2025-2026学年湖北省十堰市东风高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省十堰市东风高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数3+ai1+i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A. -3B. -32C. 32D. 3
2.如图所示，在▵ABC中，D为BC边上的三等分点，若AB=a，AC=b，E为AD中点，则BE=( )
A. -23a+16bB. 23a+16bC. -13a+16bD. 13a+16b
3.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是( )
A. -3B. -2C. 13D. 2
4.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂β，且m⊥n，则α⊥β
C. 若α⊥β，α∩β=n，且m⊥n，则m⊥β
D. 若m//n，n//β，且m⊥α，则α⊥β
5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，点O是B1C与BC1的交点，则直线AO与CB所成角的余弦值为( )
A. 1B. 56C. 32D. 12
6.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则( )
A. A与D互斥B. C与D对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立
7.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若A，B是对立事件，则P(AB)=1
B. 若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A+B)=16
C. 若P(A)=13,P(B)=12，且P(AB)=13，则A，B是独立事件
D. 若A，B是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB)=19
8.小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为( )
A. 23100B. 77100C. 23300D. 77300
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的( )
A. 平均数变小B. 平均数变大C. 中位数不变D. 众数不变
10.已知▵ABC的三个内角分别为A，B，C，B=C+π2，AB=2，AC=3，D在线段BC上，且满足AD平分∠BAC.则( )
A. sinB=32sinCB. sinA=513C. BC=2513D. AD=6 2613
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，下列选项正确的是( )
A. 当λ=1时，△AB1P的周长为定值
B. 当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C. 当λ=12时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BP
D. 当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知n1 =-1,0,1，n2=m,-3,2，n3=0,-1,1，若n1,n2,n3不能构成空间的一个基底，则m= ．
13.哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.素数是除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于1的自然数.在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是 ．
14.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为A2,2,1，B2,1,-2，C0,2,1，D0,0,1.则该四面体外接球的表面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且(2a+c)csB+bcsC=0．
(1)求角B的大小;
(2)若b= 13,ac=3，求▵ABC的面积和周长．
16.(本小题15分)
为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分100分.参加测试的学生共40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计全校高一年级体测成绩的60%分位数；
(2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自70,80和80,90的概率；
(3)现已知直方图中考核得分在70,80内的平均数为75，方差为9，在[80,90)内的平均数为85，方差为4，求得分在70,90内的平均数和方差．
17.(本小题15分)
甲、乙两位同学在一起做猜拳(石头剪刀布)游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得-1分，平局时两个人都各得0分.出现得3分者，则游戏结束，得3分者获胜．
(1)求两次猜拳后，乙得2分的概率；
(2)求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；
(3)若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得-3分的概率．
18.(本小题17分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求二面角B1-A1C1-B的正切值；
(2)若B1D与平面A1BC1交于点E，求线段BE的长；
(3)若点P是平面A1BC1内一个动点，且PD+PB1=4+ 7，求直线B1P与平面A1BC1所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量u=a,b,c，点P0x0,y0,z0.若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x-x0a=y-y0b=z-z0c(abc≠0)；若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程表示为ax-x0+by-y0+cz-z0=0.平面内任一点x,y,z在面α的两侧分别对应ax-x0+by-y0+cz-z0>0和ax-x0+by-y0+cz-z00，
∴PE=2，
∴点P的轨迹是以点E为圆心，半径为2的圆．
∵B1E⊥平面A1BC1，
∴B1P与平面A1BC1所成的角为∠B1PE，且tan∠B1PE=B1EPE= 32，
∵0≤∠B1PE≤π2，
∴sin∠B1PE= 217
故直线B1P与平面A1BC1所成角的正弦值为 217．

19.【详解】(1)由直线l1的标准式方程为x-12=y+2- 3=z可知，直线l1的一个方向向量坐标为m=2,- 3,1，
由平面α1的点法式方程为 3x+2y-z+5=0可知，平面α1的一个法向量为n= 3,2,-1，
设直线l1与平面α1所成角为β，
所以有sinβ=csm,n=m⋅nmn=2 3-2 3-1 8× 8=18，
所以csβ=3 78，即直线l1与平面α1所成角的余弦值为3 78．
(2)由平面α2的点法式方程为2x+3y+z-6=0可知，平面α2的法向量为n2=2,3,1，
设点A2,4,4在平面α2内的投影点为A0x,y,z，易知A0A与n2共线，
故x-22=y-43=z-41，又由点A0x,y,z在平面α2上，则满足2x+3y+z-6=0，
令x-22=y-43=z-41=k，则把x=2k+2,y=3k+4,z=k+4代入2x+3y+z-6=0可得：
22k+2+33k+4+k+4-6=0，解得k=-1，
再代入x=2k+2=0,y=3k+4=1,z=k+4=3，即可得A00,1,3，
由点A及点B在平面α2外的同侧，点C为平面α2内任意一点，要求AC+BC的最小值，
利用将军饮马问题，可设点A2,4,4关于平面α2的对称点为A'，
则A00,1,3为AA'中点，故由中点公式可得A'-2,-2,2，
所以由两点间距离公式可得A0A'= 0+22+1+22+3-22= 14，
因为B01,0,4，所以A0B0= 0-12+1-02+3-42= 3，
由几何关系可知AC+BCmin=A'B= A0A'+B0B2+A0B02= 14+2 142+3= 129．
(3)由平面α3为x+y+z=3可知，平面α3的法向量n3=1,1,1，
由交线l2方程为x-21=y-11=z-2可知，l2的方向向量u2=1,1,-2，
设平面β的法向量n4=x,y,z，则有n4⋅u2=x+y-2z=0n3⋅n4n3⋅n4=x+y+z 3⋅ x2+y2+z2= 33,
整理得x+y-2z=0xy+yz+zx=0，不妨设z=1，解得x=1+ 3y=1- 3或x=1- 3y=1+ 3；
故平面β的法向量n4=1+ 3,1- 3,1或1- 3,1+ 3,1
又直线l2在平面β内，不妨取其上一点2,1,0，
若n4=1+ 3,1- 3,1，则平面β为1+ 3x-2+1- 3y-1+z=0；
若n4=1- 3,1+ 3,1，则平面β为1- 3x-2+1+ 3y-1+z=0
综上，平面β的点法式方程为：
1+ 3x-2+1- 3y-1+z=0或1- 3x-2+1+ 3y-1+z=0