2025-2026学年河南省新未来高二上学期10月中质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省新未来高二上学期10月中质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y+3=0的倾斜角为( )
A. -30°B. 120°C. 150°D. 60°
2.已知空间向量a，b，c是一组单位正交向量，m=-a+3b-2c，n=a-b+xc，若m⋅n=-2，则x=( )
A. -1B. 1C. -2D. 2
3.在空间直角坐标系O-xyz中，点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点为M1，点M2是点M1在坐标平面Oxy内的射影，则点M2的坐标为( )
A. (0,3,1)B. (2,3,0)C. (-2,3,0)D. (2,-3,0)
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BD+BA1+BC1=( )
A. 2BD1B. 2D1BC. 2DB1D. 2D1B1
5.已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，若直线y-1=k(x-1)与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A. -∞,-34∪[4,+∞)B. (-∞,-4]∪34,+∞
C. -34,4D. -4,34
6.已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(-1,4)，P为动点，且△PAB的面积总为10，则动点P的轨迹方程为( )
A. 4x+3y-12=0
B. 4x+3y+12=0
C. 4x+3y-12=0或4x+3y+28=0
D. 4x+3y+12=0或4x+3y-28=0
7.下列命题中正确的是( )
A. 若a=(3,2,1)，b=(0,1,1)，则a在b上的投影向量为0,34,34
B. 若直线l的方向向量为e=(1,-1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,-1)，则l⊥α
C. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°
D. 若a=(1,1,1)，b=(1,1,0)，c=(1,0,1)，则a，b，c共面
8.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,0)，95,0，点C的坐标为(m,2m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是( )
A. 2 105B. 4 105C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x-2y-2=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论正确的有( )
A. 存在实数k，使得l2的倾斜角为90°B. 存在实数k，使得l1与l2没有公共点
C. 对任意的k，l1与l2都不重合D. 存在实数k，使得l1与l2垂直
10.以下能够判定空间中四点A，B，C，D共面的条件是( )
A. AB=AC+3ADB. OA=12OB+14OC+14OD
C. CD⋅AB=0D. AB=2CD
11.如图，已知直棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正确的是( )
A. MD1⊥AC
B. 当λ=μ=13时，三棱锥M-BCD的外接球的表面积为2449π
C. 记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则AM+d的最小值为 3+ 72
D. 当λ=μ=12时，直线DM与直线CA1垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l经过点(1,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ．
13.在空间直角坐标系中，点M(0,1,1)，点N(-1,0,1)，点P(1,1,4)，则点P到直线MN的距离是 ．
14.三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A'，B'，C'，且PA=xPA'，PB=yPB'，PC=zPC'，且x>0，y>0，z>0，则1x+1y+1z的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知三角形三顶点A(3,1)，B(1,-1)，C-12,1，求：
(1)直线AB关于x轴对称的直线的一般式方程；
(2)AB边上的高所在直线的一般式方程．
16.(本小题15分)
如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)证明：BD1⊥AC；
(2)证明：BD1⊥平面ACB1；
(3)点D1到平面ACB1的距离为d1，点B到平面ACB1的距离为d2，求d1d2．
17.(本小题15分)
已知直线l经过点P(2,3)．
(1)若原点O(0,0)到直线l的距离为2，求直线l的方程；
(2)若直线l被两条相交直线2x-y-2=0和x+y-3=0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程；
(3)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|OA|+|OB|的最小值，并求此时的直线l的方程，其中O(0,0)．
18.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A1B1=2，AB=AC=4，D为BC的中点，AC⊥C1D．
(1)证明：AC⊥AB；
(2)若直线AC1与平面BCC1B1所成的角的正弦值为 63，求AA1的长；
(3)在(2)的条件下，若AA1的长小于A1B1的长，求直线A1C与直线BC1所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且DE//SA，若SA=AB=2DE=2，M，N分别是SB，BC的中点，点Q是线段DC上的一个动点．
(1)证明：CE//平面SAB；
(2)求直线SE与平面ACM所成角的正弦值；
(3)求二面角M-NQ-A平面角的余弦值的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.AD
10.ABD
11.ABC
12.y=3x或x-y+2=0
13. 382
14.32
15.解：(1)∵A(3,1)，B(1,-1)，
∴点A，B关于x轴对称的点分别为A'(3,-1)，B'(1,1)，
则kA'B'=1-(-1)1-3=-1，
所以y=-(x-1)+1，整理得x+y-2=0，
所以直线AB关于x轴对称的直线的一般式方程为x+y-2=0;
(2)∵直线AB的斜率为kAB=1-(-1)3-1=1，
∴AB边上的高所在直线的斜率为-1，
∴AB边上的高所在直线的方程为y-1=-1(x+12)，即2x+2y-1=0．
16.证明：分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
BD1=(-1,-1,1)，AC=(-1,1,0)，AB1=(0,1,1)，
(1)因为BD1⋅AC=-1×(-1) +(-1)×1+1×0=1-1+0=0，
所以BD1⊥AC，所以BD1⊥AC;
(2)因为BD1⋅AB1=-1×0+(-1)×1+1×1=0-1+1=0，
所以BD1⊥AB1，所以BD1⊥AB1，
由(1)可知，BD1⊥AC，
又AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面ACB1，
所以BD1⊥平面ACB1;
(3)由(2)可知，平面ACB1的法向量n=BD1=(-1,-1,1)，AD1=(-1,0,1)，
所以d1=|AD1⋅n||n|=2 3=2 33，
又AB=(0,1,0)，
所以d2=|AB⋅n||n|=1 3= 33，
所以d1d2=2．
17.解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，满足题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0，
因为原点到直线l的距离为2，则有|3-2k| k2+1=2，解得k=512，
则直线l的方程为：5x-12y+26=0，
综上，直线l的方程为x=2或5x-12y+26=0，
(2)设直线l与直线2x-y-2=0和x+y-3=0分别相交于M，N两点，
设M(x0,2x0-2)，
因为点P(2,3)为线段MN的中点，则N(4-x0,8-2x0)，
因为点N(4-x0,8-2x0)在直线x+y-3=0上，
则4-x0+8-2x0-3=0，解得x0=3，则M(3,4)，
所以直线l的方程为：y-34-3=x-23-2，即x-y+1=0;
(3)由题意可知直线l的斜率k存在，且k