辽宁省沈阳市东北育才学校等校2025-2026学年高三上学期10月联合考试数学试题（Word版附解析）

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答题时间:120分钟 满分:150分 命题人 校对人:庞德艳 张欣
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果.
【详解】因，所以，解得.
故选：A.
2. 设集合，，且，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式求解集合，结合集合即可得出答案．
【详解】由题意得，，，
因为且，所以.
故选：D．
3. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得，故丁错.
故选：D.
4. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断．
【详解】是假命题，不是必要而不充分条件；
是正确的，但不能得出，是必要而不充分条件；
与之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分；
，是充要条件．
故选：B．
5. 已知是定义域为的偶函数，对，都有当时，则=（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性与所给等式推出函数的周期，再利用函数的周期性与奇偶性将与转化为已知区间内的函数值，最后代入相应解析式进行计算.
【详解】根据题意，是定义域为的偶函数，对，都有，
则有，即函数是周期为的周期函数，
则有，，
又由当时，，
则.
故选：B.
6. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值.
【详解】由，得，即，
由，得，则，
由，，得，
由柯西不等式得，
因此，当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：C
7. 已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】由，得，
令，，得，可得，
所以，得，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故，，所以，
所以的前30项的和为.
故选：D.
8. 已知函数，若，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将化为，由奇偶性把化为，再根据单调性得，解此不等式取交集得范围.
【详解】显然的定义域为，
因为，所以为偶函数．
又，
令，令，，则，且在上单调递增，
当时，，又在单调递增，所以在单调递增；
当时，，又在单调递减，所以在上单调递减，
（也可利用定义求证单调性）
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，为偶函数，
所以等价于，
所以，故，则，即或，
得或.
综上，m的取值范围为.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示：
若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
A. B. 样本相关系数在内
C. 相对于点的残差为D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况.
【详解】根据题意得，，
又必过样本中心点，所以，解得，故A正确；
因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为，
所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确；
当时，，故残差为，故C错误；
当时，，
故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误．
故选：AB．
10. 已知函数其中若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 过点的直线与的图象一定有公共点
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】先将函数化简，再根据已知条件确定的值，最后逐一分析选项.
【详解】解：由题意知的最小正周期为，
，，即当时，取得最大值，
所以为图象的一条对称轴，
又，所以，故A正确；
因为，等于的个最小正周期，则，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
因为，所以点在两条直线与之间，
所以过点的直线与的图象一定有公共点，故C正确；
因为当时，取得最大值，， 为的个最小正周期，所以在上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
11. 记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（ ）
A. 函数与存在唯一“点”
B. 函数与存在两个“点”
C. 函数与不存在“点”
D. 若函数与存在“点”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，求出，利用“点”的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】令.
对于A选项，，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，
此时，函数与存在唯一“点”，A对；
对于B选项，，则，
函数的定义域为，令可得，且，
所以，函数与不存在“点”，B错；
对于C选项，，则，
令可得，解得或，但，，
此时，函数与不存在“点”，C对；
对于D选项，，其中，则，
若函数与存在“点”，记为，
则，解得，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，是函数的极值点，则______
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可得是方程的两根，再利用韦达定理求出，结合等比数列的性质即可得解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以是方程的两根，
由韦达定理可得，所以都是正数，
在等比数列中，同号，且，
所以.
故答案为：.
13 已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切二倍角公式得，进而根据和差角公式求解，即可根据二倍角公式求解.
【详解】由，
，
有，
可得．
故答案为：
14. 已知集合，集合满足：①每个集合都恰有8个元素，②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为__________．
【答案】150
【解析】
【分析】判断集合的元素中的最小值与最大值的和的可能情况，然后按照定义求解即可．
【详解】集合，由集合满足：
每个集合都恰有个元素，，则集合两两交集为空集.
设集合中元素的最大值与最小值分别为和，则.
由集合两两交集为空集，故两两不同且两两不同.
先求的最小值：
要使取到最小值，和同时取得最小值.
由于，且两两不同，所以当时，.
因为24是集合中除外的元素中的最大元素，一定是三个集合之一的元素，不妨设集合含有24，然后将紧随其后的23，22，21，，18这6个数放入集合中，不会增加，但却可以使得变小，所以为使最小，必然集合中的元素是含有24，23，22，21，，18这7个元素；这时中剩余元素的最大值17必是或的最大元素，不妨设集合含有17，同上，为使最小，集合中的元素含有17，16，15，，11这7个元素；于是集合含有10，9，8，7，，4这7个元素，.
则的最小值为.
再求的最大值：
要使取到最大值，应当和同时取得最大值.
由于且两两不相等，所以当时.
中的剩余元素最小的是1，不妨设，即.将放入不会改变的值，却可以使其它两个集合中的最小元素变大，因此为使最大，集合中必含有；这时8是集合中剩余元素的最小元素，设，同理可知中含有；中含有.所以.
则的最大值为；
所以的最大值与最小值的和为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，
（1）的最小正周期是，求，并求在区间的解集；
（2）已知，，，求的值域和单调区间．
【答案】（1），
（2），单调增区间为，单调减区间为
【解析】
【分析】（1）利用函数的周期求出的值，进而求出的关系式，然后根据余弦函数的性质求出的解；
（2）根据正余弦函数的倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即可求解．
【小问1详解】
由题知，解得，
令，
故或，
整理得或，，又，
故解集为；
小问2详解】
由于，所以，
所以
，
由于，所以，，
故，所以函数的值域为；
令，得，所以单调增区间为，
令，得，所以单调减区间为 ，
综上，单调增区间为，单调减区间为．
16. 等差数列的首项，公差，前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用等差数列的前项和的公式将改写为和的式子，解出用表示的式子，再利用求出的范围，根据求出，再求出，使用等差数列的通项公式求出
（2）先求出，再利用错位相减法求出.
【小问1详解】
解：，，得，
，，
又，，，
【小问2详解】
，
…………….①
…………….②
① ②，得
，
得.
17. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
（2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势：
（3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望.
附：，.
【答案】（1）认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联
（2），认为事件条件下发生有优势
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解；
（3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可，
【小问1详解】
零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关，
由题意得，
所以根据小概率值的独立性检验，
可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
【小问2详解】
因为，
因为，
所以认为事件条件下发生有优势；
【小问3详解】
按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
所以分布列为：
所以数学期望.
18. 已知.
（1）若，，求；
（2）设，，证明：；
（3）在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用完全平方与平方关系，由求出，解出，再求即可；
（2）利用完全平方与平方关系，由表示出，再将进行拆分，变形，表示为所求形式即可；
（3）由（2）的结论代入，根据提示进行变形，得出，再求出其首项不为0即可证其为等比数列；同时证明为等比数列，分别求出通项，做差即可解得.
【小问1详解】
由题意可得，①
则，
所以，，
所以，
②
联立①②解得，
所以.
【小问2详解】
证明：，，
则，
故
，.
【小问3详解】
证明：由（2）得：，
时，有 ，，
则，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
同理，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
结合等比数列的通项公式，可得：
，，
两式作差，得，
故 .
19. 已知函数（，且）.
（1）当时，证明：为增函数；
（2）若存在两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）设的极大值为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用导数证得为增函数.
（2）（i）先换元设，然后利用多次求导的方法，对进行分类讨论，根据极值点个数来求得的取值范围.
（ii）根据（i），通过换元以及构造函数，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意，，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故，即，单调递增.
【小问2详解】
（i）设，则，
则.
设，则，即在上单减，在上单增，
当时，令，由，且在上单调递增，
故仅有一个零点，不符合题意；
当时，，
①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意；
②当时，则，此时存在两个零点，
当时，；当时，，；
当时，，，存在两个极值点，符合题意.
综上可知，.
（i i）由（i）可知，且，满足，
故，
设，则，
设，则，
故单调递减，且，则，
即.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，
月份
2024年9月
2024年10月
2024年11月
2024年12月
2025年1月
月份代码
1
2
3
4
5
月销量/千辆
21
52
109
直播带货评级
合计
优秀
良
主播的学历层次
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
2
3