2024-2025学年伊春市汤旺河区中考数学考前最后一卷含解析

这是一份2024-2025学年伊春市汤旺河区中考数学考前最后一卷含解析，共20页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形. 其中，正确的有（ ） 个
A．1B．2C．3D．4
2．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2·a3﹦a6 B．a3+ a3﹦a6 C．|－a2|﹦a2 D．(－a2)3﹦a6
4．直线y=3x+1不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
6．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011B．49.95×1010
C．0.4995×1011D．4.995×1010
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a2＝a4C．a3•a5＝a15D．（a3）4＝a7
8．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
A．52°B．38°C．42°D．60°
9．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（ ）
A．a+bB．﹣a﹣cC．a+cD．a+2b﹣c
10．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011D．39×109
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．双曲线、在第一象限的图像如图，过y2上的任意一点A，作x
轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连结BD、CE，则＝
．
12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为_____．
13．如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时，则点O到点O′所经过的路径长为_____．
14．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米（结果保留根号）．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.
16．如图，在△ABC中，BC=7，，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
18．（8分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
19．（8分）计算：|﹣2|+8+（2017﹣π）0﹣4cs45°
20．（8分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）一道选择题有四个选项.
（1）若正确答案是，从中任意选出一项，求选中的恰好是正确答案的概率；
（2）若正确答案是，从中任意选择两项，求选中的恰好是正确答案的概率.
23．（12分）阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD中，边AB=a1．
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小．
请解决以下问题：
（1）完成表格中的填空：
① ；② ；③ ；④ ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O．
（1）如图1，当旋转角为90°时，求BB′的长；
（2）如图2，当旋转角为120°时，求点O′的坐标；
（3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标．（直接写出结果即可）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【详解】
解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选D．
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
2、C
【解析】
本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．
【详解】
解：原计划用时为：，实际用时为：．
所列方程为：，
故选C．
本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3、C
【解析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
a2·a3﹦a5，故A项错误；a3+ a3﹦2a3，故B项错误；a3+ a3﹦- a6，故D项错误，选C.
本题考查同底数幂加减乘除及乘方，解题的关键是清楚运算法则.
4、D
【解析】
利用两点法可画出函数图象，则可求得答案．
【详解】
在y=3x+1中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=1，
∴直线与x轴交于点（-，0），与y轴交于点（0，1），
其函数图象如图所示，
∴函数图象不过第四象限，
故选：D．
本题主要考查一次函数的性质，正确画出函数图象是解题的关键．
5、C
【解析】
解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；
故选C．
6、D
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1．
故选D．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7、B
【解析】
根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方依次计算即可得到答案.
【详解】
A、a3+a3＝2a3，故A错误；
B、a6÷a2＝a4，故B正确；
C、a3•a5＝a8，故C错误；
D、（a3）4＝a12，故D错误．
故选：B．
此题考查整式的计算，正确掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的计算方法是解题的关键.
8、A
【解析】
试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．
考点：平行线的性质．
9、C
【解析】
首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．
【详解】
解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0
∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，
故答案为a+c．
故选A．
10、A
【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
39000000000=3.9×1．
故选A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
设A点的横坐标为a，把x=a代入得，则点A的坐标为（a，）．
∵AC⊥y轴，AE⊥x轴，
∴C点坐标为（0，），B点的纵坐标为，E点坐标为（a，0），D点的横坐标为a．
∵B点、D点在上，∴当y=时，x=；当x=a，y=．
∴B点坐标为（，），D点坐标为（a，）．
∴AB=a－=，AC=a，AD=－=，AE=．∴AB=AC，AD=AE．
又∵∠BAD=∠CAD，∴△BAD∽△CAD．∴．
12、1
【解析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【详解】
作AB的中点E，连接EM、CE，
在直角△ABC中，AB===10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=5，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=2，
∴在△CEM中，5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤1，
∴最大值为1，
故答案为1．
本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
13、
【解析】
点O到点O′所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了AB弧的长，最后以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，
∴AB弧长=
∴点O到点O′所经过的路径长=
故答案为:
本题考查了弧长公式：．也考查了旋转的性质和圆的性质．
14、．
【解析】
解：如图，连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=AN=（米），故答案为．
点睛：此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．
15、6
【解析】
根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积 =CD·PD可得.
【详解】
解：∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB ，
∴AD=BD=CD=AB，
∵AP2-PB2=48 ，
∴(AP+PB)(AP-PB)=48，
∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,
∴AB·2PD=48，
∴2CD·2PD=48，
∴CD·PD=12，
∴ △PCD的面积=CD·PD=6.
故答案为6.
此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一
16、
【解析】
分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．
详解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E．∵在△ABC 中，BC=7，AC=3，tanC=1，∴AD=CD=3，∴BD=4，∴AB=5，由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上．∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BDA，∴，即，得：BP=．故答案为0＜PB＜．

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（共8题，共72分）
17、每件衬衫应降价1元.
【解析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得 （40-x）（1+2x）=110,
整理，得x2-30x+10=0,
解得x1=10，x2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=1.
答：每件衬衫应降价1元.
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
18、（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为1．
【解析】
（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．
（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.
【详解】
（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=1．
本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
19、1.
【解析】
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=2+22+1﹣4×22
=2+22+1﹣22
=1．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20、（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．
【解析】
(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；
(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．
【详解】
(1)、设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为（20+2x），（40-x）；
(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，
解得：
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
(3)、(20+2x)(40－x)=2000， ，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元．
本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．
21、（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形；证明见解析；（3）（，2）或（，﹣2）．
【解析】
（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线顶点坐标为（2，3），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；
（2）△EDB为等腰直角三角形．
证明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，
∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，
∴△EDB为等腰直角三角形；
（3）存在．理由如下：
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、E坐标代入可得，解得，
∴直线BE解析式为y=x+1，
当x=2时，y=2，
∴F（2，2），
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，﹣2）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
∵A（4，0），F（2，2），
∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），
设M（t，﹣t2+3t），N（x，0），
则﹣t2+3t=2，解得t=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∵t＞2，
∴t=，
∴M点坐标为（，2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（，2）或（，﹣2）．
本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得△EDB各边的长度是解题的关键，在（3）中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
22、（1）;（2）
【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的恰好是正确答案A，B的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）选中的恰好是正确答案A的概率为；
（2）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中选中的恰好是正确答案A，B的结果数为2，
所以选中的恰好是正确答案A，B的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23、（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②（﹣1）a1；③(－1)2a1；④(－1)n－1a1；（2）见解析.
【解析】
（1）①由题意可知在Rt△EAF和Rt△BAF中，AE=AB，AF=AF，所以Rt△EAF≌Rt△BAF；
②由题意得AB=AE=a1，AC=a1，则CE=a2=a1﹣a1=（﹣1）a1；
③同上可知CF=CE=（－1）a1，FH=EF=a2，则CH=a3=CF﹣FH=(－1)2a1；
④同理可得an=(－1)n－1a1；
（2）根据题意画图即可.
【详解】
解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
理由是：如图1，在Rt△EAF和Rt△BAF中，
∵，
∴Rt△EAF≌Rt△BAF（HL）；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=a1，∠ABC=90°，
∴AC=a1，
∵AE=AB=a1，
∴CE=a2=a1﹣a1=（﹣1）a1；
③∵四边形CEFG是正方形，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=CE=（－1）a1，
∵FH=EF=a2，
∴CH=a3=CF﹣FH=（－1）a1﹣（－1）a1=(－1)2a1；
④同理可得：an=(－1)n－1a1；
故答案为①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②（﹣1）a1；③(－1)2a1；④(－1)n－1a1；
（2）所画正方形CHIJ见右图.
24、（1）5；（2）O'（，）；（3）P'（，）.
【解析】
（1）先求出AB．利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先判断出∠HAO'=60°，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH，OH，即可得出结论；
（3）先确定出直线O'C的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，由旋转知，BA=B'A，∠BAB'=90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'=AB=5；
（2）如图2，过点O'作O'H⊥x轴于H，由旋转知，O'A=OA=3，∠OAO'=120°，∴∠HAO'=60°，∴∠HO'A=30°，∴AH=AO'=，OH=AH=，∴OH=OA+AH=，∴O'（）；
（3）由旋转知，AP=AP'，∴O'P+AP'=O'P+AP．如图3，作A关于y轴的对称点C，连接O'C交y轴于P，∴O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时，O'P+AP的值最小．
∵点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣3，0）．
∵O'（），∴直线O'C的解析式为y=x+，令x=0，∴y=，∴P（0，），∴O'P'=OP=，作P'D⊥O'H于D．
∵∠B'O'A=∠BOA=90°，∠AO'H=30°，∴∠DP'O'=30°，∴O'D=O'P'=，P'D=O'D=，∴DH=O'H﹣O'D=，O'H+P'D=，∴P'（）．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．
操作步骤
作法
由操作步骤推断（仅选取部分结论）
第一步
在第一个正方形ABCD的对角线AC上截取AE=a1，再作EF⊥AC于点E，EF与边BC交于点F，记CE=a2
（i）△EAF≌△BAF（判定依据是①）；
（ii）△CEF是等腰直角三角形；
（iii）用含a1的式子表示a2为②：
第二步
以CE为边构造第二个正方形CEFG；
第三步
在第二个正方形的对角线CF上截取FH=a2，再作IH⊥CF于点H，IH与边CE交于点I，记CH=a3：
（iv）用只含a1的式子表示a3为③：
第四步
以CH为边构造第三个正方形CHIJ
这个过程可以不断进行下去．若第n个正方形的边长为an，用只含a1的式子表示an为④