2023届辽宁省沈阳市东北育才中学等重点高中联合体高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届辽宁省沈阳市东北育才中学等重点高中联合体高三上学期9月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省沈阳市东北育才中学等重点高中联合体高三上学期9月月考数学试题 一、单选题1．如图，已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得图中阴影部分表示的集合，再根据该集合中元素个数即可求出该集合子集个数.【详解】，则或，图中阴影部分表示的集合为或；集合的子集有（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：D2．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（    ）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，.故选：A．4．设则有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.【详解】解：，，，因为在上单调递增，所以，所以.故选：C5．已知，，，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B.6．已知，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系得到，再由及两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，又，所以.故选：D7．已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知在上单调递增，且，将所求不等式转化为，可得出，解此不等式即可得解.【详解】当时，，所以在上单调递增，且，不等式即为.又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，所以，，解得.综上可知，实数的取值范围为，故选：A.8．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围．【详解】，使得成立，等价为使得成立，由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故在成立，当时，，设，，则，由，得，所以在递减，所以，则在递减，所以，则，所以．故选：A 二、多选题9．下列结论正确的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．C．已知在前项和为的等差数列中，若，则D．已知，则的最小值为【答案】ACD【分析】由已知结合不等式性质检验A；结合同角基本关系及二倍角公式检验选项B，结合等差数列的求和公式及性质检验选项C；结合基本不等式检验选项D．【详解】当时，一定成立，反之不成立，即“”是“”的充分不必要条件，A正确；原式，B错误；等差数列中，若，则，C正确；，，，则，当且仅当且，即，时取等号，D正确．故选：ACD．10．下列选项中，正确的是（    ）A．函数（且）的图象恒过定点B．若不等式的解集为，则C．若，，则，D．函数恰有1个零点．【答案】CD【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求解.【详解】解：对A：函数（且）的图象恒过定点，故选项A错误；对B：若不等式的解集为，则，且和是方程的两根，所以，解得，所以，故选项B错误；对C：若，，则，，故选项C正确；对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.故选：CD.11．已知，若，且，则下列选项中与恒相等的有（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由题意得，，切化弦即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选：AD．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题．12．已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（    ）A．当时， B．C．的图象关于点（2，0）对称 D．函数有3个零点【答案】AD【分析】求得当时的解析式判断选项A；求得的值判断选项B；举反例否定选项C；利用函数与的图象交点个数判断选项D.【详解】设，则，又∵当时，，∴，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，故A正确；∵，∴，∴函数是以4为周期的周期函数，∴，故B不正确；∵，∴，∴的图象不关于点（2，0）对称，故C错误；函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数同一坐标系内作函数与的图象如下：观察图象知与有3个交点，故D正确.故选：AD. 三、填空题13．在等差数列中，，，，则该数列公差______．【答案】0.25【分析】由，可得，再利用等差数列的性质可得，即可与解出的值，再结合等差数列通项公式即可求出【详解】由题，是等差数列，，，，结合，可解得，，故答案为：14．已知，则___________.【答案】【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.【详解】由得，即，两边同时平方得，即，解得.故答案为：.15．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0（a>1）的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.【答案】－【分析】由题得到韦达定理，再求出tan（α＋β）＝1，即得解.【详解】解：依题意有所以tan（α＋β）＝＝＝1.又所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan（α＋β）＝1，得α＋β＝－.故答案为：－16．定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．【答案】【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．【详解】因为当，时，，所以，因为，当，时，即时，所以，即，当，，即，时，，当，，即，时，，所以，依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：，,当时，，当时,因为对任意，，都有，则，解得：，故答案为： 四、解答题17．（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据诱导公式，辅助角公式以及二倍角公式即可解出；（2）根据诱导公式，商数关系即可解出．【详解】（1）.（2），，则.18．如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积公式及同角公式求出的正余弦，再利用差角的余弦计算作答.（2）利用（1）中信息求出，再讨论的范围求解作答.【详解】(1)由题意知，，点，则有，解得，又为锐角，则，因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，则，所以.(2)由（1）知，，则，从而，因为为锐角，，则有，即，又，因此，所以.【点睛】思路点睛：给值求角问题，选取某个函数，借助三角变换求出这个角了三角函数，再判断角所在区间求解作答.19．从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_____________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.【答案】(1)若选①或②，,；选③，(2)若选①或②，；选③， 【分析】（1）①②都是利用的方法进行简化，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式；（2）利用①②③的结果代入的具体值，通过求和得到答案.【详解】(1)若选①：因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，，所以；若选②：因为，所以，两式相减，得，因为，所以，故为等差数列，则；若选③：由，变形得：，则，易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以，由当时，，也满足上式，所以.(2)若选①或②：由题意，，当时，，；当时，，；当时，；.若选③：由题意，，当时，，；当时，，；当时，，；.20．已知函数(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)设，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义即可得出答案；（2）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间；（3）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图像有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案.【详解】(1)解：若，则，，由，曲线在点处的切线方程为；(2)解：函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递减；当时，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(3)解：，函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，也即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图像有两个交点，令，则，当或时，，当时，，所以函数在和上递减，在上递增，所以，，当时，，且，所以，函数的图像大致如图，则的取值范围是.   【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数解决函数的零点的问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想.本题第三问解题的关键在于将问题转化为直线与函数的图像有两个交点，进而研究函数图像性质即可求解.21．定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．【答案】（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0]．【分析】(1)根据二次函数的图像与性质求解即可.(2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可.(3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可.【详解】（1）当a＝1时，，由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为；（2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x，，，作差得到：，即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数；（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即，（i）当x＝0时，则a∈R恒成立；（ii）当x∈（0，1]时，有，即，又x∈（0，1]，则，∴当时，，，∴实数a的取值范围为[﹣2，0]．【点睛】本题主要考查了二次函数的值域,图像与性质等.同时也考查了新定义的运用,需要根据题意计算求解分析.同时也考查了参变分离求参数范围的问题.属于难题.22．已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)当时，证明：．【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】(1)由题意，求出参数，再检验即可.(2)由题意等价于证明，令，分析出的单调性，结合隐零点的应用，即可证明不等式.【详解】(1)依题意，的定义域为，由，得，因为是的极值点，所以，即，即当1时，，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；所以f（x）在处取得极大值，符合题意因此(2)当时，要证，只需证，即证，等价于证明令，则令，则，所以对恒成立，故 在 单调递减，又，所以，所以在上恰有一个零点，且．当时，，即，所以在单调递增；当时，，即，所以在单调递减，所以．又因为，即，即，即，即，所以所以，又因为，所以，即，因此，即，圆【点睛】关键点睛：本题考查利用极值求参数和利用的导数证明不等式，解答本题要注意根据极值处导数为零求出参数后要检验，解答本题的关键是得出函数在上恰有一个零点，从而得出的你单调性，得出其最大值，即，属于难题.