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安徽省皖江名校联盟联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷
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这是一份安徽省皖江名校联盟联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选本小每小共分等内容，欢迎下载使用。
高二数学参考答案
一、选本小每小共分
【解析】斜率为tan =- 3 ,α = 5π 故选 D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
B
B
C
A
【解析】略
【解析】由已知得 -3
6
3
= 2
y
6
= x , 所以 x =-1,y =-4, 故 x - y = 3, 选 A.
2
【解析】选 C. 定义域都为(-1,1 , 且 ln(1 + x + ln(1 - x = ln(1 - x2 .
【解析】略
【解析】因为 f(x 为奇函数, 且 f(1 > 0, 故选 B.
__
__
__
__
__
_ _
【解析】因为 PA - 4DA = 2PB - 3CA , 所以 PA - 2PB = 4DA - 3CA ， 即 BA - PB = 4(DB+ BA -
_ ____
3(CB+ BA , 故 BP =-4BD + 3BC, 所以 P,B,C,D 四点共面, 选 C.
【解析】圆 C:x2 + y2 - 8y = 0 的圆心坐标为 C(0,4 , 半径为 4,l:y = kx + 2 过定点 N(0,2 , 设 AB 的中点为 Q,
_ ___
CQ ⊥ NQ, 则 Q 点的轨迹为以 CN 为直径的圆, 其圆心为 T(0,3 , 半径为 1.PA+ PB = 2PQ , 又 PQ ≤
__ _
PT + 1 = 6, 所以PA+ PB ≤ 12, 故选 A.
二选本每小分共在小有多题，全对部有
【解析】当 l 与 MN 平行时, 方程为 4x + y - 6 = 0; 当 l 过 MN 的中点(3, -1) 时, 方程为 3x + 2y - 7 = 0. 故选
AD.
【解析】可求 MN 的中垂线方程为 x + y = 2, 设圆心为 E(a,b , 则半径为 a , 故 a + b = 2, 所以 ME = a ,
即(a - 1 2 + (2- a 2 = a2, 解得 a = 1 或 a = 5, 所以方程为 x2 + y2 - 10x + 6y + 9 = 0 或 x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0. 故选
题号
9
10
11
答案
AD
BC
ABD
BC.
【解析】如图, 建立空间直角坐标系, 由已知 AP = BQ, 设 P (x,0,1 - x
(0 < x< 1
, 则 Q (0,1 - x,1 - x
_
,PQ =
__ _
(-x,1 - x,0 , 又平面 ABC 的法向量为 BB1 = (0,0,1 , 所以 PQ ⋅ BB1 = 0, 故 PQ ⎳ 平面
_
ABC,A 正确
2
≥ 2 , 当且仅当 x = 1
时成立, 故 B
2(x- 1
2
22
+ 1
; PQ = 2x - 2x+ 1 =22
正确; 球 O 的半径为 1 AC1 = 3 , 故表面积为 3π,C 错误；由已知 O( 1 , 1 , 1 , 又
2
PQ 的中点坐标为 M( x , 1 - x
2
( x- 1 ,- x , 1 - x
2 2 2
_
, 因为⋅故
3 x2 - 3 x+ 1
222
_
⊥
22 ,1 - x
,OM =22 2
3 (x- 1+ 1
2
228
2
OM PQ = 0,OM
1
PQ. OM
=
=
≥ 4 , 当且仅当 x =
2 时成立., 故
直线 PQ 被球 O 截得的弦长的最大值为 2
三填空题本每题共
= 10 , 所以 D 正确. 故选 ABD.
3 - 1
48
2
【答案】 11
12
【解析】能完成实验的概率为： 1 - 1 - 2
(
3
× 1 - 3
(
4
= 11 . 12
【答案】 24 【解析】 csα - sinα = 7 , 平方得 sin2α =- 24 , 可得cs2α = 7 , 故tan2α = 24 .
7525257
【答案】 x = 4 或 4x - 3y + 2 = 0 【解析】可求得 P(2,4 关于 l:x + y = 8 的对称点为 Q(4,6 , 设反射光线的
方程为 y - 6 = k(x- 4 , 则
6 - 2k
1 + k2
= 2, 解得 k = 4 , 方程为 4x - 3y + 2 = 0. 当斜率不存在时, 反射光线的方程
3
为 x = 4. 故反射光线的方程为 x = 4 或 4x - 3y + 2 = 0.
四解本共分。解写证程
【解析】 (1) 由已知直线 AB 的方程为： y - 3 = 2(x- 2 2 分
即 2x - y - 1 = 0. 故直线 AB 的方程为 2x - y - 1 = 0. 3 分
(2) ①解方程组 (x+ 7y+ 7= 0 , 解得 (x= 0 ，故 B(0, -1 . 6 分
2x- y- 1= 0y=-1
又 AC = BC, 由中点坐标公式得 D(1,1 , 高线 CD 的斜率为- 1 , 8 分
2
故 CD 所在直线的方程为 y - 1 =- 1 (x- 1 , 即 x + 2y - 3 = 0,
2
所以 CD 所在直线的方程为 x + 2y - 3 = 0. 10 分
②由 (x+ 7y+ 7= 0 , 解得 (x= 7
x+ 2y- 3= 0y=-2
故顶点 C 的坐标为(7， -2 . 13 分
【解析】 (1) 因为 M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点,
所以 MN ⎳ EF, 又 EF ⊂ 平面 DBEF,MN ⊄ 平面 DBEF,
所以 MN ⎳ 平面 DBEF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分连接 AC,A1C1, 交 MN,EF,BD 于 G,H,O,
连接 AG,OH 如图.
可知 ACC1A1 为矩形, 所以 GH ⎳ OA,
由已知 GH = 1 A1C1 = 1 AC = AO,
22
所以 AOGH 是平行四边形, 故 AG ⎳ OH 4 分又 OH ⊂ 平面 DBEF,AM ⊄ 平面 DBEF,
所以 AG ⎳ 平面 DBEF.
又 AG ∩ MN = G,AG,MN ⊂ 平面 AMN,
所以平面 AMN ⎳ 平面 DBEF. 7 分
设正方体的棱长为 a, 则体积为 a3.
三棱锥 A - A MN 的体积为 V = 1 S
AA = 1 × 1 a2 × a = a3
10 分
113 ΔA1MN
三棱台 EFC1 - BDC 的体积为
13824
V3 = 1 SΔEFC + SΔEFC SΔBDC + SΔBDC CC1
31
a2 × a2
82
3
8
= 1 ( a2 +
1
2
+ a2
× a = 7a3
13 分
24
加在平面 AMN 与平面 DBEF 之间的体积为 V = a3 - V - V = 2a3 .
2123
三部分的体积之比为 V1:V2:V3 = 1:16:7 15 分
【解析】 (1) 由已知四边形 BB1C1C 为平行四边形.
_
又 BC = c - b,BB1 = AA1 = a, 2 分
_ _
所以 BB1 ⋅ BC = a ⋅ (c - b = a ⋅ c - a ⋅ b = 0, 4 分
__
故 BC ⊥ BB1, 即 BB1 ⊥ BC. 所以：四边形 BB1C1C 为矩形. 6 分
_
①由已知 BC1 = BB1 + B1C = AA1 + BC
_ _ __
又 BC = AC - AB = c - b, 故 BC1 = a + c - b. 8 分
_
13
BC1 =(a + c - b 2 = a2+ c2+ b2+ 2a ⋅ c - 2a ⋅ b - 2b ⋅ c = 10 分
7
②同理 A1C = c - a,A1C =(c - a 2 = a2+ c2- 2a ⋅ c =
BC1 ⋅ A1C = (a + c - b ⋅ (c - a = c2 - a2 - b ⋅ c + a ⋅ b =-4 13 分
cs(BC ,A C = BC1 ⋅ A1C = -4 =- 4 91 , 14 分
7
11
13 ×91
BC1 ⋅ A1C
所以异面直线 BC1 与 A1C 所成角的余弦值为 4 91
91
15 分
(x- 4 2+ (y- 2 2
【解析】 (1) 设点 P 的坐标为(x,y ,
则PA =
(x+ 2 2+ (y+ 1 2 ,PB =
2 分
由已知得PA = 2PB , 所以 (x+ 2 2+ (y+ 1 2 = 2 (x- 4 2+ (y- 2 2 , 4 分
化简整理得 x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0
所以轨迹 C 的方程为 x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0. 6 分配方得： (x- 6 2 + (y- 3 2 = 20,
故轨迹 C 是以 E(6,3 为圆心,2 5 为半径的圆. 8 分
(2) 由已知得PA + PB = 3PA , 9 分 由 A(-2,-1 , 且(-2- 6 2 + (-1 - 3 2 > 20, 所以 A 在圆 E 的外部. 10 分
可求直线 AE 的方程为 y = 1 x. 11 分
2
由 y = 1 x 与(x- 6 2 + (y- 3 2 = 20 联立
2
整理得 x2 - 12x + 20 = 0, 解得 x1 = 2,x2 = 10
5
所以直线 AE 与圆有两个交点为 M(2,1 ,N(10,5 . 14 分可求得AM = 2 5 ,AN = 6 5 ，由已知得AM ≤ PA ≤ AN , 即 2 5 ≤ PA ≤ 6 5 , 16 分
故PA + PB = 3 PA 的取值范围是3 5 ， 9
2
. 17 分
【解析】 (1) 连接 AC 与 BD 交于点 E, 连接 ME.
因为 AB ⎳ CD,CD = 2AB, 所以 AE = 1 AC.
3
又 1 _ 1
PM = 3 PC, 故 PM = 3 PC, 所以 PA ⎳ ME. 3 分又 PA ⊄ 平面 MBD,ME ⊂ 平面 MBD, 所以 PA ⎳ 平面 MBD. 5 分
由已知 PD,AD,BD 两两垂直, 以 DA,DB,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.
则 A(1,0,0 ,P(0,0,2 , 又 AD = 1,AB = 2,
_
所以 DB = 3 , 故 B(0, 3 ,0 .DB = (0, 3 ,0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
__
由已知得 DC = 2AB = (-2,2 3 ,0 ,
_
故 C(-2,2 3 ,0 ,PC = (-2,2 3 ,-2 .
由 已 知 得
1 _
( 2
2 3 4
DM = DM
+ PM = DM +
3 PC
=- 3 ,
3 , 3.
9 分
_
设平面 BDM 的发现两位 m = (x1,y1,z1 , 则 m ⋅ DB = 0,m ⋅ DM = 0,
3 y1= 0
即
，取 x = 2, 则 y = 0,z = 1, 故 m = (2,0,1 . 11 分
(- 2 x1 + 2 3 y1 + 4 z1 = 0111
333_
设点 C 到平面 MBD 的距离为 h, 则 h = DC⋅ m = 4 5 . 12 分
__m5
由 (2) 得 PC = (-2,2 3 ,-2 ,PC = (0, 3 ,-2 .
__
设平面 PBC 的法向量为 n = (x2,y2,z2 , 则 n ⋅ PC = 0,n ⋅ PB = 0,
故 (
3 y2- 2z2= 0
3
-2x2+ 2 3 y2- 2z2= 0
, 取 z2 = 3 , 则 y2 = 2,x2 = 3 ,
可得 n = (
3 ,2,
15 分
故 cs(m,n = m⋅ n = 3 3 = 3 6 ,
10
m n
5 ⋅10
所以平面 PBC 与平面 MBD 夹角的余弦值为 3 6 . 17 分
10
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