河南省开封市开封高级中学2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷

这是一份河南省开封市开封高级中学2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷，共12页。

开封高中 27 届高二上学期 10 月质量检测
数学参考答案
【答案】
【答案】
解：对于，若//，则¯→//¯→，故 A 错误;对于，若//，则¯→ ⊥ ¯→，则¯→ ⋅ ¯→ = 0，故 B 正确;对于，若 ⊥ ，则¯→//¯¯→，故 C 错误;对于，若//，则¯¯→//¯→，故 D 错误．故选 B．
【答案】解：充分性：当 = 2 时， = 4 ≠ −1，满足两线平行的条件．
12
必要性：当1//2时， = 4 ≠ −1，则 =± 2，所以“ = 2”是“1//2”的充分不必要条件．故选：．
12
【答案】
解：(1) ∵ ¯¯¯¯→ = ¯→，¯¯¯¯→ = ¯→，¯¯¯¯→ = ¯→，点在上，且 = 2，为的中点，∴ ¯¯¯¯→ = 2 ¯¯¯¯→ = 2 ¯→
33
¯¯¯¯→ = 1 (¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→) = 1 ¯→ + 1¯→ ∴ ¯¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ − ¯¯¯¯→ =− 2 ¯→ + 1 ¯→ + 1¯→，故选 B
222322
【答案】解：如图，取的中点，连接11，1，，
∵ 1，1分别是11，11的中点，∴ 1//1，1 = 1，
∴ ∠1就是1与1所成角(或其补角)，设 = = 1 = 2，由∠ = 90°，
10
则 =5，1 =5， = 2 2，1 =6，在△ 1中，根据余弦定理得 cs∠1 = 30，
故选：． 6.【答案】
(方法一)如图，在上任取一点并作 ⊥平面，则∠就是直线与平面所成的角，
过点作? ⊥ ， ⊥ ，因为 ⊥平面， ⊂平面，
所以 ⊥ ，又? ⊥ ，? ∩ = ，?， ⊂平面?， 所以 ⊥平面?，又? ⊂平面?，则? ⊥ ，同理 ⊥ ，由题可知△ ? ≌△ ，所以 = ，
所以△ ? ≌△ ，因为∠ = ∠ = ∠ = 60∘，所以点在∠的平分线上，即∠? = 30∘．设? = 1，
因为∠? = 30∘，所以 =1
cs30
= 2 3，
3
在直角△ ?中，∠? = 60∘，? = 1，则 = 2．
在直角△ 中， = 2 3， = 2．则 cs∠ = = 3．
33
即直线与平面所成角的余弦值是 3．故选 C．
3
(方法二)解：∵ 、、是三棱锥 − 的三条棱，
= = ，且，，夹角都是 60°，
∴三棱锥 − 是正四面体，
( 4 − 1)2 − (
4−1 )2
3
设这个正四面体的棱长为 2，作 ⊥平面，交于点，
则 =
= 2 6，
3
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 − ?，则(0,0, 2 6 )，( − 1, 3 , 0)，
33
(0, − 2 3 , 0)，(1, 3 , 0)，¯¯¯→ = ( − 1, 3 , − 2 6 )，¯¯¯¯→ = (0, − 2 3 , − 2 6 )，¯¯¯¯→ = (1, 3 , − 2 6 )，
33333333
设平面的法向量为¯→ = (, , )，
¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ =− 2 3 − 2 6 = 0
则33
，取 = 1，得¯→ = ( 6, −2, 1)，设直线与平面所成角为，
¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ = + 3 − 2 6 = 0
1 − (
3
6 )2
33
? = |cs < ¯¯¯→, ¯→ > | = |¯¯¯→⋅¯→|
= 2 6 = 6．∴ ? =
= 3．
|¯¯¯→|⋅|¯→|
2×3
33
∴直线与平面所成角的余弦值是 3．故选 C．
3
【答案】根据线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，可设¯¯¯→与¯¯¯¯→所成的角为，则为平面与平面的夹角，由¯¯¯¯→ = ¯¯¯→ + ¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→及空间向量的数量积运算，可得 cs，从而得到平面与平面的夹角．
【答案】
解：以，，1所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1 = (0 ≤ ≤2)，
则(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，( 2 , 2 , 2)，( 2 + 1, 2 + 1,2)，
2222
∴ ¯¯¯¯→ = ( 2 − 2, 2 , 2)，¯¯¯→ = ( 2 + 1, 2 − 1,2)，
2222
¯¯¯¯→ ⋅ ¯¯¯→ = ( 2 − 2)( 2 + 1) + 2 ( 2 − 1) + 4 = 2 −2 + 2 = −
2222
2
2
2 + 3 > 0，∴当, 运动时，不存在点, 使得? ⊥ ，故 A 正确；
2
∴ ¯¯¯¯→ = ( 2 − 1, 2 − 1,2)，¯¯¯¯→ = (0,2,0)，¯¯¯¯→ = ( 2 − 2, 2 , 2)，
2222
显然¯¯¯¯→和¯¯¯¯→无法共线，
∴当, 运动时，不存在点, 使得?//，故 B 正确；设平面的法向量为¯→ = (1, 1, 1)，
¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ = 21 = 0 2
1
由 ¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ = ( 2 − 2)
2
+ 2 ?
1
2
+ 21
= 0，可取¯→ = (1,0,1 −
¯¯→⋅¯→
)，
4
1− 21
1+(1− 2)2
4
1+1，
(1− 2 )2
4
4
平面的一个法向量为¯¯→ = (0,0,1)，则 cs < ¯¯→，¯→ >= |¯¯→|⋅|¯→| ==
1
5
由 0 ≤ ≤2，可得则
≤ cs < ¯¯→，¯→ >≤ 1 ，可得 = 0 时，即， 重合时，二倍角 − − 的平
1
2
面角取得最小值 45°，故 C 错误；∵二面角 − − 的平面角即为二面角 − 11 − 的平面角，即二面角 − − 为定值，故 D 正确．故选：．
【答案】解：对于， = = 2−0 = 2，A 错误．对于，因为− 1 =− 1，所以 ⊥ ，B 正确．
0+12
对于，因为 = 0+1 =− 1， =− 1，所以 ⊥ ，C 正确．对于，因为 = 3+1 = 2 = ，
−1−123−1
= 1， =− 1， ≠ ，所以四边形不是平行四边形，D 错误．
32
10.【答案】【解析】由题意知，向量¯¯¯¯→，¯¯¯→，¯¯¯¯→不共面，所以 A 错误；若向量¯¯¯¯→，¯¯¯¯→，¯¯¯¯→共面，则有¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→ = (¯¯¯→ − ¯¯¯¯→) + (¯¯¯¯→ − ¯¯¯→)，即( − − 1)¯¯¯¯→ + ( − )¯¯¯→ + ¯¯¯¯→ = ¯0→，因为向
− − 1 = 0,
量¯¯¯¯→，¯¯¯→，¯¯¯¯→不共面，所以 − = 0, 无解，故向量¯¯¯¯→，¯¯¯¯→，¯¯¯¯→不共面，{¯¯¯¯→, ¯¯¯¯→, ¯¯¯¯→}能够构成空间
= 0,
的一个基底，故 B 正确；若¯¯¯¯→与¯¯¯¯→共面，则有¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→，又¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ + ¯¯¯→ + ¯¯¯¯→，所以( − 1)¯¯¯¯→ −
¯¯¯→ + ( − 1)¯¯¯¯→ = ¯0→，与题意矛盾，故 C 正确；若¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ − ¯¯¯→ + ¯¯¯¯→，则¯¯¯¯→ − ¯¯¯¯→ =− ¯¯¯→ + ¯¯¯¯→，即¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→，所以，，，四点共面，故 D 正确．故选 BCD．
11.【答案】解：直四棱柱 − 1111的所有棱长都为 4，则底面为菱形，
又∠ = ，则△ 和△ 都是等边三角形，设与相交于点，所以 ⊥ ，
3
以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有(2 3, 0,0)，(0,2,0)，( − 2 3, 0,0)，(0, − 2,0)，
1(2 3, 0,4)，1(0,2,4)，1( − 2 3, 0,4)，1(0, − 2,4)，
(2 3)2 + 2 + 2
( − 2 3)2 + 2 + 2
点在四边形11及其内部运动，设(0, , )，−2 ≤ ≤ 2，0 ≤ ≤ 4，由|| + || = 8，
有
+
= 8，
即2 + 2 = 4( − 2 ≤ ≤ 2,0 ≤ ≤ 2)，
2 3
12+2+2
所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2 为半径的半圆弧，所以点的轨迹的长度为 2，故 A 错误；平面11的一个法向量为¯¯→ = (1,0,0)，¯¯¯¯→ = ( − 2 3, , )，直线与平面11所成的角为，
则 sin = |¯¯¯¯→⋅¯¯→| =
= 3，又由 ∈ [0, ]，则 = ，
|¯¯¯¯→||¯¯→|
223
所以直线与平面11所成的角为定值，故 B 正确；¯¯¯¯¯1→ = ( − 2 3, 2,4)，¯¯¯¯¯1→ = ( − 2 3, − 2,4)，设平面11的法向量为¯→ = (, , )，
1 1
则有 ¯¯¯¯¯1→ ⋅ ¯→ =− 2 3 + 2 + 4 = 0，令 = 2，得 = 0, =3，故平面 的一个法向量为¯→ =
|−2 3×2+ 3|
22+( 3)2
|−4 3+2 3|
7
¯¯¯¯¯1→ ⋅ ¯→ =− 2 3 − 2 + 4 = 0 (2,0,3)，所以点到平面11的距离
= |¯¯¯¯→⋅¯→| =
|¯→|
= |−4 3+ 3|，因为 0 ≤ ≤ 2，所以 = 2 时，
7
?
=
= 2 21，
7
7
所以点到平面11的距离的最小值为2 21，故 C 正确；
¯¯¯¯¯1→ = (2 3, − , 4 − )，¯¯¯¯¯1→ = ( − 2 3, − , 4 − )，
¯¯¯¯¯1→ ⋅ ¯¯¯¯¯1→ =− 12 + 2 + ( − 4)2 = 2 + 2 − 8 + 4 = 8 − 8，因为 0 ≤ ≤ 2，所以¯¯¯¯¯1→ ⋅ ¯¯¯¯¯1→的最小值为 8 − 8 × 2 =− 8，故 D 错误．故选：．
12.【答案】2 + − 8 = 0解：设入射光线1，反射光线2，
∵光线从点(6,4)射出，与轴相交于点(4,0)，
1
∴根据两点式，入射光线 的方程：
−4
= 4 ，整理，得 2 − − 8 = 0．
6−4
∵入射光线的斜率1 = 2，∴反射光线的斜率2 =− 2，∵反射光线过点(4,0)，
∴反射光线2的方程 =− 2( − 4)，即 2 + − 8 = 0．故答案为：2 + − 8 = 0．
【答案】 − 6 , − 14 , 2
【解答】解：∵点在直线上，
55 5
∴ ¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→ = ¯¯¯¯→ + ¯¯¯¯→ = ( − 3, − 1,4) + (1, − 1, − 2) = ( − 3 + , − 1 − , 4 − 2)，
→→
且? ⊥ ，
→ →
∴ ?· = ( − 3 + , − 1 − , 4 − 2)·( − 2,1,1) =− 2( − 3 + ) + ( − 1 − ) × 1 + (4 − 2) × 1 = 0，
∴ = 9，故点的坐标为 − 6 , − 14 , 2 ，故答案为 − 6 , − 14 , 2 ．
555 555 5
解：在直三棱柱 − 中，因为
⊥平面，∠ = π
, , 两两垂直，
1 1 11
2，所以 1
所以以为原点，, , 1所在直线分别为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), 1(0,0,2)，
因为点是棱的中点，所以(1,0,0)，设(0,1, )，其中 0 ≤ ≤ 2，连接1，则¯¯¯1¯¯→ = (1,0, − 2)，¯¯¯1¯¯→ = (0,1, − 2)，
所以点到直线1的距离
¯¯¯¯¯→ 2 −
2
1
¯¯¯1¯¯¯→⋅¯¯¯1¯¯¯→
¯¯¯1¯¯¯→
2
5 −
−2(−2)
(−2)2+1
5 − 4(−2)2
(−2)2+1
=1 + 4，
(−2)2+1
===
1 + 4
设 = ( − 2)2 + 1， ∈ [0,2]，则 ∈ [1,5]，
所以 =
∈ 3 5 ,，
5
5
5
所以当 = 5，即 = 0,即点与点重合时，点到直线1的距离取得最小值，最小值为3 5．
3 5
故答案为： 5 ．
92
15.【答案】解：(1)易知¯¯¯¯→ = (2,1, − 2)，因为¯→//¯¯¯¯→，所以¯→ = ¯¯¯¯→ = (2, , − 2)，又|¯→| = 3，故即 =± 1，所以¯→ = (2,1, − 2)或¯→ = ( − 2, − 1,2)．
⋅ +
(2)易知¯→ = ( − 1, − 1,0)，¯→ = (1,0, − 2)，因为¯→ + ¯→与¯→互相垂直，所以(¯→ + ¯→) ⋅ ¯→ = 0，即 ¯→ ¯→
= 3，
= 0
¯→2，
故− + 5 = 0，所以 = 5．
【答案】解：(1)由内角∠的平分线所在直线方程为 2 − + 10 = 0 知，点在直线 2 − + 10 = 0 上，设(, 2 + 10)，
则中点的坐标为( +2
2
, 2+14 )．由边上的中线所在直线方程为 + 2 − 5 = 0 知，
2
点在直线 + 2 − 5 = 0 上，∴ +2 + 2 × 2+14 − 5 = 0，解得 =− 4．∴点的坐标为( − 4,2)．
22
(2)设点(, )与点(2,4)关于直线 2 − + 10 = 0 对称，
2 × +2 − +4 + 10 = 0
则 −4 22，
2 − =− 20
，解得
=− 6
．∴点的坐标为( − 6,8)．
−2
× 2 =− 1
+ 2 = 10
= 8
由直线 2 − + 10 = 0 为内角∠的平分线所在直线，知点在直线上．
∴直线方程为 − 2 =8−2
−6−(−4)
( + 4)，即 3 + + 10 = 0．
【答案】解：(1)在直三棱柱 − 111中，设点到平面1的距离为ℎ ，
则− = 1 ▵ ⋅ ℎ = 2 2 ℎ = − = 1 ▵ ⋅ 1 = 1 − = 4，解得ℎ =2，
131
313
31 1 13
所以点到平面1的距离为 2； (2)取1的中点，连接?，如图，因为1 = ，所以? ⊥ 1，
又平面1 ⊥平面11，平面1 ∩平面11 = 1，
且? ⊂平面11，所以? ⊥平面1，在直三棱柱 − 111
中，1 ⊥平面，
由 ⊂平面1， ⊂平面可得? ⊥ ，1 ⊥ ，又?, 1 ⊂平面11且相交，所以 ⊥平面11，
所以, , 1两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，由(1)得? =2，所以1 = = 2，1 = 2 2，所以 = 2， 则 0,2,0, 1 0,2,2, 0,0,0, 2,0,0，所以1的中点1,1,1，
则¯¯¯¯→ = 1,1,1，¯¯¯¯→ = 0,2,0, ¯¯¯¯→ = 2,0,0，
设平面的一个法向量¯¯→ = , , ，则
¯¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ = + + = 0，可取¯¯→ = 1,0, − 1 ，
¯¯→ ⋅ ¯¯¯¯→ = 2 = 0
1 − 1 2
2
设平面的一个法向量¯→ = , , ，则，可取¯→ = 0,1, − 1，
则 cs¯¯→, ¯→
= ¯¯→⋅¯→ = 1 = 1，所以二面角 − − 的正弦值为
= 3．
¯¯→ ⋅ ¯→
2× 2
22
【答案】解：(1) ∵ 是菱形，∴ ⊥ ，又 ⊥平面， ⊂平面，则 ⊥ ，
∵ ∩ = ，, ⊂平面，
∴直线 ⊥平面；
(2)以点为坐标原点，，方向为轴，轴正方向，如图所示，
在平面内与垂直的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
− ?，则：(0,0,2), ( 3, 1,0), (0,0,0), (0,2,0)，
则直线的方向向量¯¯¯¯→ = ( 3, 1, − 2)，很明显平面的法向量为¯¯→ = (1,0,0)，
设直线与平面所成角为，
则 sin =
¯¯¯¯→⋅¯¯→
=
，cs = 5 , tan = sin =
= 15；
|¯¯¯¯→|×|¯¯→|
8cs5
3
8×1
3
5
(3)设, , ，且¯¯¯¯→ = ¯¯¯→(0⩽⩽1)，由于(0,0,2), ( 3, 3,0), ( 3, 1,0), (0,0,0)，
=3
故： , , − 2 = 3, 3, − 2，据此可得： = 3，即点的坐标为3, 3, − 2 + 2，
=− 2 + 2
设平面的法向量为：¯¯1→ = 1, 1, 1，
则： ¯¯1→·¯¯¯¯→ = 1, 1, 1·0, − 2,0 =− 21 = 0,
3
¯¯1→·¯¯¯¯→ = 1, 1, 1·−3, 1 − 3, 2 − 2 = 0
据此可得平面的一个法向量为：¯¯1→ = (2,0,3)，
设平面的法向量为：¯¯→ = ( , , )，则： ¯¯2→·¯¯¯¯→ = (2, 2, 2)·( 3, 1,0) =32 + 2 = 0,
3
222 2
¯¯→·¯¯¯¯→ = ( , , )·(−3, 1 − 3, 2 − 2) = 0
222 2
据此可得平面的一个法向量为：¯¯→ = (1, −3, 3 )，二面角 − − 的余弦值为5，
2+
3
1− = 5
21−7
7
216
1+3+ 32
(1−)2
故：
7×
7，整理得 14
− 19 + 6 = 0，解得： = 2 或 = ．
由点的坐标易知点到底面的距离为 1 或者2.
7
5× 5
19.【答案】解：(1)由题可知，直线的一个方向向量坐标为¯¯→ = (1, −3, 1)，平面1的一个法向量为¯→ = ( 3, 1, − 1)，
设直线与平面1所成角为，则有? = |
¯¯→⋅¯→
1 − ( 1 )2
5
|¯¯→||¯→|
| =1
= 1， 5
1 − sin2
? =
=
= 2 6，
5
1
直线与平面 所成角的余弦值为2 6．
5
(2)由题可知平面2的法向量为¯¯2→ = (2,3,1)，且过点(0,0,1)，因为(1,2,1)，所以¯¯¯¯→ = (1,2,0)，
所以点到平面 的距离为| ¯¯¯2→⋅¯¯¯¯→ | = |2×1+3×2+1×0| = 8 = 4 14．
22+32+1
14
2|¯¯¯2→|7
(3)()建立空间直角坐标系，
+ = 2, ⩾0, ⩾0
− = 2, ⩾0, < 0
分别画平面
− + = 2, < 0, ⩾0 ,
− − = 2, < 0, < 0
= 1
=− 1
然后得到几何体为
几何体是底面边长为 2 2的正方形，高为 2 的长方体，
2
故几何体的体积为 2
× 2
× 2 = 16，
2
()由()可知， = {(, , )||| + || ≤ 2，|| + || ≤ 2，|| + || ≤ 2}的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时 > 0， > 0， > 0，得 = {(, , )| + ≤ 2， + ≤ 2， + ≤ 2， > 0， > 0， > 0}，画出第一卦限图象，
显然其二面角为钝角，
计算平面 + = 2， + = 2 的二面角，
1+1× 1+1
所以两个平面的法向量分别为¯¯2→ = (1,1,0), ¯¯3→ = (0,1,1)，设二面角的大小为，
则? =− | ¯¯¯2→⋅¯¯¯3→
|¯¯¯2→||¯¯¯3→|
| =−|0+1+0|
=− 1
，
2
所以二面角的大小为2．
3