九年级上学期数学压轴必考题型——一元二次方程练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——一元二次方程练习（含答案），共22页。试卷主要包含了的值为　 　等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．（2021春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
2．（2020秋•思明区校级期末）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定
3．（2020秋•麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
4．（2021•游仙区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0
5．（2020秋•福清市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2020，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2015
二．填空题
6．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 ．
7．（2021春•鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为 ．
8．（2021春•庐阳区校级期中）已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝ ，b＝ ．
9．（2021春•扶沟县期末）若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为 ．
10．（2020秋•隆回县期末）已知x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2a+2b+3＝ ．
11．（2016秋•资中县期末）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝ ．
12．（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 ．
三．解答题
13．（2021•武汉模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．


14．（2020春•湖州月考）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．


15．（2020秋•越秀区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．


16．（2018秋•汉滨区期末）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．



17．（2019•武昌区自主招生）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．


18．（2017秋•防城港期末）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．

19．（2018秋•东城区校级月考）已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．



20．（2018秋•洛龙区校级月考）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？


21．（2017秋•杨浦区校级月考）设方程x2﹣kx﹣7＝0和x2﹣6x﹣（k+1）＝0有公共根，试求k的值．



22．（2017秋•盐池县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．



23．（2018•滨州模拟）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．






24．（2018•郴州模拟）阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ ，＝ ，＝ ；
（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．




25．（2017秋•浦东新区校级月考）是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数m及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 一元二次方程
一．选择题
1．（2021春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【思路引导】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【完整解答】对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
2．（2020秋•思明区校级期末）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定
【思路引导】把x0代入方程ax2+2x+c＝0得ax02+2x0＝﹣c，作差法比较可得．
【完整解答】∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（2﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣2+ac
＝a（ax02+2x0）+ac﹣1
＝﹣ac+ac﹣1
＝﹣1，
∵﹣1＜0，
∴M＞N，
故选：A．
3．（2020秋•麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【思路引导】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【完整解答】∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．
故选：C．
4．（2021•游仙区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0
【思路引导】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【完整解答】把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．
故选：C．
5．（2020秋•福清市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2020，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2015
【思路引导】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0有一个根为t＝2020得到x+1＝2020，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根为x＝2019．
【完整解答】由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2020，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2020，
则x+1＝2020，
解得x＝2019，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2019．
故选：C．
二．填空题
6．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 x2﹣2＝0（答案不唯一） ．
【思路引导】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【完整解答】∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
7．（2021春•鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为 ﹣3 ．
【思路引导】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【完整解答】当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
8．（2021春•庐阳区校级期中）已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝ 2 ，b＝ ﹣4 ．
【思路引导】可得x＝＝﹣1，代入x2+ax+b＝0得到（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，则a+（﹣a+b）＝2﹣6，可得方程组，解方程组即可求解．
【完整解答】因为x＝＝﹣1，
代入x2+ax+b＝0得（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，
则a+（﹣a+b）＝2﹣6，
可得方程组，
解得．
故答案为：2，﹣4．
9．（2021春•扶沟县期末）若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为 10 ．
【思路引导】根据一元二次方程解的意义将m代入求出m2﹣m＝5，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【完整解答】∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
10．（2020秋•隆回县期末）已知x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2a+2b+3＝ 7 ．
【思路引导】将x＝1代入方程得出a+b＝2，再整体代入计算可得．
【完整解答】将x＝1代入方程，得：a+b﹣2＝0，即a+b＝2，
原式＝2a+2b+3＝2（a+b）+3＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
11．（2016秋•资中县期末）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝ ﹣2017 ．
【思路引导】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．
【完整解答】∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，
则原式＝a（a2﹣2017a）﹣
＝﹣a﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣2017，
故答案为：﹣2017．
12．（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 2019 ．
【思路引导】因为a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整体代入求值即可．
【完整解答】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
三．解答题
13．（2021•武汉模拟）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
【思路引导】根据一元二次方程的解的定义把x＝3代入x2﹣2x+a＝0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2﹣2x﹣3＝0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【完整解答】将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
14．（2020春•湖州月考）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
【思路引导】先解一元二次方程，求出m的值，化简代数式后代入求值．
【完整解答】∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0．
∴x＝5或x＝﹣3．
由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．
∵
＝×﹣2
＝×﹣2
＝﹣2（3+m）﹣2
＝﹣6﹣2m﹣2．
当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
15．（2020秋•越秀区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【思路引导】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【完整解答】（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
16．（2018秋•汉滨区期末）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
【思路引导】先把x＝a代入方程，可得a2﹣2018a+1＝0，进而可得可知a2﹣2018a＝﹣1，进而可求a2﹣2019a＝﹣a﹣1，a2+1＝2018a，然后把a2﹣2019a与a2+1的值整体代入所求代数式求值即可．
【完整解答】把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
17．（2019•武昌区自主招生）已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【思路引导】首先由已知可得a2﹣2a﹣4＝0，即a2﹣2a＝4．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
【完整解答】a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
18．（2017秋•防城港期末）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
【思路引导】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；
（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
【完整解答】（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；
（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，
∴△ABC的周长为6+6+2＝14．
19．（2018秋•东城区校级月考）已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．
【思路引导】根据a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，可以求得a2+3a的值，然后对题目中的式子变形即可解答本题．
【完整解答】∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，
∴a2+3a+1＝0，
∴a2+3a＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝﹣3．
20．（2018秋•洛龙区校级月考）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【思路引导】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【完整解答】（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得
或或，
解得k＝﹣1或k＝0．
故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；
（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得
，
解得k＝1．
故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．
21．（2017秋•杨浦区校级月考）设方程x2﹣kx﹣7＝0和x2﹣6x﹣（k+1）＝0有公共根，试求k的值．
【思路引导】由于两方程有公共解，所以将二者组成方程组，求出k的值．
【完整解答】，
②﹣①得，（﹣6+k）x+（6﹣k）＝0，
当﹣6+k＝0，即k＝6时，x取任意值，两个方程得解都相同．方程得解是x1＝7，x2＝﹣1；
当k≠6时，解得x＝1．
把x＝1代入x2﹣kx﹣7＝0得，1﹣k﹣7＝0，k＝﹣6．
于是两方程为：x2+6x﹣7＝0③，x1＝1，x2＝﹣7．
x2﹣6x+5＝0④，x1＝1，x2＝5．
综上所述，当k＝6时，x取任意值，两个方程得解都相同；当k＝﹣6；其公共根为1．
22．（2017秋•盐池县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路引导】把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状．
【完整解答】△ABC为等腰三角形．理由如下：
把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
23．（2018•滨州模拟）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
【思路引导】（1）把x＝2代入方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1＝m+2，x2＝m+1，则AC＝m+2，AB＝m+1．然后讨论：当AB＝BC时，有m+1＝；当AC＝BC时，有m+2＝，再分别解关于m的一次方程即可．
【完整解答】（1）∵x＝2是方程的一个根，
∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，
∴m＝0或m＝1；
（2）∵△＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，
∴x＝
∴x1＝m+2，x2＝m+1，
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC＝m+2，AB＝m+1．
∵BC＝，△ABC是等腰三角形，
∴当AB＝BC时，有m+1＝，
∴m＝﹣1；
当AC＝BC时，有m+2＝，
∴m＝﹣2，
综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．
24．（2018•郴州模拟）阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝ 14 ，＝ 194 ；
（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．
【思路引导】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．
（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．
【完整解答】（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x+＝4，
∴（x+）2＝16，
∴x2+2+＝16，
∴x2+＝14，
∴（x2+）2＝196，
∴x4++2＝196，
∴x4+＝194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2＝0，
∴x+＝，x2+＝，
∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．
25．（2017秋•浦东新区校级月考）是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个共同根，如果存在，求出这个实数m及两个方程的公共根；如果不存在，请说明理由．
【思路引导】联立两方程，解方程组即可求得共同的根，把根代入方程可求得m的值．
【完整解答】存在．
由题意联立两方程可得，解得x＝1，
把x＝1代入x2+mx+2＝0可得m＝﹣3，
即当m＝﹣3时，两方程有公共根，公共根为1．