黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题（含答案）含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合的补集，然后求出的不等式的解集，最后根据交集的概念进行求解即可.
【详解】因为集合，所以.
因为，解不等式得.
因为，所以.
所以.
故选：C.
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用公式直接计算即可.
【详解】由题意可知，
所以函数的最小正周期为：
，
故选：B.
3. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】若，则，故充分性成立；
若，如，则，故必要性不成立，
故是的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，平方求得，结合诱导公式，即可求解.
【详解】由，平方可得，
解得，即，又由.
故选：B.
5. 非零向量，满足，若向量与向量垂直，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由题意，得，则，
则，
又，所以，
则，解得，
所以与的夹角为.
故选：C
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简，根据指数函数、对数函数的性质借助中间值0和1比较可得．
【详解】，
，
，
所以.
故选：C．
【点睛】方法点睛：比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小
7. 若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 0D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且，
又因为，所以，所以，所以函数周期为4，
因为，令，所以，
则；
故选：C.
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】因为，，定义域为.
所以.
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以当时，取得最大值为.
当，所以函数的值域为.
要使函数的值域为,
则，解得，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.
9. 已知函数，则（）
A. 有三个零点
B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心
D. 曲线有两条过点的切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D．
【详解】对于B，由题，，
令，得或；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是极值点，故B正确；
对于A，由B可知的极大值，极小值，
因为在单调递增，且，
所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误；
对于C，令，该函数的定义域为R，
则是奇函数，是的对称中心，
将图象向下移动2个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，设切点为，则切线的斜率为，
切线的方程为，
代入，可得，
整理得，即即
并解得：或
则过点的切线方程有两条，D正确．
故选：．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象关于点中心对称
D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，进而根据正弦函数的对称性及伸缩变换逐个判断即可.
【详解】由图象可知，，
由周期公式，选项A正确；
因为图象经过点，代入函数得：，
所以，
因为，所以，即，故B错误；
因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得，故D正确.
故选：ACD.
11. 在中，若，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A：先将的左右两边角化边，整理得解；对于选项B：由解出，用余弦定理的变形公式求出，再使用基本不等式得到，从而得到的最大值；对于选项C：先将的左边进行角化边，代入，得到，再将这个等式的左右两边进行边化角，得到，将转化为，使用两角和的正弦公式即可得解；对于选项D：先将的左边进行角化边，代入，得到，再将这个等式的左右两边进行边化角，得到，将其变形为，将等号左边的分子转化为，使用两角和的正弦公式和同角关系式即可得解.
【详解】对于选项A：
，，
，
，，选项A错误；
对于选项B：，，，
是的内角，，的最大角为，选项B正确；
对于选项C：，，，
又，，，
，
，
，
，
，选项C正确；
对于选项D：，，，
又，，，，，，，，，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 已知向量，，若，则实数_____.
【答案】
【解析】
【分析】由，列出等式求解即可.
【详解】由可得：，
即
故答案为：
13. 已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和得正弦公式，结合已知条件化弦为切即可求解.
【详解】①，
又②，
则①②得：
.
故答案为：.
14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可．
【详解】设，则，
又为正三角形，所以，
则，又，
所以，则，
故，则，即，所以，即，
所以，
，即，
在中，，即，
解得，又，则为锐角，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的对称轴方程及单调增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）对称轴为，，单调递增区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简得到，整体法求解对称轴方程和单调递增区间；
（2）令，得到，根据函数的单调性求出最值即可求出值域.
【小问1详解】
，
令，，解得，，
所以的对称轴方程，，
，，则，，
所以的单调递增区间是，.
【小问2详解】
令，由得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，.
所以函数在区间上的值域为.
16. 近年来，我国高度重视扶贫开发工作，各级政府坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，组织村民集体承包了一块土地若干年，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
（1）若管理时间与土地使用面积之间具有较强的线性相关性，且回归直线方程，求，并预测土地使用面积为6亩时，管理时间为多少月？
（2）在答题卡中补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断村民的性别与参与管理的意愿是否具有相关性？
参考公式：，
其中.临界值表：
【答案】（1），30.1；
（2）列联表见解析，具有相关性.
【解析】
【分析】（1）先求出样本中心点，再代入求出，再根据回归直线代入预测即可；
（2）先根据已知条件补充列联表，再计算，最后与临界值比较即可求解判断.
【小问1详解】
依题意：，，
又，则有，且，
当时，，
故预测管理时间为30.1个月.
【小问2详解】
依题意，完善表格如下：
零假设：村民的性别与参与管理的意愿无关，
计算得的观测值为
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性，此推断犯错误的概率不超过0.001.
17. 若的内角，，的对边分别为，，，且，，是边上一点.
（1）求外接圆的半径；
（2）若是平分线，且的周长为15，求线段的长；
（3）若，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换求得，根据即可求得外接圆的半径；
（2）先由题设及余弦定理求得与，再根据平分线条件利用底面积法得到即可求得；
（3）将两边平方，结合余弦定理求得，即可求得面积.
【小问1详解】
由题意知，由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，，
令外接圆的半径为，
根据正弦定理可得，即
【小问2详解】
由（1）知，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
∵的周长为15，，∴，
所以，解得，
因为，
因为是的平分线，
所以
即，解得
【小问3详解】
因为，
所以，
又，所以，即
又，
解得
所以.
18. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角大小；
（2）求证：；
（3）设为的内心，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题设，结合三角形的面积公式、余弦定理即可求解；
（2）由结合基本不等式即可求证；
（3）设的内切圆的半径为，由等面积法可得，进而得到，进而化简得到，结合（2）中结论，即可得到，再根据基本不等式即可求解.
小问1详解】
由，
则，
根据余弦定理得，即，
由，则.
【小问2详解】
由（1）知，，则有，
又，当且仅当时等号成立，
所以，解得，所以，当且仅当取到等号，
【小问3详解】
设的内切圆的半径为，
由等面积法可得，故，
所以，故
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知函数．（注：是自然对数的底数）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义，求切点处的切线方程；
（2）利用导数研究单调性得到极值的个数，利用函数单调性并通过构造新函数比较零点和极值点的大小关系.
【小问1详解】
当时，， ，
切线的斜率，又，所以切点为，
所以，切线方程为
【小问2详解】
①.函数，，
（ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增，
又，，所以在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是．
②.由①知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以时，，则，
又因为，所以在上有唯一零点，
即在上有唯一零点．
因为，
由①知，所以，
则
，
设，，
则，
，，所以
在为单调递增，又，所以，
又时，，所以．
所以．
由前面讨论知，，在单调递增，
所以．
【点睛】思路点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.土地使用面积（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间（单位：月）
8
10
13
25
24
参与管理
合计
愿意
不愿意
男性村民
150
50
女性村民
50
合计
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300