元
， ，若 ，则以下结论错误的是（）
B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
若 ，则下列不等式恒成立的是（）
B.
C. D.
关于 x 的不等式的解集可能是（）
B. C. D.
已知 ，关于 的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（）
B. 的最大值为
C. 的最小值为 4D. 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
有 A、B、C 三个城市，至少去过其中一个城市的有 18 人，去过 A、B、C 三个城市的分别有 9 人，8 人，
11 人，同时去过 A、B 的有 5 人，同时去过 B、C 的有 3 人，同时去过 A、C 的有 4 人，则同时去过 A、B、 C 三个城市的有人．
已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
．
当 时，关于 x 的不等式 有解，则的取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合.
若集合，且 ，求实数 a 的值；
若集合 ，且 ，求实数 a 的值.
已知集合 ，集合.
若 ，求实数 m 的取值范围;
若， ，p 是 q充分不必要条件，求实数 m 的取值范围
2024 年 8 月 12 日，为期 16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会 的吉祥物产自中国
.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用.假设购进该款产品全部售出
.若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过 30 万件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销
售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为.
当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？
写出利润万元关于购进产品数量 （万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
已知 是二次函数，满足 且满足条件.
求 的解析式；
若不等式 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
解关于 x 的不等式： .
设集合 ，其中 ，正整数 ．若对任意 ， 与至少有一个属于 ，则称 具有性质．
分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
当时，若 具有性质，且，求集合 ；
记，若 具有性质，求的值.
2025-2026 学年度（上）阶段性考试（一）高 2025 级 数学
注意事项：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，则集合 的真子集个数为（）
B. 8C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合子集个数的计算公式即可得.
【详解】集合 有 3 个元素，故集合 的真子集个数为 .
故选：A.
已知命题 ，则是（）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题 为全称量词命题，
则是：
.
故选：B
下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可.
【详解】对于 A， ，A 错误；
对于 B， 的定义域为 R， 的定义域为，B 错误；对于 C， 和定义域和对应关系都相同，C 正确；
，
或
对于 D，由，解得 ，故 的定义域为，
由 ，解得
故选：C
的定义域为，定义域不一致，D 错误.
已知函数，则 （）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求得解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
已知， ，则下列结论错误的是（）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】对于 A：因为， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ， ，则 ，所以 ，故 B 正确；对于 C：当 时，因为 ，所以 ，
当
时
，
当 时， ，因为 ，所以 ， 所以 ，
综上可得 ，故 C 正确；
当
时
对于 D：当 时，因 ，所以，所以，
，
当 时， ，因为 ，所以，所以，所以，
综上可得，故 D 错误；故选：D
已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求法，列不等式求解可得.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，解得 ，
根据解析式有意义可知 ，即，综上， .
所以函数的定义域为 .
故选：A．
要建造一个容积为 9 立方米，深为 1 米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为 100 元，水池
的壁每平方米的造价为 90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（）
A. 2100 元B. 1980 元C. 1870 元D. 1760 元
【答案】B
【解析】
【分析】设水池底部长宽分别为 米，根据已知有 、总造价 ，应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】设水池底部长宽分别为 米，则 ，
所以水池总造价为，
当且仅当 时等号成立，故总造价最小值为 元.故选：B
， ，若 ，则以下结论错误的是（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再由交集的结果，可知方程 有两个实数根
，
，
且
，结合韦达定理计算可得.
【详解】由 得 ，解得 ，所以 ，因为，，
且
，
所以方程 有两个实数根，，所以 ，故 D 正确；
又，所以 ，故 A 正确，B 错误；
，故 C 正确.
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
若 ，则下列不等式恒成立的是（）
B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】采用作差法可知 AB 正确；通过反例可说明 CD 错误.
，
【详解】对于 A， ，
，
对于 B，，
，
， ，故 A 正确；
，
， ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，故 C 错误；
对于 D，若 ，则，，故 D 错误.故选：AB.
关于 x 的不等式的解集可能是（）
B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再对 a 进行分类讨论，最后得到不等式 的可能解集.
【详解】因为，所以 ，
当 a＞0 时， ，不等式解集为 ；当 a＝0 时， ，不等式解集为 ；
当 a＜0 时，，若，解集为；
若，解集为 R；
若，解集为．故选：BCD
已知 ，关于 的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（）
B. 的最大值为
C. 的最小值为 4D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】依题意可得 和为关于 的方程 的两根且 ，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断 A；再利用基本不等式判断 B、C、D.
【详解】因为关于 的不等式的解集为，
所以和为关于 的方程 的两根且 ，所以，所以，所以，故 A 正确；
又 ，所以，解得，当且仅当 ，即，时取等
号，
所以 的最大值为，故 B 正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以 的最小值为 ，故 C 正确；因为，所以 ，
所以
，
当且仅当，即， 时取等号，所以的最小值为 ，故 D 错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
有 A、B、C 三个城市，至少去过其中一个城市的有 18 人，去过 A、B、C 三个城市的分别有 9 人，8 人，
11 人，同时去过 A、B 的有 5 人，同时去过 B、C 的有 3 人，同时去过 A、C 的有 4 人，则同时去过 A、B、 C 三个城市的有人．
【答案】2
【解析】
【分析】若同时去过有 人，根据已知及容斥原理列方程求解即可.
【详解】若同时去过 的有 人，则 ，可得 .
故答案为：2
已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
．
【答案】
【解析】
得到
，
【分析】根据 的解集为且 ，进而根据二次函数
的性质即可求解.
【详解】由题意得 的两个根为，，且 ，
，则
，
，，
，即
，
则
即 ，解得，
则不等式 的解集为.
故答案为：.
当 时，关于 x 的不等式 有解，则的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知不等式有解得出 有解，再应用基本不等式得出参数范围即可.
【详解】当 时，关于 x 的不等式 有解，
所以 有解，所以，
，
当且仅当时取最小值 6，则的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合.
若集合，且 ，求实数 a 的值；
若集合 ，且 ，求实数 a 的值.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可；
（2）按 和 进行分类讨论并由集合间的包含关系，即可得出实数的取值范围.
【小问 1 详解】
因为，所以 或，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
①当 时， 成立；
②当 时， ，所以或 2，解得或 1，综上，实数的值为 .
已知集合 ，集合.
若 ，求实数 m 的取值范围;
若， ，p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论 ， 两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由 p 是 q 成立的充分不必要条件，得出 是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【小问 1 详解】 由 ，得
①若 ，即 时， ，符合题意；
②若 ，即时，需或，解得．综上，实数的取值范围为．
【小问 2 详解】
∵p 是 q 的充分不必要条件，
∴
，
∴ 是的真子集．
则不同时取等号，解得 ．
实数的取值范围为 ．
2024 年 8 月 12 日，为期 16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会 的吉祥物产自中国
.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用.假设购进该款产品全部售出
.若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过 30 万件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销
售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为.
当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？
写出利润万元关于购进产品数量 （万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】（1）200（万元）；
（2）
（3）当 （万件）时，利润最大，此时利润是 910（万元）
【解析】
分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
对 进行分类讨论写出的解析式；
对 分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【小问 1 详解】
（万元）.
所以当购进产品数量为 10 万件时，利润是 200 万元.
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则 ，得到 ，
所以 ，
当 时，，
所以
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时， ，
当 （万件），利润最大，此时利润是 450（万元），
当 时， ，
当 （万件），利润最大，此时利润是 500（万元），当 时，
，
，即
，
当且仅当
当 （万件），利润最大，此时利润是 910（万元），
因为 ，所以当 （万件）时，利润最大，此时利润是 910（万元）.
已知 是二次函数，满足 且满足条件.
求 的解析式；
若不等式对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
解关于 x 的不等式： .
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意设 ，由 得 ，再由 列式解得 ，即可得 ；
依题意 对于 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可；
将 代入按与 和的大小关系分类讨论求解含参不等式 即可.
【小问 1 详解】
设 ，由 得， ，
故
，
因为 ，
所以，
即 ，
所以，，所以.
【小问 2 详解】
对一切实数 x 恒成立，即 恒成立
①当 时， 恒成立；
②当 时，，解得 ，综上的取值范围为.
【小问 3 详解】
，即
，
，即
①当 时，此时 ，解集为；
②当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
或
；
③当时，此时 ，解集为
④当 时，不等式化为 ，解集为 ；
或
.
⑤当 时，此时 ，解集为
综上所述，当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 ；
或
；
当时，原不等式的解集为
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ..
设集合 ，其中 ，正整数 ．若对任意 ， 与至少有一个属于 ，则称 具有性质．
分别判断集合 与 是否具有性质，并说明理由；
当时，若 具有性质，且，求集合 ；
记，若 具有性质，求 的值.
【答案】（1）集合 具有性质 ，集合 不具有性质 ，理由见解析．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用给定定义证明即可.
利用给定条件结合集合的互异性求解即可.
由及 可得，
，， ，，利用累加法得 ，进而求解.
【小问 1 详解】
在集合中，
，
，
因为 ，， ， ，所以集合 具有性质．
而集合 中，因为 ， ，所以集合 不具有性质．
【小问 2 详解】
，则
，
因为 ，且 具有性质，所以 ，
，则
，
又因为 ，所以
由集合的互异性知， ，而，所以 ．故．
【小问 3 详解】
因为 具有性质，所以，则，则 ．
又因为 ，所以，
，则
，
又因为，所以
， ，
所以，，．
所以，
即
，
所以，则．