2024-2025学年上海市长宁区西延安中学九年级上学期期末模拟数学试题

这是一份2024-2025学年上海市长宁区西延安中学九年级上学期期末模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）

A．B．C．D．
2．要使根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．D．
3．已知一块圆心角为的扇形纸板，用它做一个圆锥形的圣诞帽(接缝忽略不计)圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形纸板的半径是( )
A．B．C．D．
4．在中，，如果，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（ ）

A．B．C．D．
6．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．B．y＝
C．y＝D．y＝
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝下
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
8．如图，正六边形ABCDEF内接于，M为EF的中点，连接DM，若的半径为2，则MD的长度为
A．B．C．2D．1
9．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知⊙O中，半径 OC 垂直于弦AB，垂足为D，若 OD=3，OA=5，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
11．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝ ．

12．如图，中，，，D为线段上一动点，连接，连接，则的最小值为 ．
13．若、是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是 ．
14．分母有理化：＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．

16． ．
17．若圆锥的母线长为4cm，其侧面积，则圆锥底面半径为 cm．
18．如图，正方形的边长为8，点在上，交于点.若，则长为 ．
三、解答题
19．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）填写下表：
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
20．如图，是的直径，四边形是矩形，与圆相交于点E，，D是上的点，，与交于点C，的半径为．
(1)求的长．
(2)若，求的长．
21．已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）证明：∽
（2）求证：；
22．用适当的方法解下列方程：
23．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)如果 ，求的长．
24．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点.

（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）当，，求的长.
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．
（1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．
26．九年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
(1)表格中________，________，________；
(2)如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？请说明理由；
(3)如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个，请说明理由．
平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华

8

小亮
8

3
进球数（个）
10
9
8
7
4
3
乙班人数（个）
1
1
2
4
1
1
平均成绩
中位数
众数
甲班
7
7
乙班
7
《 上海市西延安中学2024--2025学年九年级上学期期末统考数学模拟试题 》参考答案
1．D
【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
【详解】在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA．
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，
∴∠B=∠DAC．
∴△ABD∽△CAD．
∴DB：AD=AD：DC．
∵BD：CD=3：2，
∴设BD=3x，CD=2x．
∴．，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．
2．D
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知当x-1≥0时，二次根式有意义．
【详解】要使有意义，
只需x-1≥0，解得x≥1．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式定义中被开方数的取值范围．二次根式定义中要求被开方数是非负数，经常出现的问题是有的同学误认为是被开方数中的x是非负数，如中x的取值范围写为x≥0，因此学习二次根式时需特别注意．
3．B
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得
【详解】设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得
解得r＝18．
故这个扇形铁皮的半径为18cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
4．A
【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键；
如图，根据代入求值即可．
【详解】解：如图所示，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】先证明AG=GD，得到GE为△ADC的中位线，由三角形的中位线可得GEDCBD；由EG∥BC，可证△GEF∽△BDF，由相似三角形的性质，可得；设GF=x，用含x的式子分别表示出AG和AF，则可求得答案．
【详解】∵E为AC中点，EG∥BC，
∴AG=GD，
∴GE为△ADC的中位线，
∴GEDCBD．
∵EG∥BC，
∴△GEF∽△BDF，
∴，
∴FD=2GF．
设GF=x，则FD=2x，AG=GD=GF+FD=x+2x=3x，AF=AG+GF=3x+x=4x，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键．
6．A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
7．D
【分析】根据定义进行判断．
【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，由必然事件和随机事件的定义可知，选项A，B，C为随机事件，选项D是必然事件，
故选D．
【点睛】本题考查必然事件和随机事件的定义．
8．A
【分析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．
【详解】连接OM、OD、OF，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，
∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF•sin∠MFO=2×=，
∴MD=，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
9．C
【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．
【详解】二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x=0，
即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．D
【分析】利用垂径定理和勾股定理计算．
【详解】根据勾股定理得,
根据垂径定理得AB=2AD=8
故选：D.
【点睛】考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
11．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在Rt△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
∴△ABC的面积＝AB2＝（25+12）＝；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
12．/
【分析】如图，取中点G，，，求解，可得，即当点H在线段上时，取最小值，从而可得答案．
【详解】解：如图，取中点G，，
∵，点G是中点
∴，
在中，，
结合，可得，
即当点H在线段上时，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，三角形三边关系的应用，熟练地确定取最小值时的位置是解本题的关键．
13．
【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决．
【详解】令，则该函数的图象开口向上，
当时，，
当时，
，
即，
∵是关于的方程的两根，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14． + ．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．
【详解】解:== + ．
故答案为 + ．
【点睛】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
15．1
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为：1．
16．
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．3
【详解】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l==6π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r==3cm，
故答案为：3.
18．6
【分析】根据正方形的性质可得OC∥AB，OB=，从而证出△COQ∽△PBQ，然后根据相似三角形的性质即可求出，从而求出的长．
【详解】解：∵正方形的边长为8，
∴OC∥AB，OB=
∴△COQ∽△PBQ
∴
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质、利用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
19．（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小
【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:=8,
小华射击命中的方差:,
小亮射击命中的中位数:；
（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算，矩形的性质，是基础知识要熟练掌握．
（1）连接，过作于，在 中，由勾股定理得出的长，进而求得的长．
（2）连接，则在直角三角形中，可求得，过点作于，在直角三角形中，可求得，则得出的长度．
【详解】（1）解：连接，过作于，
则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：连接，
在直角三角形中，∵，
，
∴，
过点作于，在直角三角形中，
，
，
，
．
21．（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽；
（2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：∥
∽
（2）证明：∵∽
∵AD∥BC，
∴
又∵CM＝BM，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
22．，．
【分析】先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
移项，得，即
因式分解得
于是得或
解得
故原方程的解为．
【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
23．(1)相切，理由见解析
(2)
【分析】(1)根据过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，证明垂直即可．
(2)根据勾股定理，三角形面积不同表示法，计算即可．
【详解】（1）
相切，理由如下：
连接，

∵为的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴与相切．
（2）
．由（1）知，
∴在中，由勾股定理 得
．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线定理，
三角形面积计算，熟练掌握切线判定和勾股定理，中位线定理是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.
【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；
（2）只要证明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得结论；
（3）由相似三角形的性质可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的长．
【详解】解：（1）和是两个等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
（2），
,
，
，
,
，
，且,
，
平分
（3）
，且，，
，
，
，
，
，，
.
【点睛】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（1）见解析；（2）2π
【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（2）根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵CA=，
∴S==2π．
【点睛】本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度．
26．(1)7，7，7
(2)因此甲班较好，理由见解析
(3)选择乙班，理由见解析
【分析】（1）先计算乙班总进球数，再用总数除以人数即可计算的值；根据已知信息，将乙班的选手的进球数量从小到大排列，计算处在正中间的两个数的平均数即可确定的值；根据已知信息，甲班选手的进球数量中出现次数最多的进球数即为的值；
（2）从这两个班中选出一个成绩较为稳定的班代表年级参加学校的投篮比赛，要看两个班的数据离散程度；
（3）如果要争取个人进球数进入学校前三名，要根据个人进球数在9个以上的人数，哪个班多就从哪个班选．
【详解】（1）解：由题意可知，；
乙班进球数从小到大排列为3，4，7，7，7，7，8，8，9，10，
处在第5、6位的数都是7个，因此乙班进球数的中位数是；
根据图表，甲班进球数出现次数最多的是7个，因此甲班进球数的众数为．
故答案为：7，7，7；
（2）要想争取夺得总进球数团体第一名，选择甲班较好．甲班的平均数虽然与乙班相同，但是
，
，
∴乙班数据的离散程度较大，发挥不稳定，因此选择甲班；
（3）要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班．
由出现高分的可能性，个人成绩在9分以上的人数乙班较多．
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数以及方差的意义等知识，掌握平均数、中位数、众数的求解方法以及方差的意义是解答本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
C
A
D
A
C
D