上海市浦东新区华东师大二附中2025-2026学年高一（上）质检数学试卷（9月份）（解析版）

这是一份上海市浦东新区华东师大二附中2025-2026学年高一（上）质检数学试卷（9月份）（解析版），共13页。
2．（4分）若集合，，则 ．
3．（4分）命题“若，则”的真假性为 命题．（填真、假）
4．（4分）设，，若集合，则 ．
5．（4分）已知集合，，，，，若，则实数 ．
6．（4分）已知集合，，，那么 ．
7．（5分）若集合，，，，则 ．
8．（5分）设集合满足，，0，1，2，，则满足条件的有 个．
9．（5分）已知全集，2，3，4，5，6，7，8，，且，，，，，5，，则集合 ．
10．（5分）已知集合各元素之和等于3，则实数的值为 ．
11．（5分）已知全集，，若集合，且对任意，，均存在，，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合：
（1），；
（2）；
（3），；
（4），，．
其中是“对称对点集”的序号为 ．（写出所有正确的序号）
12．（5分）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集数为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂圃。
13．（4分）已知，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．（4分）下列命题中正确的
A．与表示同一个集合
B．方程的所有解的集合可表示为，2，
C．由3，4，5组成的集合可表示为，4，或，5，
D．很小的实数可以构成集合．
15．（5分）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
16．（5分）设、、、、是均含有2个元素的集合，且，，2，3，，，记，则中元素个数的最小值是
A．5B．6C．7D．8
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（14分）设集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（14分）集合，．
（1）若，求，；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
19．（14分）已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（18分）已知全集，
命题甲：已知集合，，；
命题乙：已知集合，，且．
（1）求；
（2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
21．（18分）已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．
（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合，是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合，是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．（4分）已知全集为，集合，则 ．
解：因为，全集为，．
故答案为：．
2．（4分）若集合，，则 0 ．
解：，，
当时，不满足集合元素的互异性，
当，即或（舍去），故．
故答案为：0．
3．（4分）命题“若，则”的真假性为 假 命题．（填真、假）
解：根据题意，对于命题“若，则”，当时，，
故命题命题“若，则”为假命题；
故答案为：假
4．（4分）设，，若集合，则 0 ．
解：由，易知，，
由两个集合相等的定义可知：
若，由于，则方程组无解；
若，得，，经验证，符合题意；
综上可知，，，
所以．
故答案为：0．
5．（4分）已知集合，，，，，若，则实数 2 ．
解：集合，，，，，若，可知或．
或1舍去）
故答案为：2．
6．（4分）已知集合，，，那么 ，0，1， ．
解：，，，，
，，，
则，0，1，．
故答案为：，0，1，．
7．（5分）若集合，，，，则 ， ．
解：集合，，，，
则，解得或，
所以，．
故答案为：，．
8．（5分）设集合满足，，0，1，2，，则满足条件的有 7 个．
解：由，，可知集合中必包合和2这两个元素．
又集合是，0，1，2，的真子集，则集合除了包含和2外，
还可以从0、1、3这三个元素中选取部分或不选取元素，即求集合，1，的真子集个数．
集合，1，中元素的个数为3，子集个数为个，真子个数为个．
故答案为：7．
9．（5分）已知全集，2，3，4，5，6，7，8，，且，，，，，5，，则集合 ，4，8， ．
解：由题可知元素3和7不在集合中，
由，可知元素2和8在集合中，
由，可知元素1，5和6不在集合中，
全集，2，3，4，5，6，7，8，中除去以上元素外，剩下元素4和9，
故，，可知元素4和9在集合中，
综上可得，4，8，．
故答案为：，4，8，．
10．（5分）已知集合各元素之和等于3，则实数的值为 2或 ．
解：集合各元素之和等于3，
令，则，令，则或，
故方程的根为，，1．
当时，即，，，符合题意；
当，则，，不符合题意；
若且，则或或，
所以，即，
故或．
故答案为：2或．
11．（5分）已知全集，，若集合，且对任意，，均存在，，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合：
（1），；
（2）；
（3），；
（4），，．
其中是“对称对点集”的序号为 （1）（4） ．（写出所有正确的序号）
解：对于（1），显然，且对任意，，取，，此时，，且，故（1）符合题意；
对于（2），若，，，，则，
所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意；
对于（3），若，，，，而当时，，此时如果有，
就意味着，但事实上，故（3）不符合题意；
对于（4），显然，且对任意，，即，取，，此时有，即，且满足，故（4）符合题意．
故答案为：（1）（4）．
12．（5分）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集数为 ．
解：根据题意，若，，则、、、均属于，
而事实上，若，则，故区间，中有正整数，
所以中相邻两数不可能大于等于2，故2、3、、，
若，，则有，与矛盾，
当时，则；当时，，
所以，所以，2，，，可得的非空子集有．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂圃。
13．（4分）已知，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
解：，则“” “”，
“” “或”，
“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
14．（4分）下列命题中正确的
A．与表示同一个集合
B．方程的所有解的集合可表示为，2，
C．由3，4，5组成的集合可表示为，4，或，5，
D．很小的实数可以构成集合．
【解答】对于，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故错误；
对于，，2，不满足集合元素的互异性，故错误；
对于，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为，4，或，5，，故正确；
对于，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故错误．
故选：．
15．（5分）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
解：若存在，使得，则至少有一个正数，使不等式成立，
设，
结合二次函数的性质，可知时，即时，取得最小值，所以，
命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件，
其对应的集合是集合的真子集，对照各选项，可知选项符合题意．
故选：．
16．（5分）设、、、、是均含有2个元素的集合，且，，2，3，，，记，则中元素个数的最小值是
A．5B．6C．7D．8
解：，，2，3，，，
与的元素不同，则元素个数为4，
从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个，
这5个元素适当排列，得到，，，，
则中元素的最小值是，
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．（14分）设集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）根据的解为或2，可得集合，，
由，可得，集合可能是或或或，，
根据集合，可知有如下几种情况：
①时，方程变为，没有实数根，此时，满足；
②时，方程等价于，即，
若，则，解得；若，则，解得；
③若，，则不可能同时等于1，2，此种情况不成立．
综上所述，实数的取值范围是；
（2）根据，可得，则集合可能是或或或，，
集合，
方程的根据的判别式△，
①当△时，，符合题意，此时，解得；
②当是单元素集时，△，即，解得或，
若，则方程变为，此时，满足，
若，则方程变为，此时，不满足，舍去；
③当，时，方程与同解，
可得，找不到符合条件的实数．
综上所述，，实数的取值范围是，．
18．（14分）集合，．
（1）若，求，；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）若，则，
，
，．
（2）是的必要条件，，
，，
实数的取值范围为，．
19．（14分）已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，
当时，由，得，符合，
当时，由得，解得，
综上，的取值范围为，；
（2）当时，，此时，不符合题意；
当时，由得或，所以，，
当时，，要使得，则，解得，
当时，，要使得，则，解得，
综上，的取值范围为．
20．（18分）已知全集，
命题甲：已知集合，，；
命题乙：已知集合，，且．
（1）求；
（2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
解：（1）由得或；
（2）当命题乙是真命题时，方程无正数解，
当方程有两个解时，即△，得，解得或，
当两个解为负时，则满足，解得，
所以，
当方程有唯一解时，即△，得，解得或0，
当时，此时方程为，解得，不符合条件；
当时，此时方程为，解得，符合条件；
当方程无解时，即△，得，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
（3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得，可知当命题甲是假命题时，或；
由（2）可知命题乙是真命题时，，可知当命题乙是假命题时，；
当甲为真且乙为假时，，当甲为假且乙为真时，，
综上所述，命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为，．
21．（18分）已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．
（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合，是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合，是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集．
解：（1）是封闭集，，0，不是封闭集，理由如下：
对于集合，因为，，
所以是封闭集；
对于集合，0，，因为，，
所以集合，0，不是封闭集．
（2）命题是假命题，命题是真命题，理由如下：
对命题：令，，，，
令，，，，则，，
因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集，
取，，则，，而，
因此集合不是封闭集，命题是假命题；
对于命题：若，不妨令，，则有，，又集合是封闭集，
则，，同理，，因此，，
所以是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题．
（3）证明：非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
设，在中任取一个，，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合，
所以的补集不是封闭集．
题号
13
14
15
16
答案
A
C
C
A