2025-2026学年江西省上进联考高二上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江西省上进联考高二上学期10月阶段检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线4x-4 3y+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
2.坐标原点O到直线x+y- 10=0的距离为( )
A. 102B. 2C. 5D. 2
3.若直线x+3y-2=0平分圆(x-a)2+(y-2)2=1的周长，则a=( )
A. 4B. 2C. 1D. -4
4.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2-2 3ax+y2-2ay-1=0(a≠0)交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为( )
A. 3x-y=0B. 3x-y+2=0C. 3x+y+2=0D. 3x+y=0
5.圆O1：x2+y2=14与圆O2：x2+y2-2x-3=0的公切线条数为( )
A. 0B. 2C. 3D. 4
6.设直线l1：x-2y+3=0与直线l2：(m+1)x-(m2+2)y+3m-1=0的方向向量共线，则l1与l2之间的距离为
A. 2 55B. 4 515或4 55C. 2 55或4 55D. 4 515
7.中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林(如图1)，其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD-A1B1C1D1是长方体，且AB=6，BC=BB1=4，A1B1C1D1-A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B2=3，棱台的高为2，则该几何体的表面积为( )
A. 110+9 5B. 119+9 5C. 125+9 5D. 149+9 5
8.在平面直角坐标系xOy中，P(3,4)，Q(1,1)，则∠POQ平分线的方程为
A. y=109xB. y=119xC. y=1+5 27xD. y=1-5 27x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 任意一条直线的倾斜角都存在
B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限
C. 两条平行的直线一定有相等的斜率
D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC，CD的中点，点P是D1M上靠近点M的三等分点，则( )
A. M，N，B ​1，D ​1四点共面
B. A ​1，P，C三点共线
C. 异面直线B ​1M与AA ​1所成角的正弦值为13
D. 直线A ​1P与底面ABCD所成角的正弦值为 33
11.已知直线l：ax+by=ab(ab>0)与圆C：(x-1)2+(y+1)2=4，则( )
A. l截C的弦长可能为4B. l截C的弦长不可能为3
C. 当ab2时，l可能与C相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且l过点A-34m,14m，则l的斜率为 ．
13.过(-1,0)，(3,0)，(0,2)三点的圆的标准方程为 ．
14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，M，N分别为PA，AB的中点，平面α过点M且平行于平面PNC，则α截三棱锥P-ABC所得截面图形的形状为 ，截面图形的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，AC⊥BC，AB= 5，BC=2，将△ABC沿AC旋转至△PAC，使得PB=2 3．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)求二面角A-BP-C的余弦值．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m-1=0过定点B，l1与l2交于点P．
(1)求|AB|；
(2)求△PAB面积的最大值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，B(5,0)．
(1)若两个分别以A，B为圆心的圆相切，设其半径分别为r1，r2，讨论r1，r2满足的等量关系；
(2)若圆心为P(a,b)的圆经过A，B两点，求圆P的方程．(结果用含a的式子表示)
18.(本小题17分)
过点M(-2,0)的直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，分别在A，B处作圆O的切线，这两条切线相交于点N．
(1)当NA⊥NB时，求sin∠BMO的值；
(2)当l的斜率为12时，求△OAB的面积；
(3)当|MN|=2时，求△NAB的外接圆的周长．
19.(本小题17分)
设圆M：(x-3)2+(y-4)2=25，直线l：(m+1)x+(2m+1)y=7m+4．
(1)证明：l始终与圆M相交；
(2)设l与圆M交于A，B两点．
(ⅰ)求过A，B，且半径为5的圆的圆心N到原点O的距离的最值；
(ⅱ)证明：存在唯一的定点P，使PA⋅PB为定值，并求出该定值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.C
8.C
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.1
13.(x-1)2+(y-14)2=6516
14.三角形； 3+ 5
15.解：(1)在△ABC中，AC⊥BC，AB= 5，BC=2，由勾股定理可得AC=1，
由旋转不改变原图形的性质，因为AC⊥BC，所以AC⊥PC，
又因为BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，
故点A到平面PBC的距离即为AC=1．
(2)取BP的中点D，连接AD，DC，由(1)知AC⊥平面PBC，又CD⊂平面PBC，所以AC⊥CD．
因为BC=CP，AB=AP，所以CD⊥BP，AD⊥PB，故∠ADC为二面角A-BP-C的平面角．
在等腰三角形PBC中，由PB=2 3，BC=2，解得CD=1，
故cs∠ADC=CDAD=CD AC2+CD2= 22，
即二面角A-BP-C的余弦值为 22．

16.解：(1)易得点A(-1,0)，
将l2表示为m(x-1)+y-1=0，易知该直线可表示为过直线x-1=0与y-1=0交点的直线，
易知交点为B(1,1)，
故|AB|= [1-(-1)]2+12= 5．
(2)由1⋅m+(-m)⋅1=0可知两条直线垂直，垂足为P，故AP⊥BP，
故由勾股定理可知|AP|2+|BP|2=|AB|2=5，
故△PAB的面积S=12|AP||PB|≤|AP|2+|PB|24=54，
当且仅当|AP|=|BP|= 102时等号成立，故△PAB面积的最大值为54．
17.解：(1)由题知，两圆圆心距|AB|= (5-1)2+(0-2)2=2 5，
当两圆外切时，两圆半径之和等于圆心距，即r1+r2=2 5;
当两圆内切时，两圆半径之差的绝对值等于圆心距，即|r1-r2|=2 5．
(2)设圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
因为圆P经过A，B两点，将其代入圆的方程，得(1-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(0-b)2=r2,
将两式相减消去r2，整理得b=2a-5，
所以(1-a)2+[2-(2a-5)]2=r2，解得r2=5a2-30a+50，
所以圆P的方程为(x-a)2+(y-2a+5)2=5a2-30a+50．
18.解：(1)不妨记ON与AB交于点P，由几何关系易知ON⊥AB，
由NA⊥NB，OA⊥NA，OB⊥NB可知四边形OANB是矩形，
由|OA|=|OB|可知其为正方形．
于是|OP|= 22|OA|= 22，而|OM|=2，
故sin∠BMO=|OP||OM|= 24．
(2)易得tan∠PMO=12，由|OM|=2可解得|OP|=2 55，
而|PA|= |OA|2-|OP|2= 55，于是|AB|=2 55，
故△OAB的面积S=12|OP||AB|=25．
(3)注意到|MN|=|MO|，而ON⊥AB，故P为ON的中点，易知P为AB的中点，
故由垂直关系和对角线关系可知四边形OANB是菱形，
由OB⊥NB可知其为正方形，且边长|OA|=1，
故△NAB的外接圆半径即正方形OANB的对角线长的半即 22，
故△NAB的外接圆的周长为 2π．
19.解：(1)证明：圆M:(x-3)2+(y-4)2=25，
其圆心M的坐标为(3,4)，半径r=5，
直线l:(m+1)x+(2m+1)y=7m+4，
即m(x+2y-7)+(x+y-4)=0．
联立x+2y-7=0,x+y-4=0,，解得x=1,y=3,，
即直线l过定点P0(1,3)．
由于|P0M|= (1-3)2+(3-4)2= 5