2025-2026学年广东省广州市培英中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年广东省广州市培英中学九年级上学期10月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（ ）
A．B．C．D．
3．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．2
4．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2036B．2035C．2034D．2033
5．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4
C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+2
6．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．元旦期间，某微信群每两个成员之间都单独互发一条祝福短信，共发出30条短信，设这个群的人数为x人则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．抛物线的对称轴是 ．
12．2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 ．
13．二次函数，当时，函数的最大值为 ．
14．如图，二次函数的图象，则不等式的解集是 ．
15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．
16．已知为的角平分线，且，，当面积最大时，其周长为 ．
三、解答题
17．解方程
(1)
(2)
18．已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标．
19．已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A(1，2)，B(2，3)．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)判断点B(﹣1，﹣4)是否在此抛物线上．
20．关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
21．如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集.
22．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒．
(1)设售价每盒下降元，则每天能售出_____盒（用含的代数式表示）；
(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元；
(3)该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？请说明理由．
23．若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，且满足点在上，点在上，则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”．
(1)写出二次函数且以不顶点的“共同体二次函数”；
(2)设二次函数与轴的交点为，求以为顶点的二次函数的“共同体二次函数”；
(3)若二次函数与其“共同体二次函数”的顶点不重合，试求该“共同体二次函数”的二次项系数．
24．已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．求的值；
25．如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
《广东省 广州市培英中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程．根据一元二次方程的定义（整式方程，只含一个未知数且最高次数为2）逐一分析选项．
【详解】解：A、 是二次多项式，但无等号，不是方程，故本选项不符合题意．
B、是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合定义，故本选项符合题意．
C、 展开后为，最高次数为4，不符合，故本选项不符合题意．
D、 含分式，非整式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线是．
故选：C．
3．C
【分析】把x=-1代入方程2x2+ax-a2=0，可得关于a的方程，解方程即可．
【详解】∵x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，
∴2×（-1）2+a×（-1）-a2=0，
∴a2+a-2=0，
∴（a+2）（a-1）=0，
∴a=-2或1．
故选：C．
【点睛】考查了方程的解的定义，解题关键是把已知的根代入方程，转化为解另一个未知数的一元二次方程．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可．
【详解】解：根据题意得，，
∵，是方程的两个实数根，
∴
∴，
故选：B．
5．D
【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
6．D
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
【详解】根据题意得且，
解得且．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式:人数每个人发的短信数30条短信，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
；
故选：B．
8．C
【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，熟记一次函数与二次函数的图象并逐一判断选项图象是解本题的关键．
【详解】解：当时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上；对称轴为轴，
当时，直线过一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为轴，
可得选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
9．D
【分析】根据函数图象的对称轴和与y轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与x轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当时，函数值小于0，判断出③正确，由对称轴得，再根据当时，函数值小于0，判断出④正确．
【详解】解：∵函数图象对称轴在y轴右边，
∴，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵函数图象与x轴有两个交点坐标，
∴，故②正确；
根据二次函数图象的对称性，它与x轴的另一个交点坐标在2和3之间，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
当时，，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是能够通过函数图象判断出各项系数之间的关系．
10．B
【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为m，则，
∵，则，，
∴，
∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为，
故y与x的函数图象可能为选项B中图象，
故选：B．
11．直线
【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线．
12．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
13．6
【分析】配方二次函数解析式可得抛物线的开口向上、对称轴为直线x=1，根据开口向上时，横坐标离对称轴越近，函数值越小即可得答案．
【详解】∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线在-1≤x≤1上，y随x的增大而减小，在1＜x≤2上，y随x的增大而增大．
∵，，
∴当时，．
故答案为：6
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．熟练掌握二次函数的增减性是解题关键
14．
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键．
【详解】解：由图像得，对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的一个交点为，
轴的上方的图象对应的函数值大于，
当时，；
不等式的解集为，
故答案：．
15．2
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：设道路的宽为，
∴，整理得，，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为，
故答案为：2 ．
16．
【分析】本题考查角平分线的性质，坐标与图形，二次函数求最值，根据角平分线的性质，结合同高三角形的比等于底边比，得到，进而得到，以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设点坐标为，根据结合两点间的距离公式，求出，根据面积最大时点纵坐标最大，得到，进而求出点坐标，进一步求出的周长即可．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴点到的距离相等，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴，
以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，
则，，
∵，
∴，
∴，整理得，
面积最大时点纵坐标最大，
故当时，有最大值即有最大值，即面积有最大值，
故当时，，，
∵点在第一象限故，
则，，
则周长为：．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
解得：；
（2）解：
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．，
【分析】令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点．
【详解】解：令，得，解得，，
∴该抛物线与x轴的交点坐标是和．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数的性质正确计算是解题的关键．
19．（1）y=x2﹣2x+3，（2）不在.
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；
（2）求出x=-1时的函数值即可判断
【详解】解：（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y=ax2﹣bx+3，
得,
解得，
∴抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x+3，
（2）当x=﹣1时，y=1+2+3=6≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上．
【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题：
（1）先根据，求出B点的坐标，再把B点的坐标，代入，即可作答．
（2）求出点C坐标，根据一次函数与二次函数的交点坐标，结合图象，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于两点
∴，则
∴
∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点.
∴把和代入
得
解得
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
结合图象，的解集为
22．(1)
(2)164元或168元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）设售价每盒下降元，根据题意列出方程求解即可；
（3）设售价每盒下降元，根据题意列出方程，验证方程是否有解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，每天能售出盒，
故答案为：；
（2）解：结合（1）得，设售价每盒下降元，根据题意得，
，
解得或，
∴售价为（元）或（元）；
（3）解：不能，理由如下：
根据题意得，
当时，
整理得，
∵，
∴该方程无解，
∴所获得的利润不能达到3400元．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解“共同体二次函数”的定义是解题关键．
（1）根据“共同体二次函数”的定义，假设函数关系式为，代数求值即可；
（2）根据“共同体二次函数”的定义，假设函数关系式为，代数求值即可；
（3）根据“共同体二次函数”的定义，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，其抛物线经过，
设以为顶点且经过点的抛物线的函数关系式为，
将代入解析式得，，
解得，
∴二次函数且过的“共同体二次函数”为；
（2）解：当时，，
∴，
由得，
顶点坐标为，
假设以为顶点且经过点的抛物线的函数关系式为，
将代入解析式得，，
解得，
∴以为顶点的二次函数的“共同体二次函数”为；
（3）解：对于，其顶点坐标为，设，其顶点为，
∵二次函数与其“共同体二次函数”的顶点不重合，
∴时，，
根据“共同体二次函数”的定义得，
∴，
∴，
∴该“共同体二次函数”的二次项系数为．
24．(1)直线
(2)
(3)15
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形周长，对称的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用对称轴公式进行求解即可；
（2）根据得出线段之间的关系，假设，根据对称轴列出方程组，然后利用待定系数法求解即可；
（3）根据，得出，然后列出方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：如图所示
∵直线过点，
∴，
∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，
∴在的左边，，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
假设，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：如图所示，
当时，直线交抛物线于，两点，
由（2）得直线，
∴，
∴，
解得，
∴的值为15．
25．(1)
(2)
(3)存在点，点的坐标为或或
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值，
故面积最大时，四边形面积最大，
如图1，过点作轴，交直线于点，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值，当时，最大值为18，
∴将代入得，，
∴；
（3）解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，
∴对称轴是直线，
∴根据对称性，由得，
∵点是抛物线对称轴上的动点，
∴的横坐标为，
①如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3，
∵点在直线上，
∴点的坐标是，
又∵点的坐标是，点的横坐标为，
根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得，
，
∴；
②如图3，以为边时，四边形是平行四边形，
由（2）可得，点的横坐标为3，
∵点的坐标是，且点的横坐标为，
根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得，
，
∴；
③如图4，以为对角线时，
根据到的平移规律可知，到的平移规律，
∴点的横坐标为，代入得，，
∴；
综上，点的坐标为或或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
D
D
B
C
D
B