备战2026年高考近五年(2021-2025)高考物理真题分类汇编(山东专用)专题08磁场(学生版+解析)

这是一份备战2026年高考近五年(2021-2025)高考物理真题分类汇编(山东专用)专题08磁场(学生版+解析)，共46页。

考点01 带电粒子在磁场中的运动
1．（2025·山东·高考）如图甲所示的Oxy平面内，y轴右侧被直线x=3L分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直Oxy平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。t=0时刻，质量为m、电荷量为+q的粒子从O点沿x轴正向出发，在Oxy平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。t0时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的y−t图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．区域I内电场强度大小E=4mLqt02，方向沿y轴正方向
B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径R=20L3
C．区域Ⅱ内磁感应强度大小B=3m5qt0，方向垂直Oxy平面向外
D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标17L3,0
考点02 带电粒子在复合场中的运动
2．（2024·山东·高考）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜32L的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为qB2L224m时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
3．（2023·山东·高考）如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

4．（2022·山东·高考）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，03L2的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为2πmv0qL，方向沿z轴负方向；在y≤−3L2，x>0的空间内存在磁感应强度大小也为2πmv0qL、方向沿y轴负方向的匀强磁场；在y≤−3L2，x0的区域内，存在着沿y轴负方向的匀强电场，在x>0且y0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度v0射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（ ）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。）
A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为 mv0k
B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半
C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半
D．经过时间 t=mπqB后，粒子的速度方向将沿着+x方向
【答案】D
【详解】A．题意可知最终粒子速度为0，动能定理有0−12mv02=−kv02s 解得s=mv0k 故A正确，不符合题意；
B．根据qvB=mv2r 解得r=mvqB 可知当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半，故B正确，不符合题意；
C．阻力产生的加速度a1=kvm 洛伦兹力产生的加速度a2=qvBm 故粒子合加速度a=a12+a22=vmk2+q2B2 当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半,故C正确，不符合题意；
D．若没有阻力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期T=2πmqB，经过时间t=T2=πmqB，粒子的速度方向将沿着−y方向。由于存在阻力，粒子速度不断减小，运动轨迹不是标准的圆周，经过πmqB时间后，粒子的速度方向不会沿着+x方向，故D错误，符合题意。
故选D。
3．（2025·山东枣庄·三模）我国特高压输电技术全球领先，如图甲所示为特高压输电线路，其中每组输电线都由6根相互平行的水平长直导线组成，使用六分裂间隔棒固定，使每组导线的横截面呈正六边形，中心为O，截面图如图乙所示。每根导线通有大小相等、方向相同的电流，已知单独一根通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是（ ）
A．穿过截面abcdef的磁通量不为零
B．导线b受到的安培力方向竖直向下
C．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度大小为2B
D．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据右手定则可知，通电长直导线产生的磁场是以长导线为圆心的同心圆，通电长导线产生的磁场平行于截面abcdef，所以穿过截面的磁通量为零，故A错误；
B．根据右手定则可知，e导线在b点产生的磁场方向垂直于eb向下，f导线在b点产生的磁场垂直于bf连线沿bc指向c，d导线在b点产生的磁场垂直于bd连线沿ba指向b，a导线在b点产生的磁场垂直于ab连线沿bd指向d，c导线在b点产生的磁场垂直于bc连线沿bf指向b，通过分析b点的磁场方向竖直向下，根据左手定则导线b的安培力方向水平向右，故B错误；
CD．a、b、c三根导线在O点产生的磁场大小均为B，a导线在O点产生的磁场垂直于aO连线指向ef中点，b导线在O点产生的磁场垂直于bO连线竖直向上，c导线在O点产生的磁场垂直于cO连线指向ab中点，三个磁场叠加可得O点的磁场方向竖直向上，大小为BO=B+2Bcs60∘=2B，故C正确，D错误。
故选C。
4．（2025·山东青岛·调研检测）人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态，为了研究这一课题，我们做如下的简化和假设：如图所示，某段血管内径为d，血流速度方向水平向右，血液中含有大量的正负离子，血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，M、N是血管上侧和下侧对称的两个位置。血液流量Q保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．M点电势高于N点电势
B．血液流速大小v=Qπd2
C．M、N两点间的电势差U=4BQπd
D．当血液中粒子浓度升高时，M、N两点间的电势差变大
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，可知负电荷向上偏，故M点电势低于N点电势，故A错误；
B．由题可得，血液流量Q=Sv=πd22v 解得v=4Qπd2 故B错误；
C．稳定时，粒子所受洛伦兹力等于所受的电场力，则有qBv=qE=qUd 解得U=4BQπd 故C正确；
D．根据U=4BQπd 可知M、N两点间的电势差U与血液中粒子的浓度无关，故D错误。
故选C。
5．（2025·山东聊城·学业水平等级考试模拟）排污管道对于一个城市的正常运转是不可或缺的。管道中的污水通常含有大量的正负离子。如图所示，管道内径为d，污水流速大小为v，方向水平向右。现将方向与管道横截面平行，且垂直纸面向内的匀强磁场施于某段管道，磁感应强度大小为B，M、N为管道上的两点，当污水的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）一定时（ ）
A．M点电势低，N点电势高
B．M、N间电势差与污水流速无关
C．由于沉淀物导致管道内径变小时，污水流速变小
D．由于沉淀物导致管道内径变小时，M、N间的电势差变大
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，带正电的粒子所受洛伦兹力向上，则M点电势高，N点电势低，故A错误;
B．温度后满足qUd=qvB 得U=dvB，即M、N间电势差与污水流速有关，故B错误；
C．由于污水流量一定，根据Q=Vt=vtSt=vS=πvd24 当沉淀物导致管道内径变小时，S变小，则污水流速变大，故C错误；
D．由于沉淀物导致管道内径变小时，根据U=dvB=4QBπd 故M、N间的电势差U变大，故D正确。
故选D。
6．（2025·山东省实验中学·四诊）某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为45°且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，以下说法正确的（ ）

A．粒子带负电，磁感应强度为2mg2vq，电场强度为2mg2q
B．电场力做功为2mgℎ2
C．粒子运动过程中机械能增大
D．落地点到发射点的水平距离4v2ℎ+gℎ2g
【答案】D
【详解】A．粒子在匀强电场和磁场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零；粒子受到的电场力与电场线平行，受到的洛伦兹力与磁场方向和电场方向都垂直，则粒子的受力如图所示：

若粒子带负电，则电场力、洛伦兹力和重力不可能平衡，因此粒子应带正电； 根据平衡条件mgcs45°=qE，mgsin45°=qvB 解得E=2mg2q，B=2mg2vq 故A错误；
BC．由左手定则可知粒子的速度方向垂直纸面水平向外；撤去磁场后，重力与电场力的合力垂直于电场斜向下。则粒子运动轨迹在垂直于电场线的平面内，故电场力不做功。则粒子落地过程中，机械能守恒。故BC错误；
D．粒子的速度方向垂直纸面水平向外，粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据a=mg−qEcs45∘m=12g 根据ℎ=12at2 可得t=4ℎg 水平向外做匀速直线运动，则x=vt=v4ℎg 水平向右做匀加速运动a'=qEsin45∘m=12g 则水平向右的位移z=12a't2=ℎ 落地点到发射点的水平距离s=x2+z2=4v2ℎ+gℎ2g 故D正确。
故选D。
7．（2025·山东淄博·一模）如图所示，恒定电流I流过边长为2a的水平放置的正方形导线，O点为正方形的中心，P点位于O点正上方且OP=a，每条导线在P点的磁感应强度大小均为B，则P点的磁感应强度大小为（ ）
A．0B．BC．2BD．22B
【答案】D
【详解】根据图中几何关系结合安培定则，可知两相互平行导线在P点产生的磁感应强度方向的夹角为90°，如图所示
则两相互平行导线在P点产生的合磁感应强度大小为B′=2B 方向竖直向上；则正方形导线在P点的磁感应强度大小为BP=2B′=22B
故选D。
8．（2025·山东Flawless联考·选考四）磁悬浮列车是一种依靠三相交流电实现高速行驶的运载工具。三相交流电可产生周期性变化的磁场，通过电磁感应使列车获得向前的牵引力。下面是一简化模型：如图所示，xOy平面为轨道平面，x轴与列车前进方向平行，空间中存在垂直于轨道平面的磁场，大小为B=B0csωt+kx（其中B0，ω，k均为正常数），且t=0时x=0处的磁场方向垂直于纸面向里。固定的金属矩形框ABCD与轨道平面平行，AB平行于y轴，BC平行于x轴，且AB=L，BC=πk，金属框的电阻为R，忽略由变化的磁场产生的感生电场，则（ ）
A．空间中磁场的传播方向为沿x轴正方向
B．空间中磁场的传播速率为ωk
C．t=π3ω时金属框受到的安培力大小为3ωB02L2kR
D．t=0至t=10πω，金属框产生的总热量为20πωB02L2k2R
【答案】BD
【详解】A．由于kxBC=π 可知，金属框在运动过程中，左右两边所在位置的磁感应强度大小始终相等，方向始终相反，当磁场向右运动时，金属框相对磁场向左运动，当磁场向左运动时，金属框相对磁场向右运动，根据右手定则可以确定感应电流的方向，根据左手定则可以确定安培力的方向与磁场运动方向相同，即当磁场向右运动时，所受安培力方向向右，金属框向右运动，当磁场向左运动时，所受安培力方向向左，金属框向左运动，金属框运动方向与磁场传播方向相同。由于题中金属框运动方向不确定，则空间中磁场的传播方向也不确定，故A错误；
B．结合上述有kxBC=π 可知λ=2xBC=2πk 根据圆频率与周期的关系有ω=2πT 则空间中磁场的传播速率为v=λT=ωk 故B正确；
C．结合上述可知，t=π3ω时，金属框左右两边的磁感应强度大小均为B1=B0csπ3=12B0 金属框回路产生的感应电动势E1=2B1Lv 感应电流为I1=E1R 金属框所受安培力大小F1=2B1I1L 结合上述解得F1=ωB02L2kR
故C错误；
D．结合上述，金属框左右两边的磁感应强度大小始终相等，均等于B=B0csωt 金属框回路产生的感应电动势E=2BLv 感应电流为I=ER 结合上述解得I=2B0Rcsωt 感应电流的有效值I0=2B0LωkR 则t=0至t=10πω，金属框产生的总热量Q=I02R⋅10πω 解得Q=20πωB02L2k2R 故D正确。
故选BD。
9．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，空间存在竖直向下的场强大小为E匀强电场和垂直纸面向里磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电量大小为q的离子从静止开始自M点沿曲线MQN运动，M、N在同一水平线上，Q点为运动轨迹的最低点，不计重力，则（ ）
A．M、N两点间的距离为2πmEqB2
B．M、N两点间的距离为πmEqB2
C．Q、M点两点间的竖直距离为2mEqB2
D．Q、M点两点间的竖直距离为π2mE2qB2
【答案】AC
【详解】AB．正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自M点沿曲线MQN运动的曲线属于圆滚线，即将离子从静止开始自M点沿曲线MQN的运动看作是水平方向的匀速运动和匀速圆周运动的合运动，M、N两点在同一水平面上，沿MN连线运动路径最短，所以使粒子沿MN连线匀速运动，满足：qvB=qE
解得：v=EB 方向由M指向N，离子由静止开始的曲线运动可以看成是水平向右的匀速运动和纸面内的匀速圆周运动的合运动，水平方向有v=EB 圆周运动线速度大小v'=EB 周期T=2πmqB 所以运动时间t=2πmqB 则M、N两点间的距离L=v't=2πmEqB2 选项A正确，B错误；
CD．Q点的速度等于水平向右的匀速运动速度与圆周运动在Q点水平向右速度的合速度，所以vQ=2EB
粒子由M点到Q点应用动能定理有qEℎ=12mvQ2 所以ℎ=2mEqB2 选项C正确，D错误。
故选AC。
10．（2025·山东·模拟预测）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以某一速度射入电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场叠加的区域。粒子还受到阻力f=−kv作用（k为已知常数，v为粒子的瞬时速度）。已知粒子在该区域恰做直线运动。不计粒子重力，则该粒子（ ）
A．一定做匀速直线运动
B．入射速度的大小一定为EB
C．入射速度的方向可以与纸面不平行
D．入射速度的方向与电场方向的夹角α一定满足tanα=qBk
【答案】AD
【详解】A．假设粒子做变速直线运动，在与速度垂直方向上的洛伦兹力大小就会改变，受力不能保持平衡，速度方向就会发生改变，不能维持直线运动，故粒子一定做匀速直线运动，故A正确；
B．根据平衡条件(qE)2=(kv)2+(qvB)2 解得入射速度的大小为v=qEk2+q2B2 故B错误；
C．若速度方向与纸面不平行，速度在垂直于纸面方向上有分速度，粒子在垂直于纸面方向受到阻力fy=−kvy做减速运动，与粒子一定做匀速直线运动相矛盾，故C错误；
D．根据几何关系可知tanα=qvBkv=qBk 故D正确。
故选AD。
11．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量m=20g，电荷量q=+4×10−3C，绝缘管长为L=3m。在管口所在水平面ab的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B1=10T的匀强磁场，ab面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度B2=15T的匀强磁场，ab上下的整个区域还存在着竖直向上、场强E=50N/C的匀强电场。现让小车始终保持v0=3m/s的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为f=0.02v，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面ab的距离为x=2m。取g=10m/s2，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场B1时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为3m/s2时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小。
【答案】(1)6m/s2
(2)13m/s
(3)0.2J
(4)5m/s
【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡mg=Eq=0.2N 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得qv0B1=ma 解得a=6m/s2
（2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有μqvy1B1=qv0B1 其中vy1=v0tan37°=4m/s 解得μ=v0vy1=34
竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得qv0B1−μqvy2B1=ma
将a=3m/s2代入得vy2=2m/s 此时小圆柱体的速度大小为v=v02+vy12=13m/s
（3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为v′=v0sin37°=5m/s 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有qv0B1L−Wf=12mv′2−12mv02 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量Q=Wf=0.2J
（4）设某时刻速度为vt，方向与竖直方向夹角为θ，竖直方向根据动量定理有
∑0.02vtΔtcsθ−∑qvtB2Δtsinθ=mvy3−mvy1
即−qB2x=m（vy3−vy1） 解得vy3=−2m/s 水平方向根据动量定理有
−∑0.02vtΔtsinθ+∑qvtB2Δtcsθ=mv′x−mv0
即−0.02x=m（vx−v0） 解得vx=1m/s 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为
v2=vy32+vx2=5m/s
12．（2025·山东淄博·三模）如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小E1（未知）。现有一质量为m、电量为+q的带电小球，从第二象限以速度v0=gL0水平射出，做匀速直线运动，经点M（0，2+22L0）进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点N（22L0，0）第一次离开第一象限进入第四象限内，第四象限内存在一未知电场，小球沿NP方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与y轴相交与P点，斜面沿NP方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为B2=2πmqT0的匀强磁场，同时存在竖直向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度大小E1；
(2)第一象限内磁感应强度大小B1；
(3)第四象限内的电场强度大小E2；
(4)小球在0∼12π+2T0时间内的路程s。
【答案】(1)E1=mgq
(2)B1=mqgL0
(3)E2=5+22mg2q
(4)2(6π+1)gT0216π2
【详解】（1）由小球在第二象限做匀速直线运动可知E1q=mg 解得E1=mgq
（2）因E1q=mg，则在第一象限内小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示：
由几何关系有2rcsθ=MN，csθ=OMMN 得r=L0 又qv0B1=mv02r 则B1=mqgL0
（3）由（2）中几何关系可知NP与x轴负方向成45° 小球由N到P过程中有v02=2aL0
且小球所受的合力F合=ma 重力mg和电场力qE2之间满足如下关系(qE2)2=(ma)2+(mg)2−2ma⋅mgcs135° 解得E2=5+22mg2q
（4）分析可知小球在第三象限无电场期间沿斜面做匀加速直线运动，恰好离开斜面时有qvB2=mgcs45°，v=gsin45°t 得t=T02π 小球在12π+2T0时刻恰好离开斜面，则小球在斜面上做匀加速直线运动的路程为s1=12gsin45°T02π2 小球在14πT0时刻的速度为v1=gsin45°T04π 小球在12π+1T0时刻的速度为v2=gsin45°T02π 分析可知小球在有电场存在的时间内做匀速圆周运动，由周期公式得T=2πmqB2=T0 则小球在两段有电场存在的时间内分别做两个完整的匀速圆周运动，两次的路程之和为s2=v1T0+v2T0 联立解得s=s1+s2=2(6π+1)gT0216π2
13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为qm、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于O′，OO′延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为U=2qa2B02m，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为B0，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为23B0时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到OO′的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
【答案】(1)πm3qB0
(2)（ⅰ）0，23a3；（ⅱ）8B0
【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得qU=12mv02
在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有qv0B0=mv02r1，T=2πr1v0 当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示
对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间t=T6=πm3qB0
（2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O点； ②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得23qv0B0=mv02r2 解得r2=3a3 由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示
所以，粒子到对称轴的距离d=2r2=23a3
（ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示
根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为32a，由几何关系可得a2+3a42=a+r32
解得r3=0.25a 由牛顿第二定律得qv0B2=mv02r3 解得B2=8B0
14．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图所示，在直角坐标系xOy中，以O′（−2R，0）为圆心、R为半径的半圆区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B0=mv0qR，MN为与x轴重合的直径；在−R≤x≤0区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1（未知）；在0≤x≤22−3R区域存在沿y轴负方向的匀强电场E1（未知）；在22−3R≤x≤42−3R区域存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2（未知）。已知xP=22−3R，xQ=42−3R，一质量为m、带电量为q的正粒子从圆周上a点（xa=−32R）沿y轴正方向以速度v0进入磁场B0，之后经磁场B1从y轴上的H点沿x轴正方向进入匀强电场E1，经P点进入磁场B2，又经过Q点射出磁场。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场B1的磁感应强度大小及H点坐标；
(2)电场强度E1与磁感应强度B2的比值；
(3)粒子从a点射入磁场到从Q点射出磁场，整个运动过程中需用的时间t。
【答案】(1)B1=mv02qR，[0，(2−3)R]
(2)v02
(3)2πR3v0+2−34+πR2v0
【详解】（1）带正电的粒子在磁场B0做圆周运动，设半径r1，洛伦兹力提供向心力，根据qv0B0=mv02r1
解得r1=R 粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子将从N点进入磁场B1，且其速度与x轴正方向的夹角为30∘，粒子进入磁场B1后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为r2，由于粒子垂直y轴离开磁场B1，由几何关系可知r2sin30°=R 根据洛伦兹力提供向心力qv0B1=mv02r2
解得B1=mv02qR H点的y坐标为yH=r2−r2cs30°=(2−3)R 则H点的坐标为[0，(2−3)R]。
（2）粒子在电场中做类平抛运动，则有OP=v0t，OH=12at2，a=qE1m 联立解得E1=mv0222−3qR 粒子到P点的竖直分速度设为vy，则vy2=OHt=2−3Rt 解得vy=v0 即粒子从P点射入磁场B2内的速度方向与x轴正向成45°角，速度大小为2v0，则做圆周运动的半径r3=22−3Rcs45° 根据q2v0B2=m2v02r3 解得B2=mv0q2−3R 所以E1B2=v02
（3）粒子在磁场B0中运动时间t1=T16=πR3v0 粒子在磁场B1中运动时间t2=T212=πR3v0 粒子在电场中运动时间由OP=v0t3 解得t3=22−3Rv0 粒子在磁场B2中运动时间t4=T34=2πm4qB2=2−3πR2v0 所以粒子整个运动过程中需用的时间t=t1+t2+t3+t4=2πR3v0+2−34+πR2v0
15．（2025·山东聊城·学考模拟三）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系Oxyz中，−L≤x−3L2的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小E0未知，方向平行于y轴，0~Lv0时间内沿y轴正方向；在y>3L2的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为2πmv0qL，方向沿z轴负方向；在y≤−3L2，x>0的空间内存在磁感应强度大小也为2πmv0qL、方向沿y轴负方向的匀强磁场；在y≤−3L2，x0的区域内，存在着沿y轴负方向的匀强电场，在x>0且y