浙江省杭州绿城育华中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份浙江省杭州绿城育华中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系即可求解.
【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边.
2．如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答．
【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：A
3．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
4．对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可．
【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例；
B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例；
C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例；
D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例；
故选：D．
5．能把三角形面积分成相等两部分的是（ ）
A．该三角形一边的中垂线B．该三角形的角平分线
C．该三角形的高线D．该三角形的中线
【答案】D
【分析】本题考查三角形中线的定义和性质．根据等底等高的两个三角形面积相等可得：三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分判断即可．
【详解】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线．
故选：D．
6．根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法（）及三角形构成条件逐一分析选项即可．
【详解】选项A：已知．此为“边边角”（），但不能唯一确定三角形（除非是直角），可能存在两种不同形状的三角形，故排除．
选项B：已知．计算三边和：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故排除．
选项C：已知．此为“角边角”（），因两角及夹边唯一确定三角形，且第三个角可通过内角和确定，符合全等条件，故可唯一确定．
选项D：已知三个角（）．此为“角角角”（），无法确定边长，无法画出唯一的三角形，故排除．
故选：C．
7．如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得，得，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示：
则，，
，，
；
，
，
在和中，
，
，
，
故选：A．
8．如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
9．如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【分析】过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小，求出AG的长即为所求．
【详解】解：过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PG=PQ，
∴PA+PQ=AP+PG≥AG，
∴当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小，
∵BC=10，△ABC的面积为24，
∴AG=，
∴AP+PQ的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查最短距离的求法，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
10．如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质等知识．过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得．
【详解】解：过点B作交的延长线于点G，如图：
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：B．
二、填空题
11．已知一等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形性质，根据等腰三角形的一个内角为，分以下两种情况讨论，①为等腰三角形的顶角，②为等腰三角形的底角，再根据三角形内角和求出其顶角，即可解题．
【详解】解：等腰三角形的一个内角为，
①为等腰三角形的顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为；
②为等腰三角形的底角时，这个等腰三角形顶角的度数为；
故答案为：或．
12．命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
13．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
，
利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积，
解题的关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比．
【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．

【答案】2或5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点E作的垂线交直线于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
①如图，当点E在射线上移动时，，

∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动的时间为；
②当点E在射线上移动时，，
∴，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动的时间为；
综上所述，当点E在直线上移动或时，；
故答案为：2或5．
16．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
，
∴，
∴，
故①正确；
在上截取，
∵和是和的平分线，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
作于于，连接，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
三、解答题
17．如图，已知，其中．
(1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长=
．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
18．如图，， ，
(1)求证：．
(2)线段与相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）由边边边容易证明全等；
（2）由（1）得，再由等角对等边得．
【详解】（1）证明：在 与 中，
，
∴
（2）解：
理由：
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了边边边判定三角形全等，全等的性质，等腰三角形的判定．
19．如图，在中，AE是的高．
(1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数；
(2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示）
(3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)的度数为；
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可；
（3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数．
【详解】（1）解： ∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故的度数为；
（2）解：由题意得，
∵是的平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：；
（3）解：∵和的平分线交于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
∴的度数为．
【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键．
20．小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．

(1)求证：；
(2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)合理；理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识．
（1）由同角的余角相等得到，根据即可证明；
（2）由得到，据此计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵于点D，于点E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理，
理由：∵点B到水平距离，于点D，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小丽所在公园的秋千高度设置合理．
21．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，据此即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
过点E作，垂足为F，
，
，，
，
∵G为中点，
，
，，
，
，
．
22．如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．

(1)与全等吗？说明理由；
(2)当，，，时，求的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)6
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质．
（1）由平行线的性质得到，直接利用即可判定；
（2）由（1）得，由垂直的定义得出，即可根据判定，即可得到，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出平分，再根据角平分线的性质结合三角形面积公式即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点D作于点M，

由（1）得，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∵，，
∴，
的面积．
23．已知：如图，在中，于点为上一点，且．
(1)判断和的位置关系，并说明理由；
(2)连结，作交于点，试判断的形状；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)，详见解析
(2)是等腰直角三角形，详见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定以及一元二次方程：
（1）证明后，得到，利用三角形内角和为求解即可；
（2）利用证明，得到即可判断形状；
（3）设，根据得到，利用三角形面积公式计算，进而得到的长度．
【详解】（1）．
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）是等腰直角三角形．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（3）设，
，
，
，
，
，
，
或（舍），
，
，
．
24．如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．

(1)如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ；
(2)如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点．
(3)当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用．
（1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出结论；
（2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论；
（3）过点作交的延长线于，由（1）可知，由（2）可知，再由 ，则，，，，进而得，，据此可得出答案．
【详解】（1）证明：如图过点作于点，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作于点，则，

由（1）可知：
∴，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点．
（3）解点在射线上，
有以下两种情况：
（ⅰ）当点在线段上时，过点作于，如图所示：
，
，
由（2）可知：，则，
由（2）可知：，则，
，
．
（ⅱ）当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示：

由（2）可知：，
由（2）可知：，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述：的值为：或．