湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了已知复数，i为虚数单位，则为，设向量，，则，对于有如下命题，其中错误的是等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，i为虚数单位，则为（ ）
A．B．C．D．
2．某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为
A．60B．50C．40D．30
3．设向量，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）
甲：8 12 13 27 24 37 22 20 25 26
乙：9 14 13 11 18 19 20 21 21 23
A．甲的极差是29B．甲的中位数是25
C．乙的众数是21D．甲的平均数比乙的大
6．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．与互斥B．与对立
C．与相互独立D．与相互独立
7．若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
8．四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
二､多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.
9．某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（ ）

A．小组A打分分值的众数为47
B．小组B打分分值第90百分位数为75
C．小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差
D．小组B打分分值的极差为39
10．对于有如下命题，其中错误的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的面积为
C．若，则为等腰三角形
D．P在所在平面内，若，则P是的重心
11．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．，，若，则 ．
13．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .
14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
四、解答题（共5题，共77分）
15．（13分）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
(1)求函数的周期及表达式；
(2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.
16．（15分）如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
17．（17分）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率；
(2)求样本数据的中位数的估计值；
(3)已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数.
18．（17分）如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的正切值为．
(1)求侧面与底面所成二面角的大小；
(2)若是中点，求异面直线与所成角的正切值．
19．（20分）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得.
【详解】，
.
故选：B
2．C
【分析】设该样本中高三年级的学生人数为x，则，解之即可
【详解】设该样本中高三年级的学生人数为x，
则，解得，
故选C．
【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，属基础题．
3．A
【分析】直接将坐标代入计算即可得到结果.
【详解】∵向量，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标形式的线性运算，属于基础题.
4．C
【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；
选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项D错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；
选项C正确，利用平面与平面垂直的判定定理，可得,
故选：C.
【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.
5．B
【分析】根据已知数据依次计算判断即可.
【详解】对A，甲的极差为，故A正确；
对B，甲按从小到大为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，则中位数为，故B错误；
对C，乙中最多的为21，所以众数为21，故C正确；
对D，甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的大，故D正确.
故选：B.
6．D
【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：
对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.
【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；
对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；
对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.
故选：D
7．D
【分析】根据且，，利用线面垂直的判定定理得到，即可.
【详解】解：如图所示：
因为，且，
所以平面，则，
同理得，
所以O是的垂心．
故选：D
8．A
【分析】画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等量关系，求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.
【详解】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．ABD
【分析】由众数的定义判断A；由百分位数的定义判断B；计算方差判断C；求出极差判断D.
【详解】由折线图知，小组A打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，故A正确；
小组B打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，
∵，∴小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，故B正确；
小组A打分分值的均值，
小组A打分分值的方差，
小组B打分分值的均值，
小组B打分分值的方差，故C错误；
小组B打分分值的极差为75－36＝39，故D正确．
故选：ABD．
10．ABC
【分析】根据正余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否.
【详解】对于A，因为，通过正弦定理可知，故是钝角三角形，故A错；
对于B，若，假设由余弦定理可知
可解得或
当
当故B错；
对于C，若则由或者
即或者，则是等腰三角形或者直角三角形，故C错；
对于D，P在所在平面内，
若，取中点，连接，
所以有,
又因为，所以
，所以，
所以三点共线，且,所以P是的重心，故D正确；
故选：ABC
11．ABD
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，D正确.
故选：ABD.
12．/0.5
【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求得的值.
【详解】，，
因为，所以，解得：.
故答案为：
13．
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P，
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14．/
【分析】首先证明平面，再根据线面角的定义，即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小.
【详解】
因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，
又，，平面，故平面，
连接，故即为所求直线与平面所成角.
由，故在直角三角形中，，故，
则，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为，
故答案为：.
15．(1)，；
(2)
【分析】（1）利用三角函数的对称性和周期性计算即可得出周期及解析式；
（2）利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可.
【详解】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，
可知，故周期，
由周期，所以，即函数，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故有，
所以函数的表达式为；
（2）由，可知，
由三角函数图像性质可得，
所以，
又因为函数对任意，都有恒成立，
故只需即可，即.
故参数的取值范围为.
16．（1）见解析 （2）存在，为线段中点.
【解析】（1）通过证明证得平面，结合证得平面，由此证得平面平面.
（2）通过计算证明证得，设为线段中点，为线段中点，连接，结合（1）的结论，利用等腰三角形的性质证得平面，证得四边形是平行四边形，由此由此还整得，进而证得平面.
【详解】（1）∵平面，∴．
又为圆周上一点且是半圆的直径，∴．
∴平面．
又，
∴平面，且平面，
∴平面平面；
（2）点为线段中点，证明如下：
设，则，，
∴．又，∴．
∴．
取中点，连接．
∴．又由（1）可知平面平面，故平面．
又，，故，即四边形为平行四边形，
∴，∴平面．
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可得解；
（2）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；
（3）算出样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，从而求人数.
【详解】（1）日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为
；
（2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为
，
所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得.
（3）样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为
，
又男､女学生恰好各占一半，
所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为，
日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为，
故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，
则该学校高一男生的人数为人.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）连接交于点，由题可得就是与底面所成的角，取中点，进而可得就是侧面与底面所成二面角的平面角，由即可求出答案；
（2）连结，易证就是异面直线与所成的角，且，求出长，由得出答案即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，则平面，
所以就是与底面所成的角，
∴，
，则，
取中点，连，
则，
所以就是侧面与底面所成二面角的平面角．
在中，，
∴，即侧面与底面所成二面角的大小为；
（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PB中点，
所以且，
∴就是异面直线与所成的角．
在中，，
∴．
由，且平面，平面，
∴平面，又平面，
所以，
在中，，
即异面直线与所成角的正切值为．
19．（1）；（2）；（3）存在；．
【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式；
（2）根据题意列出方程组，从而求解；
（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值.
【详解】（1）当时，．
所以．
（2）设，因为在上递减，
所以，整理得，解得．
所以在内的“倒域区间”为．
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，
所以，即，同号，所以只需考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上知：．