广东省深圳市宝安区2025-2026学年高三上学期10月考试数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区2025-2026学年高三上学期10月考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了10，01)；等内容，欢迎下载使用。
2025.10
注意事项：
答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码。
作答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
本试卷共 4 页，19 小题，满分为 150 分。考试时间 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知集合 A  {x | x2  2x}，集合 B  {x  Z | 0  x  3} ，则 A B  ()
{2}B．{0,1, 2}
C．{x | 0  x  3}D．{x | 0  x  3}
在复平面内，复数 z  i(1  i) 的共轭复数 z 对应的点位于()
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
点 P 从(1, 0) 出发，沿单位圆 x2  y2  1 逆时针方向运动 2 弧长到达Q 点，则Q 的
3
坐标为()
3
( 1 , 3 )B． ( 3 ,  1 )C． ( 1 ,  3 )D． (, 1)
2 222222 2
设函数 f  x  x 
f (x 1)  1
f (x 1) 1
1
x  1
，则下列函数中为奇函数的是()
f (x  1)  1
D． f (x  1) 1
近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有 A 充电站配备 2 个超级快充桩和
3 个普通充电桩， B 充电站配备 1 个超级快充桩和 3 个普通充电桩．为优化资源配置，系统随机从 A 站调度 1 个充电桩至 B 站，随后技术人员从 B 站随机选取 2 个充电桩进行升级调试．记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件 B，则 P(B)  ( )
6
25
13
50
7
25
12
25
Cx2y2
(a  0, b  0)FF
已知双曲线
： 2  2  1
的左、右焦点分别为 1 ， 2 ，直线 y  3x
ab
3
5
与C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则C 的离心率为()
3  1
2
B．3C． 1
 1
如图，圆锥的底面半径为 1，侧面展开图是一个圆心角为60 的扇形．把该圆锥截
1
成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为
的侧面积为()
A． 8B． 35 
，则圆台
3
32
C． 16D． 8
3
若正实数 a ， b 满足 a  b ，且ln a  ln b  0 ，则下列不等式一定成立的是()
lga
b  0
a  1  b  1
ba
C． 2ab1  3a b
D． ab1  ba 1
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
→
已知平面向量 a  (1, 3) ， b  (2,1) ，则()
10
→
A． | a |
B． (2a  b )  b
( 2 1
C． a 与b 的夹角为锐角D． a 在b 上的投影向量为5 , 5)
设动直线l ：mx  y  2m  3  0 (m R) 交圆C ：( x  4)2  ( y  5)2  12 于 A ， B两点(点C 为圆心)，则下列说法正确的有()
直线l 过定点(2, 3)B．当| AB |取得最小值时， m  1
当ACB 最小时，其余弦值为 1
4
AB  AC 的最大值为 24
已知函数 f  x 为 R 上的奇函数，当0  x  2 时， f (x)  x3  3x ，且 f  x 的图象关于点2, 2 中心对称，则下列说法正确的是()
f (3)  6
函数 y  f (x)  5 有三个零点
g(x)  f (x)  x 是周期为 4 的周期函数
线段 y  x  16 3 ,
9
x [2, 10] 与 y  f (x) ，x [2, 10] 的图象有 6 个交点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于 4，请写出一个满足条件的C 的标准方程．
2
已知函数 f  x  2x  x  2 ， g  x  lg x  x  2 ， h  x  x3  x  2 的零点分别为
a, b, c ，则 a  b  c  ．
记锐角ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知
sin( A  B)  sin( A  C ) ，且 a sin C  1 ，则 1  1 的最大值为．
cs B
cs C
a2b2
四、解答题：本大题共 5 小题，共计 77 分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是 2017-2021 年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比( yi %) ：
求2017  2021 年年份代码 xi 与 yi 的样本相关系数(精确到0.01)；
预测 2026 年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
n
( xi  x )( yi  y )
n
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： bˆ  i 1 ，
i
( x  x )2
aˆ  y  bˆx ，
i 1
样本相关系数 r 
n
( xi  x )( yi  y )

i 1
n
( x  x )( y  y )
2

n
2
i
i 1
i
i 1
，
36.4
 6 ．
16．（15 分）已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且对任意的 n  N* 有 Sn  2an  n  3 ．
证明：数列{an  1} 为等比数列；
求数列{an} 的前n 项和T ．
n
an1 1
17．（15 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面
ABCD, AD  CD, AD / / BC, PA  AD  CD  2, BC  3. E 为 PD 的中点，点 F 在
PC 上，且 PF  1 ．
PC3
求证: CD  平面 PAD ；
设点G 在 PB 上，且 PG  2 ，判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由．
PB3
xOy
x2y2
(a  b  0)
18．（17 分）在平面直角坐标系中
，椭圆C ： a2  b2  1
的离心率为
3 ，点(
2
1
3, ) 在椭圆C 上．
2
求椭圆C 的方程；
设椭圆C 的左、右顶点分别为 A ， B ，点 P ， Q 为椭圆上异于 A ， B 的两动点，记直线 AP 的斜率为 k1 ，直线QB 的斜率为 k2 ，已知 k1  7k2 ．
①求证：直线 PQ 恒过 x 轴上一定点；
②设PQB 和PQA 的面积分别为 S1 ， S2 ，求| S1  S2 |的最大值．
19．（17 分）已知函数 f ( x)  a ln x  sin x  x ，其中a 为非零常数．
若函数 f ( x) 在(0,  )上单调递增，求 a 的取值范围；
)
设 (, 3 ，且cs 1sin，证明：当2 sin a  0 时，函数 f ( x)
2
在(0, 2)上恰有两个极值点．
宝安区 2025-2026 学年第一学期教学质量检测高三数学 参考答案
阅卷说明:参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根
据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每个小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分。每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的，选齐全对的得 5 分，漏选得 2 分，错选和不选得 0 分。
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卷的横线上。
12、 x2  16 y ；（答案不唯一）只要写成 x2  2 py 或 y2  2 px ( p  4) 均可．
13、3 ；
14、 25
16
四、解答题：本大题共 6 个小题，满分共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【解析】(1)由已知可得， x  1  2  3  4  5  3 ， y  6.4  5.5  5.0  4.8  3.8  5.1 ，2 分
55
由题可列下表：
单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
D
C
C
D
多项选择题
9
10
11
答案
ACD
AD
ABC
3.64
5
( xi  x )( yi
 y )  5.9 ，
 10,

．………5 分
i 1

i 1
5
( x  x )
2
i

i 1
5
( y  y )
2
i
5
( xi  x )( yi  y )
5.9
5.9

i 1
5
( x  x )
2
i

i 1
5
( y  y )
2
i
36.4
6
r  i 1   0.98 ．8 分
5
( xi  x )( yi  y )5.9
5
(2) 由(1) 知， bˆ  i 1  0.59 ， aˆ  y  bˆx  5.1 (0.59)  3  6.87 ， 所求经验回归方程为
( x  x )
210
i
i 1
yˆ  0.59x  6.87 ．令 x  10 ， yˆ  0.97 ，预测 2026 年的酸雨区面积占国土面积的百分比为0.97% ．………13 分
【解析】(1)当n  1时， a1  2a1  2 ， a1  2 ．………1 分
当 n  2 时， Sn  2an  n  3 ， Sn1  2an1  n  4 ．………3 分
两式相减得： an  2an  2an1  1，即 an  2an1  1 ，(an 1)  2(an1 1) ．………5 分
又 a1 1  1  0 ，{an  1} 构成首项为 1，公比为 2 的等比数列．7 分
(2)由(1) a
1  2n1 ，故 a  2n 1  1，故 an 
2n 1  1
 1  1 ，………9 分
nna
n 1
12n

22n
1  1
 T  ( 1  1 )  ( 1 
1 )  ( 1 
1 )  ( 1  1  1 )  ( 1 
1 
1 )  n  1 2n

n22222
22n

222222

，
2n22
1  1
2
 T  n  2  1 ．15 分

n22n
【解析】（1）因为 PA  平面 ABCD ，所以 PA  CD ．又 AD  CD ， PA  AD  A, PA，AD  面PAD ,
所以CD  平面 PAD ．5 分
（ 2 ） 直线 AG 在平面 AEF 内, 理由如下： 过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M ． 因为 PA  平面 ABCD ， 所以
PA  AM , PA  AD ．如图建立空间直角坐标系 A  xyz ，则 A(0, 0, 0), B(2, 1, 0) ， C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2) ．因为
–––→
–––→
–––→
E 为 PD 的中点，所以 E(0,1,1) ．所以 AE  (0,1,1) ， PC  (2, 2, 2) ， AP  (0, 0, 2) ．
–––→
1 –––→
 2 22  –––→–––→–––→
 2 2 4 
所以 PF  3 PC  
, ,
 , AF  AP  PF  
, ,  ．设平面 AEF 的法向量为 n  (x, y, z) ，
–––→
n 
 3 33  3 3 3 
 y  z  0,
AE  0,
y  1, x  1
n  (1, 1,1)
则n  –––→即 2 x  2 y  4 z  0, 令 z  1 ，则
．于是
．………10 分
AF  0,
 333
PG2
–––→
–––→
2 –––→
 424 
–––→–––→–––→
 42 2 
因为点G 在 PB 上，且
 , PB  (2, 1, 2) ，所以 PG  3 PB   3 , 3 , 3  ,
AG  AP  PG   3 ，
,  ，所
–––→ →
PB3
422

3 3 
以 AG  n      0 ．所以直线 AG 在平面 AEF 内．………15 分
333
【解析】(1)由题意可得， c 
a
3 ， 3 
2a2
1
4b2
 1 ， a2  b2  c2 ，解得a2  4 ， b2  1，
椭圆C 的方程为
x2
y2
4
 1 ．………3 分
(2)①依题意，点 A(2, 0) ， B(2, 0) ，设 P( x1, y1 )， Q( x2, y2 ) ，
若直线 PQ 的斜率为 0，则点 P ， Q 关于 y 轴对称，必有 kAP  kBQ ，不合题意．
直线 PQ 斜率必不为 0，设其方程为 x  ty  n(n  2) ，
 x2  4 y2  4
与椭圆C 联立 x  ty  n，整理得： (t  4) y  2nty  n  4  0 ，6 分
222

  
2 222
2tn
n2  4
4t n  4(t  4)(n  4)  0 ，且 y1  y2   t2  4 ， y1 y2  t2  4 ，
x2
点 P( x1, y1 ) 是椭圆上一点，即 1
4
2
 y2  1 ，
1
x2
 k k
y1y1
y1
1  1
  1
 k  1
 7k
28k k
 1
APBP
x  2 x  2x2  4  4
，AP
1
44k
BQ ，即
BPBQ
，10 分
111
x2  4BP
 28k k
28 y1 y2
28 y1 y2
28 y1 y2
BPBQ
( x  2)( x  2)
(ty
 n  2)(ty  n  2)
t2 y y
 t(n  2)( y  y )  (n  2)2
12
28(n2  4)
t2  4
121 212
28(n  2) 28(n  2)  7n  14  1 ，
2
t2 (n2  4)2t2n(n  2)
(n2)
t2 (n  2)  2t2n  (n  2)(t2  4)
4(n  2)
n  2
t2  4t2  4
 n   3 ，此时  16(t2  4  n2 )  4(4t2  7)  0 ，故直线 PQ 恒过 x 轴上一定点 D( 3 , 0) ．14 分
22
3tn2  47
②由① y1  y2  t2  4 ， y1 y2  t2  4   4(t2  4) ，
3
2
( y  y )2  4 y y
12
1 2
 | S  S | 1  | y  y |  | 2  ( 3 ) |  1  | y  y |  | 2  ( 3 ) |  3 | y  y | 


12
3 4t2  7
2
212
4(t2  4)  9
(t2  4)2
 3
2212
4
9
t2  4(t2  4)2

 3
2212
9(
3
t2  43
 2 )2  4
 2 ，
t  4
(当且仅当 3 2 即t2  1 时等号成立)， | S  S | 的最大值为 2．17 分
t2  43212
【解析】(1) f ( x)  a  cs x  1( x  0) ．1 分
x
若 a  0 ， x  0 ，1 cs x  0 ，则 f ( x)  0 ， f ( x) 在(0, ) 上单调递增，符合要求．2 分
若 a  0 ，则当 x (0,  a ) 时， a  2 ，从而 f ( x)  2  cs x  1  (1 cs x)  0 ，
2x
 f ( x) 在(0,  a ) 上单调递减，不合要求．3 分
2
综上分析， a 的取值范围是(0, ) ．4 分
(2)令 f ( x)  0 ，则 a  cs x  1  0 ，即 a  x cs x  x ．设 g( x)  x cs x  x ，则 g( x)  cs x  x sin x 1 ，
x
①当 x (0,) 时， cs x  1 ， sin x  0 ，则cs x 1  0 ，  x sin x  0 ，从而 g( x)  0 ， g( x) 单调递减．6 分
)
② x  (, 3 时， g ( x)  sin x  (sin x  x cs x)  (2 sin x  x cs x) ．
2
)
 sin x  0 ， cs x  0 ， g ( x)  0 ，从而 g( x) 单调递增．又 g()  2  0 ， g( 3  31  0 ，………8 分
22
, 2
③当 x ( 3 ) 时， g( x)  (2 cs x  cs x  x sin x)  x sin x  3cs x ．
2
 sin x  0 ， cs x  0 ， g( x)  0 ，从而 g( x) 单调递减．
 g( 3  2  0, g(2)  2 0 ， g( x) 在( 3 ) 内有唯一零点，记为 x ，
)
2
, x1 )
且当 x ( 3
2
, 21
2
时， g( x)  0 ， g( x) 单调递增；
当 x ( x1, 2) 时， g( x)  0 ， g( x) 单调递减．
)
, 2
 g( 3  31  0 ， g(2)  0 ，当 x ( 3 ) 时， g( x)  0 ， g( x) 单调递增．
222
综上分析， g( x) 在(0, x0 ) 上单调递减，在( x0 , 2) 上单调递增．………13 分
 g(0)  g(2)  0 ，当 g( x0 )  a  0 时，直线 y  a 与函数 g( x) 的图象在(0, 2) 上有两个交点， 从而 f ( x) 有两个变号零点，即 f ( x) 在(0, 2) 上恰有两个极值点．
 g( x0 )  0 ， cs x0  x0 sin x0 1  0 ，即cs x0  1 x0 sin x0 ．
从而 g( x )  x cs x  x  x (1 x sin x )  x  x2 sin x ．
0000000000
取 x0 ，则cs 1sin，且当2 sin a  0 时，函数 f ( x) 在(0, 2) 上恰有两个极值点．………17 分