精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期期初考试数学试题

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1. 若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程配方可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
4. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A. 2x2-4x+3=0B. 2x2-2x-3=0C. 2y2+4y-3=0D. 2t2-4t-3=0
5. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ）
A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似
6. 如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题2分，共20分）
7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______．
8. 两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______．
9. 如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为______．
10. 如图，分别在边上，若，，，则的长为_____．
11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
12. 如图是一张三角形纸片，，小明将它沿虚线PQ剪开，得到和四边形两张纸片，且满足，则长的取值范围是______．
13. 若关于x的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是______．
14. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________．
15. 如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______．

16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______．
三、解答题（共10题，共88分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
18. 已知：如图，、是圆两条弦，且．求证：．

19. 如图，是的两条弦，且，求证：．
20. 已知关于x的方程：．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为和，若，求实数k的值．
21. 如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：．
22. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
（2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．
23. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，则的长为______；
（3）连接，求证：．
24. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．

25. [模型建立]
如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上点的最短距离，是点P到上的点的最长距离．
[问题解决]
请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______．
（2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______．
[拓展延伸]
如图④，点，动点B在以为圆心，为半径圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．
26. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
（1）如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
（2）当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
（3）△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．