河南省驻马店市逐梦计划大联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷

这是一份河南省驻马店市逐梦计划大联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
直线 3x  y  1  0 的倾斜角为（ ）
π
6
π
3
2π
3
5π
6
已知直线l1 : x  ay 1  0 ， l2 : x  ay  2  0 ，若l1  l2 ，则实数a  （ ）
1B．1C． 1或1D． 1或0
若方程 x2  y2  2x  2 y  m  0 表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）
m  0
m  1
x2y2
m  2
m  4
已知椭圆 E :

a2b
2  1a  b  0 的长轴长是短轴长的2 倍，则 E 的离心率为（ ）
1
2
3
3
3
2
2 3
3
直线l : x  2 y  4  0 被圆C :  x  32   y 12  9 截得的弦长为（ ）
3
5
A．2B． 2C．4D． 2
FFx2y2
已知 1 、 2 是椭圆C :
 1 的两焦点，点M 在椭圆C 上，则MF1  MF2 的最小值是（ ）
94
A． 1B．1C． 3D． 4
2
已知直线l : x  y  4  0 ，圆C : x2  y2  r 2 r  0 ，若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，则
r  （ ）
2
2
A．2B．4C． 2D． 4
2
2
若椭圆C : x
2
3

y
2  1a  b  0 的离心率为
，左顶点为 A ，点 P 、Q
为C 上任意两点且关于
y 轴对称，
ab2
则直线 AP 和直线 AQ 的斜率之积为（ ）
1
4
1
2
3
4
4
5
二、多选题
下列说法正确的是（ ）
直线 y  2  4x 在 y 轴上的截距为 2
直线m  3 x  y  m  2  0 过定点1, 5
过点2,3 且平行于直线 x  2 y  3  0 的直线方程为 x  2 y  8  0
三条直线 x  2 y  4  0, x  y 1  0, 2x  3y  5  0 交于同一点
已知圆O :  x 12   y  22  4 与圆O : x2  y2  r 2 r  0 ，下列选项正确的有（ ）
12
若r  1，则两圆外切
若r  1，则直线 x  1 为两圆的一条公切线
若r  3 ，则两圆公共弦所在直线的方程为 x  2 y  0
若r  3 ，则两圆公共弦的长度为4
12
已知椭圆C : x2  y2  1 的左､右两个焦点分别为 F , F , P 为椭圆上一动点，M 2, 2 ，则下列说法正确的
259
是（ ）
存在点 P 使 PF1  PF2  0
VPF1F2 的周长为 16
2
VPF1F2 的最大面积为 12
PM
+ PF1 的最小值为10  2
三、填空题
点 A2, 3 关于点 B 1,0 的对称点 A 的坐标是.
2
若焦点在 x 轴上的椭圆 x
2
y
 1的焦距为 4，则m= ．
10  mm  2
1
若 A, B 是圆C :  x  22   y  m2  4 m  0 上两点，且 AB  2 3 ，若存在a  R ，使得直线l : ax  y  0
与l2 : x  ay  2a  4  0 的交点 P 恰为 AB 的中点，则实数m 的取值范围为.
四、解答题
已知V ABC ， A1, 3 、 B 3,1 、C 0, 0 ，求：
BC 边上的中线所在直线的方程；
BC 边上的高所在的直线的方程；
三角形 ABC 的面积.
已知圆C 的圆心为C 3, 0 ，且过点 A1, 5  .
求圆C 的半径及标准方程；
5
过点 A 的直线l 被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.
已知椭圆的焦点为 F1 6, 0 、 F2 6, 0 ，该椭圆经过点 P 5, 2
求椭圆的标准方程；
1 2
若椭圆上的点M  x0 , y0  满足MF1  MF2 ，求SVMF F .
已知圆C 的圆心在直线 x  y  0 上，且与 x 轴相切，直线2x  y  0 被圆C 截得的弦长为 8 5 .
5
求圆C 的方程；
若直线l 与圆C 相切，且与 x 轴、 y 轴分别交于点 Aa, 0 、 B 0, b a  4, b  4 .
①写出a 与b 的关系式；
②求V AOB 面积的最小值，并写出此时的直线l 的方程.
x2y2a3
A, B
已知椭圆C : a2  b2  1a  b  0 的两点.
求C 的方程；
为 2，离心率为
2 , F1 , F2 为C 的左，右焦点，
是椭圆C 上的
若 A, B 两点都在 x 轴上方，且 AF1 ∥ BF2 ，
①若 AF1  3 BF2 ，求 AF1 ；
②求四个点 A, B, F1 , F2 所构成的四边形面积的最大值.
1．B
由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由直线方程为 3x  y  1  0 可知直线l 的斜率为 3 ，
π
因此倾斜角为．
3
故选：B．
2．C
利用直线垂直的等价条件可得出关于实数a 的等式，解之即可.
【详解】因为直线l : x  ay 1  0 ， l : x  ay  2  0 ，且l  l ，则11 a a  1 a2  0 ，
1212
解得a  1 .
故选：C.
3．C
根据圆的一般方程性质列式计算求参数.
【详解】因为方程 x2  y2  2x  2 y  m  0 表示圆，所以4  4  4m  0 ，所以m  2 ，则实数m 的取值范围是m  2
故选：C.
4．C
1  a 
 b 2
 
b  1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
C
A
D
A
BCD
BD
题号
11
答案
ACD
由已知条件得出
a
2 ，再利用公式e 
可求出椭圆 E 的离心率.
x2y2
b  1
1  a 
 b 2
 
【详解】因为椭圆 E : a2  b2  1a  b  0 的长轴长是短轴长的2 倍，则2a  4b ，即 a2 ，
c2
a2
a2  b2
a2
故椭圆 E 的离心率为e  c 
a

3 .
1  2 
 1 2
 
2
故选：C.
5．C
先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.
12  22
3  2  1  4
 5 ，
【详解】圆C :  x  32   y 12  9 ，所以圆心C 3, 1 ，半径r  3 ，所以弦心距为d 
r 2  d 2
所以弦长为l  2
 4 ，
故选：C
6．A
设点M  x, y  ，其中3 ≤
x ≤ 3 ，可得出 y2  4  4 x2 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本
9
性质可求得MF1  MF2 的最小值.
2
【详解】对于椭圆C : x
2
y
 1 ，
则a  3 ， b  2 ， c 
94
a2  b2
32  22
5
，
所以 F1 
5, 0、 F2 
5, 0 ，
设点M  x, y 
，其中
3 ≤
x ≤ 3
22
xy
，且
94
，故
y2  4  4 x2 ，
9

––––→
所以MF1  
––––→ ––––→
––––→

5  x,  y ， MF2 
5  x,  y  ，
2222
4x2
5x2
故MF1  MF2  
5  x
5  x  y 
 x  y
 5  x
 4  5 1，
99
故当 x  0 时， MF1  MF2 取最小值1.
故选：A.
7．D
由圆心到直线的距离，即可判断.
2
【详解】圆 x2  y2  r 2 的圆心到直线l 距离d 
4  2 2 ，
2
若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为2
故选： D.
，则2
 r ，即r  4 2 .
2
2
8．A
2
根据椭圆的离心率求出 b
a2
的值，设点
P  x, y 
，则点
Q  x, y 
，其中
x a, 0 ∪ 0, a
，可得出
y2  b2
 b2
a2
x2 ，再利用斜率公式可求出kAPkAQ 的值.
c
3b  1
c2
a2
a2  b2
a2
1  a 
 b 2
 
【详解】由题意可知，椭圆C 的离心率为e  
a
y
设点 P  x, y  ，则点Q  x, y  ，其中 x a, 0 ∪ 0, a ，
，故 ，
a2
2
因为点 P 在椭圆C 上，所以 x
a2
2
 1，可得 y b2
2  b2
b2
2
a2 x ，
a
2b2 2
b222
易知点 Aa, 0 ，所以
y yy2
b  a2 x
2 a  x b21 ，
故选：A.
kAPkAQ  x  a  x  a  a2  x2 
a2  x2
a2  x2

a24
BCD
对于 A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于 B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到
x 1  0

，解之即得；对于 C 项，根据平行设直线 x  2 y  C  0 ，再代入求参即可；对于 D 项，联立
3x  y  2  0
求解即可.
【详解】对于 A 项，由 y  2  4x 可得：y  4x  2 ，可得直线 y  2  4x 在 y 轴上的截距是2 ，故 A 项错误；

对于 B 项，由m  3 x  y  m  2  0 可得：m(x  1)  3x  y  2  0 ，因m  R ，则有：x 1  0, x  1 ，
3x  y  2  0  y  5
故直线m  3 x  y  m  2  0 恒过定点1, 5 ，故 B 项正确；
对于 C 项，不妨设平行于直线 x  2 y  3  0 的直线方程为 x  2 y  C  0 ，因为过点2, 3 ，所以
2  6  C  0, C  8 ，即 x  2 y  8  0 ，故 C 项正确；
x  2 y  4  0

对于 D 项， x  y 1  0

2x  3y  5  0
点2, 3 ，故 D 项正确.故选：BCD.
BD
，所以x  2 ，所以三条直线 x  2 y  4  0, x  y 1  0, 2x  3y  5  0 交于同一
 y  3

利用圆与圆的位置关系可判断 A 选项；利用直线与圆的位置关系可判断 B 选项；将两圆方程相减可判断 C
选项；利用勾股定理可判断 D 选项.
5
5
【详解】圆O1 的圆心为O1 1, 2 ，半径为2 ；圆O2 的圆心为O2 0, 0 ，半径为，
12  22
对于 A 选项，若两圆外切，则 O1O2

 2  r ，解得r  2 ，A 错；
对于 B 选项，若r  1，圆心O1 到直线 x  1 的距离为2 ，则直线 x  1 与圆O1 相切，
圆心O2 到直线 x  1 的距离为1，则直线 x  1 与圆O2 相切，故当r  1时，则直线 x  1 为两圆的一条公切线，B 对；
5
对于 C 选项，若r  3 ，因为3  2  O1O2  3  2 ，此时两圆相交，
将两圆方程相减得2x  4 y  5  5 ，即 x  2 y  5  0 ，
12  22
32  5
5
故当r  3 时，两圆公共弦所在直线的方程为 x  2 y  5  0 ，C 错；对于 D 选项，当r  3 时，圆心O2 到直线 x  2 y  5  0 的距离为d 
 5 ，
r 2  d 2
此时两圆的公共弦长度为2
 2
 4 ，D 对.
故选：BD.
ACD
对于 A，由 PF1  PF2  0 可得点 P 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点 P 的轨迹与椭圆C 没有交点，由此得以判断；对于 B，利用椭圆的定义可得VPF1F2 的周长，由此判断即可；对于 C，根据椭圆的几何性质，当 P 为椭圆短轴顶点时，可得VPF1F2 的面积最大，从而得以判断；对于 D，利用椭圆的定义，结合三角形
边长的不等式可得 PM  PF1  2a  MF2 ，从而得以判断.
2
【详解】由C : x
2
y
 1 ，得
a  5, b  3, c  4 .
259
对于 A：假设存在点 P 使得 PF1  PF2  0 ，则 PF1  PF2 ，
所以点 P 的轨迹是以原点O 为圆心， F1F2 为直径的圆O ，则r 
1
2
F1 F2
 4 ，
因为椭圆C 上的任一点到原点O 的最小距离是短轴顶点与原点O 的距离，即b  3 ，由r  b 可知，圆O 与椭圆C 有交点，
所以假设成立，即存在点 P 使得 PF1  PF2  0 ，故 A 正确；
对于 B： VPF1F2 的周长为 PF1  PF2  F1F2  2a  2c  18 ，故 B 错误；
对于 C：当 P 为椭圆C 短轴顶点时，点 P 到 F1F2 的距离最大，则VPF1F2 的面积最大，
1 2
所以S△PF F
对于 D：
 1  2c  b  1  8  3  12 ，故 C 正确；
22
4  22  0  22
F 4, 0 ，又M 2, 2 ，所以 MF 
 2 2 ，
22
所以 PM
PF1
 PM
2a  PF2
 10  PM
 PF2
 10  MF2
 10  2 2 ，故 D 正确.
故选：ACD.
4, 3
设点 Aa, b ，由题意可知 B 为线段 AA的中点，利用中点坐标公式可求出点 A 的坐标.
【详解】设点 Aa, b ，由题意可知 B 为线段 AA的中点，
 a  2  1

 2a  4

由中点坐标公式可得b  3
 0
，解得，
b  3
 2
因此点 A2, 3 关于点 B 1,0 的对称点 A 的坐标是4,3 .
故答案为： 4,3 . 13．4
根据椭圆中基本量的关系得到关于 m 的方程，解方程得到 m 的值.
2
【详解】因为椭圆 x
2
y
 1的焦点在 x 轴上且焦距为 4，
10  mm  2
所以10  m  m  2  2，
 4 2
 
 
解得m=4 .
故答案为：4.
14．  5  2, 5 

由直线与圆相交以及弦长 AB  2 3 ，可得M 点的轨迹方程，又直线l1 : ax  y  0 与l2 : x  ay  2a  4  0 相
交，可得交点 P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆 P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．
【详解】圆C :  x  22   y  m2  4 m  0 的半径r  2 ，
r 2  MC 2
Q M 为 AB 的中点，且 AB  2
 2 3 ，解得 MC  1，
 M 点的轨迹方程为 x  22   y  m2  1m  0 ，
又直线l1 : ax  y  0 过定点Q 0, 0 ， l2 : x  ay  2a  4  0 即 x  4  a  y  2  0 过定点S 4, 2 ，且l1  l2 ，
5
则 P 点是两垂线的交点，所以 P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为2, 1 ，半径为 1 QS  1 16  4 ，
22
1
 P 的轨迹方程为 x  22   y 12  5 ，由于l 的斜率存在，所以点 P 的轨迹要去掉点0, 2 ，
由已知可得：圆M 与圆 P 有公共点，
5 1  MP 
5 1，即 5 1  m 1 
5 1，又m  0 ，所以
5
5
5
5
 1  m  1  1，解得 2  m ，
故答案为：  5  2, 5 

15．(1) 5x  y  8  0
3x  y  6  0
4
求出线段 BC 的中点 D 的坐标，求出线段 AD 的两点式方程，化为一般式方程即可；
求出直线 BC 的斜率，可求出边 BC 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程；
求出直线 AB 的方程，即可求出点C 到直线 AB 的距离，再求出 AB 的值，再利用三角形的面积公式可求得V ABC 的面积.
 2 2 
【详解】（1）由题意可知线段 BC 的中点为 D  3 , 1  ，

y  3  x 1
所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 1  3 3 1 ，即5x  y  8  0 .
直线 BC 的斜率为kBC
22
 1 0  1 ，故边 BC 上的高所在直线的斜率为3 ，
3  03
因此 BC 边上的高所在的直线的方程为 y  3  3 x 1 ，即3x  y  6  0 .
直线 AB 的方程为 y  3  x 1 ，即 x  y  4  0 ，
1 33 1
( - 3) + ( -)
AB == 2 2 ，
12 12
2
点C 到直线 AB 的方程为d 4 2，
因此， S△ABC

AB  d  1  2 2  2
1
2
2
2
 4 .
16．(1)3， (x  3)2  y2  9
(2) x  1 或 x  4 5 y  21  0 .
由圆心和圆上的点求得半径，写出到圆的标准方程；
讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成立；斜率存在时，先设直线方程，由圆心到直线的距离和半径表示出弦长，解得斜率值，写出直线方程.
(1  3)2  (0  5)2
【详解】（1）半径r | AC | 3 ，
所以C 的方程为(x  3)2  y2  9 .
5
（2）当l 的斜率不存在时， l 的方程为 x  1 ， l 与圆相交，
9  4
圆心到直线l 的距离d  2 ，弦长为2
 2
，满足条件；
5
5
当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y  k (x  1) ，即kx  y  k  0 ，
| 3k  5  k |
k 2  1
圆心到直线l 的距离d ，
5
9   
 3k  5  k 
2


k 2 1


所以弦长2 2，
即k   5 ，
20
所以l 的方程为 x  1 或 x  4 5 y  21  0 .
2
2
1
17．(1) x  y 
459
(2) 9
利用椭圆的定义可求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，即可得出椭圆的标准方程；
由题意得出 x2  45  5 y2 ，由题意得出MF  MF  0 ，结合平面向量数量积的坐标运算求出 y 的值，
00120
1 2
结合三角形的面积公式可求得SVMF F 的值.
2
1
【详解】（ ）根据题意可设椭圆的标准方程为 x
2
2

y
2  1a  b  0 ，
由椭圆的定义可得2a  PF1
45  62
 PF2

ab
5  62  22
5  62  22

 6
，故a  3 5 ，
5
a2  c2
又因为c  6 ，所以b 

 3 ，
2
因此椭圆的标准方程为 x
2
y
 1 .
459
x2y222
（2）由题意可得 0  0  1 ，故 x0  45  5 y0 ，
459
MF1  6  x0 ,  y0  ， MF2  6  x0 ,  y0  ，
MF  MF
––––→ ––––→
222
因为12 ，所以MF1  MF2  6  x0 6  x0    y0   x0  y0  36
 45  5 y2  y2  36  9  4 y2  0 ，解得 y   3 ，
00002
1
2
故SF F  y  1 12  3  9 .
VMF1F21 2022
18．(1)  x  22   y  22  4 或 x  22   y  22  4
2

(2)① b  4a  8 a  4 ；②最小值为12  8
a 4
，直线l 的方程为 x  y  4  2 0
2
不妨设圆心坐标为C m, m ，由题意可知，该圆的半径为 m m  0 ，利用勾股定理和点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，解出m 的值，即可得出圆C 的标准方程；
①首先根据题设条件a  4, b  4 对（1）中求得的两个圆进行讨论，确定唯一满足条件的圆C 的方程，
然后利用直线与圆相切的条件（圆心到直线的距离等于半径）得出a 与b 的关系式；
②利用基本不等式可求出V AOB 面积的最小值，利用等号成立的条件求出a 、b 的值，即可得出直线l 的方程.
m2   4 5 
2


5
m2  16
5
【详解】（1）不妨设圆心坐标为C m, m ，由题意可知，该圆的半径为 m m  0 ，所以圆C 的标准方程为 x  m2   y  m2  m2 ，
由勾股定理可知，圆心C 到直线2x  y  0 的距离为d 
，
2m  m
22  1
2
 m
5 ，
由点到直线的距离公式可得d 
m
5
所以

，解得m  2 ，
m2  16
5
故圆C 的标准方程为 x  22   y  22  4 或 x  22   y  22  4 .
（2）①由题意，直线l 的截距式方程为 x  y  1，化为一般式方程为bx  ay  ab  0 ，
ab
若圆C 的方程为 x  22   y  22  4 ，则圆心C 2, 2 到直线l 的距离为
ab
 2  2 1
1  1
a2b2
 11 2

 ab 


1  1
a2b2
2
1 ab
1  1
a2b2
2222
d 
 1 
1  1
a2b2
1  1
a2b2
 abab
 2
 2
2 ，
此时直线l 与圆C 相离，不合题意，
所以圆C 的方程为 x  22   y  22  4 ，
a2  b2
2b  2a  ab
则圆心C 2, 2 到直线l 的距离为d  2 ，整理得ab  4 a  b  8  0 ，
故b  4a  8 a  4 ；
a  4
114a  8
2 a2  2a
2 a2  2a  8  88 

② SV AOB  2 ab  2 a  a  4 
a  4
a  4
 2  a  2  a  4 
 8

a  4
8
a  4
2
2  a  4  a  4  6   2  2
 6   12  8，


当且仅当a  4  8 a  4 时，即当a  4  2
a 4
时，等号成立，此时b  4a  8  4  2
2
2
2
a  4
2
故V AOB 面积的最小值为12  8
x22
，此时直线l 的方程为 x  y  4  2
 0 .
19．(1) y
4
 1；
(2)①1；②2.
e  c 3

【详解】（1）由已知得a2 ，解得a  2, c  3 ，
2c  2

所以b2  a2  c2  1，所以椭圆C 的方程为
x2  2
y
4
 1.
（2）①设 B 关于原点O 的对称点为 B1 ，则四边形 BF1B1F2 为平行四边形，所以 BF2  F1B1 ，因为 A ， B 两点都在 x 轴上方，且 AF1 / / BF2 , AF1  3 BF2 ，
所以 AF1  3F1B1 ，
F1 (
3, 0) ，设直线 AF1 : x  my  3 ，
3
x  my 

x2
由
 y2  1
 4
，消去 x 得m2  4 y2  2 3my 1  0 ，
2 3m
  12m2  4 m2  4  16m2 16  0 ，
设 A x , y , B  x , y  ，则 y  y

（1）； y y 
1
（2），
1 1122
12m2  4
1 2m2  4
因为 AF1  3F1B1 ，所以 y1  3y2 （3），
 
3m 
2
11

由（1）（2）（3）得 m2  4 
 3m2  4
，解得m2  ，由图知此时m  0 ，
2
则 AB

y  y

m2 1
m2 1y  y 4 y y

12

2
1 2
m2 1
 2 3m   4 
2
1 
 m2  4 




m  4
2


112
24  1 1
4 m 1
 24

m2  4
 
1  4
2
，故 AF1  1 . 3
②由①知 BF2  F1B1 ，且 AF1 / / BF2 ，所以SV AF2 B  SV F2 F1B1 ，
1 2
所以S四边形AF F B
3
 2 3m   4 
2
1 
 m2  4 




m  4
2



3

m2 1
m 1  3
2

 4
 SV AF2 B1

F1F2 y1  y2
1
2
 4
1
m2 1 
3
 1  2
3y  y 4 y y

12

2
1 2
m2 1
3
m2  4
2
3
1
2m2 1 
3
m2 1
 4 2
m2 1
 4 3 
2
当且仅当m2 1  3 ，即m  时取等号．
所以四个点 A, B, F1 , F2 所构成的四边形面积的最大值为 2．