湖南省衡阳市第八中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份湖南省衡阳市第八中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级部分学生的分数，过程如下等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.3×10﹣6B．3×10﹣6C．3×10﹣7D．3×107
2．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩统计如下表：根据表中数据，可以判断乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，则m、n的值可以是（ ）
A．m＝9.9，n＝0.2B．m＝9.9，n＝0.3
C．m＝9，n＝0.3D．m＝9，n＝0.2
3．（3分）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜1D．x＞1
4．（3分）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形的面积等于两条对角线积的一半
5．（3分）函数y＝x﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）解分式方程，去分母后正确的是（ ）
A．x（x﹣1）﹣x+2＝1B．x（x﹣1）﹣x+2＝x2﹣1
C．x（x﹣1）﹣x﹣2＝1D．x（x﹣1）﹣x﹣2＝x2﹣1
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD且CE＝BC，连接BE，则∠E＝（ ）
A．45°B．50°C．35°D．15°
8．（3分）如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为3，则k的值为（ ）
A．12B．﹣12C．6D．﹣6
9．（3分）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，若，则OE的长为（ ）
A．B．C．2D．1
10．（3分）如图，E是▱ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．20C．17D．10
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为 ．
13．（3分）已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 ．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m＝ ．
15．（3分）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝5时，y＝1.6．则y关于x的函数表达式是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若∠D＝110°，则∠AQD的度数为 ．
17．（3分）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 ．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，然后从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
21．（8分）某校2024年举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
收集数据：从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100．
整理、描述数据：
分析数据：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）如果七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AD＝3，直接写出DF的长．
23．（9分）生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的1.5倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
（1）玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
（2）两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
24．（9分）如图1，直线y＝2x+1与y轴交于点B，与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求反比例函数表达式．
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|（即“接近度”＝|m﹣n|），于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”＝ ，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ ．
（2）如图2．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m＞n），我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）．
①若矩形的“接近度”＝ ，矩形就是正方形；
②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”．
26．（10分）如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
（1）求点D的坐标及直线OP的解析式；
（2）求△ODP 的面积，并在直线AD上找一点N，使S△AEN＝S△ODP，请求出点N的坐标．
（3）在x轴上有一点T（t，0）（t＞5），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.3×10﹣6B．3×10﹣6C．3×10﹣7D．3×107
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n（1≤|a|＜10，n是正整数），由此即可得到答案．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
2．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩统计如下表：根据表中数据，可以判断乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，则m、n的值可以是（ ）
A．m＝9.9，n＝0.2B．m＝9.9，n＝0.3
C．m＝9，n＝0.3D．m＝9，n＝0.2
【分析】由乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，知乙成绩的平均数大于9.7，方差小于0.25，据此求解即可．
【解答】解：∵乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，
∴结合表格中数据知，乙成绩的平均数大于9.7，方差小于0.25，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差和算术平均数的意义．
3．（3分）如图，函数y＝kx和y＝ax+b的图象交于点P，根据图象可得不等式kx＜ax+b的解集是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜1D．x＞1
【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax+b在直线y＝kx上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：不等式kx＜ax+b的解集为x＞﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（3分）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形的面积等于两条对角线积的一半
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质解答即可．
【解答】解：A．平行四边形的对角线互相平分，正确，故不符合题意；
B．菱形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
C．矩形的对角线互相垂直，不正确，故符合题意；
D．正方形的面积等于两条对角线积的一半，正确，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．
5．（3分）函数y＝x﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，相矛盾，故选项不可以；
B、由函数y＝x﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故选项不可以；
C、函数y＝x﹣a的图象错误，故选项不可以；
D、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，一致，故故选项可以；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．（3分）解分式方程，去分母后正确的是（ ）
A．x（x﹣1）﹣x+2＝1B．x（x﹣1）﹣x+2＝x2﹣1
C．x（x﹣1）﹣x﹣2＝1D．x（x﹣1）﹣x﹣2＝x2﹣1
【分析】两个分母分别为x+1和x2﹣1，所以最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得x（x﹣1）﹣x﹣2＝x2﹣1．
故选：D．
【点评】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．本题的关键是找到最简公分母．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD且CE＝BC，连接BE，则∠E＝（ ）
A．45°B．50°C．35°D．15°
【分析】由菱形及菱形一个内角为120°，证得△ACD为等边三角形．由三线合一得出CE平分∠ACD，即求得∠ACE的度数．再由等腰三角形的性质把∠CBE的度数求出，则可求出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠E＝∠CBE＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为3，则k的值为（ ）
A．12B．﹣12C．6D．﹣6
【分析】根据中心均分面积，可得S△AOB＝2S△AOC＝6，由k值的几何意义可得．
【解答】解：∵点C是OB的中点，
∴S△AOB＝2S△AOC＝6，
∵|k|＝2S△AOB＝2×6＝12．
∴k＝±12，
∵图象在第二象限，
∴k＝﹣12．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，图象上一点（x，y）与坐标轴围成的矩形的面积就是|k|，k的正负取决于图象所在的象限．
9．（3分）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，若，则OE的长为（ ）
A．B．C．2D．1
【分析】利用正方形性质及勾股定理得到，再由等边三角形及勾股定理即可得到．
【解答】解：在正方形ABCD中，，则，
∵△ACE为等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查利用正方形及等边三角形性质求线段长，熟练掌握正方形及等边三角形的性质是解决问题的关键．
10．（3分）如图，E是▱ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．20C．17D．10
【分析】由“AAS”可证△EBQ≌△CFQ，可得BE＝CF，可证四边形BEFC是平行四边形，可得S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，通过证明四边形AEFD是平行四边形，可得S△PEF＝S△APD＝S△APD＝3cm2，即可求解．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BEC＝∠FCE，∠ABF＝∠CFB，
∵Q是CE中点，
∴EQ＝CQ，
∴△EBQ≌△CFQ（AAS），
∴BE＝CF，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，
∵AB＝CD，BE＝CF，
∴AE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝S△APD＝3cm2，
∴S阴影＝3+14＝17cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：由题可知，
x﹣1＝0且x+4≠0，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为 3 ．
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝﹣2x+m﹣3，
∵一次函数y＝﹣2x+m的图象向下平移3个单位后经过原点，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数图象平移的规律是解题关键．
13．（3分）已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】由二元一次方程组的解为，得出二元一次方程组的解为从而可得出交点坐标．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
即二元一次方程组的解为，
∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．
14．（3分）若关于x的方程有增根，则m＝ ﹣1 ．
【分析】首先让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，求出出m的值是多少即可．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），
可得：1﹣x＝m，
∵原方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，注意检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
15．（3分）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝5时，y＝1.6．则y关于x的函数表达式是 y＝ ．
【分析】根据待定法求反比例函数的解析式即可．
【解答】解：设解析式为（k≠0），
把x＝5，y＝1.6代入，得：
1.6＝，
解得k＝8，
∴函数解析式为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若∠D＝110°，则∠AQD的度数为 35° ．
【分析】证明∠DAQ＝∠AQD即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，AQ平分∠DAB，
∴∠DAQ＝∠QAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠QAB＝∠AQD，
∴∠DAQ＝∠AQD，
∵∠D＝110°，
∴∠AQD﹣∠DAQ＝（180°﹣110°）＝35°，
故答案为35°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（3分）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为 ．
【分析】由题意得出∠A＝90°，AB＝BE＝12，AD∥BC，BF∥DE，AD＝18，证四边形BGDH是菱形，得出BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝18﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝12，AD∥BC，BF∥DE，AD＝18，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝18﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：122+（17﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于 7.8 ．
【分析】连接AC交BD于点O，连接PC，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，再由三角形面积求出PE+PF＝4.8，即PE+PF的值为定值4.8，然后得出当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝×8＝4，AB＝BC＝CD＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝3，
∴OC＝OA＝3，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD，
∴BC•PE+CD•PF＝BD•OC，
∴5PE+5PF＝8×3，
解得：PE+PF＝4.8，
即PE+PF的值为定值4.8，
当PA最小时，PE+PA+PF有最小值，
∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，
∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案为：7.8．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、最小值以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+9﹣1﹣2
＝7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．（6分）先化简，再求值：，然后从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
由分式分母不为0可知m﹣3≠0，m﹣1≠0，则m从1，2，3中只能取m＝2，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、通分、约分及分式有意义的条件，根据分式的混合运算化简是解决问题的关键．
21．（8分）某校2024年举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
收集数据：从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100．
整理、描述数据：
分析数据：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 6 ，b＝ 91 ，c＝ 95 ；
（2）样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分， 甲 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）如果七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？
【分析】（1）根据中位数的定义、众数的定义即可求解；
（2）由中位数的定义判断甲乙两位同学的大致名次，即可求解；
（3）求出9（5分）以上所占百分比，进行估算，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，，c＝95，
故答案为：6，91，95；
（2）∵七年级的分数的中位数是8（9分），
∴甲同学的分数由高到低排可以排到第10名或之前，
∵八年级乙同学的分数由高到低排在第11名，
∴甲同学更靠前，
故答案为：甲；
（3）由题意得（人）
∴该年级约有160人的分数不低于9（5分）．
【点评】本题考查了中位数的定义、众数的定义、样本估计总体；掌握估算方法，理解相关定义“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数”是解题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AD＝3，直接写出DF的长．
【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得EF＝AD＝3，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得DF的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
在△FCE和△ACD中，
，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝3，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
23．（9分）生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的1.5倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
（1）玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
（2）两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）设康乃馨的单价是x元，则玫瑰花的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用1800元购进玫瑰花的数量比用1380元购进康乃馨的数量少30枝，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出康乃馨的单价，再将其代入1.5x中，即可求出玫瑰花的单价；
（2）设购进m枝玫瑰花，则购进（600﹣m）枝康乃馨，根据购进玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设康乃馨的单价是x元，则玫瑰花的单价是1.5x元，
根据题意得：﹣＝30，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×6＝9（元）．
答：玫瑰花的单价是9元，康乃馨的单价是6元；
（2）设购进m枝玫瑰花，则购进（600﹣m）枝康乃馨，
根据题意得：m≥3（600﹣m），
解得：m≥450．
设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为w元，则w＝9m+6（600﹣m），
即w＝3m+3600，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝450时，w取得最小值，最小值为3×450+3600＝4950（元），此时600﹣m＝600﹣450＝150（枝）．
答：当购进450枝玫瑰花，150枝康乃馨时花费最少，最少费用是4950元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．（9分）如图1，直线y＝2x+1与y轴交于点B，与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求反比例函数表达式．
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求a的值，即可求解；
（2）①由平移的性质可得BD＝AC，BD∥OF，可求点D坐标，点C坐标可求CE，EF的长，即可求解；
②分三种情况讨论，由平行四边形的性质可得等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x+1上，
∴a＝2×1+1＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴y＝；
（2）①由（1）知，y＝，
当y＝1时，x＝3，
∴D（3，1），
∴BD＝AC＝3，
∴C（4，3），
当x＝4时，y＝，
∴EF＝，CF＝3，
∴CE＝，
∴＝＝3；
②设点N（m，n），
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴4+m＝1+3，3+1＝3+n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N（0，1）；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴3+m＝1+4，3+3＝1+n，
∴m＝2，n＝5，
∴点N（2，5）；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A（1，3），D（3，1），C（4，3），
∴1+m＝3+4，3+n＝1+3，
∴m＝6，n＝1，
∴点N（6，1）；
综上所述：点N的坐标为（0，1）或（6，1）或（2，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|（即“接近度”＝|m﹣n|），于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”＝ 0 ，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ 2﹣2 ．
（2）如图2．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m＞n），我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）．
①若矩形的“接近度”＝ 1 ，矩形就是正方形；
②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”．
【分析】（1）①根据对角线相等的菱形是正方形求解即可；
②根据菱形的性质推出△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质及勾股定理求解m、n，即可得解；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形求解即可；
②在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE，根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形求解m、n，即可得解．
【解答】解：（1）①∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当m＝n时，菱形就是正方形，
∴|m﹣n|＝0，
即菱形的“接近度“＝0时，菱形就是正方形，
故答案为：0；
②菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝60°，AC⊥BD，BD＝2OB＝n，AC＝2OA＝m，
∴△ABC是等边三角形，∠AOB＝90°，
∴m＝AC＝AB＝2，
∴OA＝1，
在Rt△AOB中，
OB＝＝＝，
∴n＝2OB＝2，
∴|m﹣n|＝|2﹣2|＝2﹣2，
即菱形的一个内角为60°，则“接近度“＝2﹣2，
故答案为：2﹣2；
（2）①∵邻边相等的矩形是正方形，
∴当m＝n时，矩形就是正方形，
此时，＝1，
即矩形的“接近度”＝1时，矩形就是正方形，
故答案为：1；
②∵∠BOC＝∠AOD＝45°，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOD＝22.5°，∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝67.5°，
在AB上取一点E，使BE＝BC＝n，连接CE，如图：
则∠ECB＝∠CEB＝45°，
∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝22.5°，
∴∠OAB＝∠ACE，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，cs∠ECB＝＝，BC＝n，
∴CE＝n，
∴AE＝n，
∴m＝AB＝AE+BE＝n+n＝（+1）n，
∴＝＝+1．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键．
26．（10分）如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
（1）求点D的坐标及直线OP的解析式；
（2）求△ODP 的面积，并在直线AD上找一点N，使S△AEN＝S△ODP，请求出点N的坐标．
（3）在x轴上有一点T（t，0）（t＞5），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；
（2）利用三角形面积的公式可求出S△ODP的值，由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（m，﹣m+8），由△AEN的面积等于△ODP的面积，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点N的坐标中即可得出结论；
（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ＝90°、∠GFQ＝90°及∠FQG＝90°三种情况考虑：①当∠FGQ＝90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ＝90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG＝90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解得t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点F，G坐标，进而得到点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），
∴点A的坐标为（8，0），BC∥x轴．
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣8+b，
∴b＝8，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+8．
当y＝6时，有﹣x+8＝6，
解得：x＝2，
∴点D的坐标为（2，6）．
∵点P是AD的中点，
∴点P的坐标为（，），即（5，3），
∴直线OP的解析式为y＝x．
（2）S△ODP＝S△ODA﹣S△OPA，
＝×8×6﹣×8×3，
＝12．
当x＝8时，y＝x＝，
∴点E的坐标为（8，）．
设点N的坐标为（m，﹣m+8）．
∵S△AEN＝S△ODP，
∴××|8﹣m|＝12，
解得：m＝3或m＝13，
∴点N的坐标为（3，5）或（13，﹣5）．
（3）∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），
∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，﹣t+8）．
分三种情况考虑：
①当∠FGQ＝90°时，如图1所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG＝GQ，即t﹣（﹣t+8）＝8﹣t，
解得：t＝，
∴G（，），
∴此时点Q的坐标为（8，）；
②当∠GFQ＝90°时，如图2所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG＝FQ，即t﹣（﹣t+8）＝8﹣t，
解得：t＝，
∴F（，），
∴此时点Q的坐标为（8，）；
③当∠FQG＝90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG＝2QS，即t﹣（﹣t+8）＝2（8﹣t）或t﹣（﹣t+8）＝2（t﹣8），
解得：t＝或t＝20，
当t＝时，点F的坐标为（，4）点G的坐标为（，），
∴此时点Q的坐标为（8，），即（8，）；
当t＝20时，点F的坐标为（20，12）时，点G的坐标为（20，﹣12）；
∴此时点Q的坐标为（8，0）；
综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形；点Q的坐标为（8，）或（8，）或（8，）或（8，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式结合两三角形面积相等，找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程；（3）分∠FGQ＝90°、∠GFQ＝90°及∠FQG＝90°三种情况求出t值．
甲
乙
丙
丁
平均数（单位：环）
9.7
m
9.3
9.6
方差s2.
0.25
n
0.28
0.27
分数段
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
七年级人数
4
6
2
8
八年级人数
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
七年级
91
89
97
八年级
91
b
c
甲
乙
丙
丁
平均数（单位：环）
9.7
m
9.3
9.6
方差s2.
0.25
n
0.28
0.27
分数段
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
七年级人数
4
6
2
8
八年级人数
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
七年级
91
89
97
八年级
91
b
c