精品解析：江苏省无锡市梁溪区江南中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2. 二次函数y=（x+1）2﹣3图象的顶点坐标是（ ）
A. （1，﹣3）B. （﹣1，3）C. （﹣1，﹣3）D. （1，3）
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【详解】∵y=（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3. 如图，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，平分；
综上：只有选项B错误，符合题意；
故选B．
4. 如图，已知点A，B，C在上．若，则等于（ ）
A. 140°B. 120°C. 110°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵点A，B，C在上，，
∴；
故选D．
5. 如图，为的直径，垂直平分，垂足为E．若，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，由勾股定理求出,根据垂径定理的性质即可得出答案，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．
【详解】解：，
，
垂直平分，
，，
，即，
垂直平分，是半径，
，
故选：．
6. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径圆（ ）
A. 与x轴相离，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【解析】
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
7. 下列命题中是真命题的为（ ）
A. 弦是直径
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D. 相等的圆周角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆基本概念辨析，垂径定理，三角形的外心，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、直径是弦，弦不一定是直径，故选项为假命题；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项为假命题；
C、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故选项为真命题；
D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项为假命题；
故选C．
8. 如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9. 二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值差（ ）
A. 与p、q的值都有关B. 与p无关，但与q有关
C. 与p、q的值都无关D. 与p有关，但与q无关
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出函数解析式的最小值、当0≤x≤1时端点值即：当x=0和x=1时的函数值．由二次函数性质可知此函数最大值与最小值必是其中的两个，通过比较可知差值与p有关，但与q无关
【详解】解：依题意得：当时，端点值，
当时，端点值，
当时，函数最小值，
由二次函数的最值性质可知，当0≤x≤1时，此函数最大值和最小值是、、其中的两个，
所以最大值与最小值的差可能是或 或，
故其差只含p不含q，故与p有关，但与q无关
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
10. 如图，已知，，，动点从向终点运动，线段的中垂线分别交、于点、，在整个运动过程中，点的运动路程长为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用及直角三角形性质，当点与点重合时，过点作于点，连接，勾股定理求得的长，进而当点运动到时，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，当点与点重合时，过点作于点，连接，
∵，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当时，则，，
∴，
当点运动到时，则，即图中时，，则，
又，，
∴，
又∵，
∴，
当点运动到的过程中，点从点运动到点，
综上所述，当点从点运动到点的过程中，点的路程为，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
12. 已知线段a、b、c，其中c是a、b比例中项，若a =9cm，b=4cm，则线段c=________.
【答案】6cm
【解析】
【分析】根据比例中项的性质，列出比例式即可得出线段的长度.
【详解】∵是、的比例中项，
∴，
解得：或(线段为正数，舍去)
故答案为.
【点睛】本题考查比例中项的概念.当两个比例内项相同时，就叫比例中项，注意线段不能是负数.
13. 已知圆锥的母线长，底面半径是，则这个圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
14. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____．
【答案】cm
【解析】
【分析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，
直角三角形的斜边为： cm，
这个直角三角形的外接圆半径为： cm，
故答案为：cm．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台，列出方程即可．
【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，由题意，得：；
故答案为：．
16. 如图，是的中线，G是上一点，且，，交边于点H，若，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，进一步得到，求出，由是的中线即可得到的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：6
17. 如图，在中，，连接AB、CD，当，时，则半径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】作直径DE，连接AE、CE．根据直径所对的圆周角是直角，得∠EAD=∠ECD=90°，则AECB，得，则CE=AB．进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作直径DE，连接AE、CE．
∵DE是直径，
∴∠EAD=∠ECD=90°，
∴AE⊥BC，
又∵，
∴AECB，
∴，
∴CE=AB．
∵，，
∴，
∴在中，．
∴半径长为．
故答案为：．
【点睛】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理，将转化为是解题的关键．
18. 如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 _____；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 _____．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】把正方形分成两个相等的矩形，分别以两个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这两个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形和矩形的性质可得，，再由等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可；把正方形分成三个相等的矩形，分别以三个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这三个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形的性质可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，正方形被、所覆盖，点E是的中点，过点M作于点F，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，，
在中，，
∴r的最小值为，
如图，正方形被、、所覆盖，点G、M、H是、的三等分点，
∵正方形的边长为4，
∴，
在中，，
∴，
∴r的最小值为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查正方形与圆、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，利用圆的内接正方形进行计算求出半径的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）因式分解法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）因式分解法解方程即可；
（4）公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
，
∴，
∴，
∴或，
∴；
【小问4详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．

（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；
（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．
【小问1详解】
证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
【小问2详解】
解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，
∴∠ADC＝
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝
∴
∴
即
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
法的应用是解题关键．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系．掌握根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键．
（1）求出判别式的符号即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系，以及矩形的性质和勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵不论实数m取何值，，
∴不论实数m取何值，即方程总有实数根；
【小问2详解】
设方程的两个根为，
则：，，
∵该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为5，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）．
∴．
22. 在半径为1的中，利用无刻度的直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（1）在图1中作，其中B、C两点在圆上，且；
（2）在图2中作，其中D、E、F三点都在圆上，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理、垂线的作图等知识，准确作图是解题的关键．
（1）作半径，以点B为圆心，为半径作弧交于点C，连接，则；
（2）作直径垂直直径，作圆周角，连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
由作图可知，B、C两点在圆上，且，
∴是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
如图，即为所求，
由作图可知，D、E、F三点都在圆上，且，
∴．
23. 已知二次函数．
（1）若其图象经过点，求此二次函数的表达式；
（2）点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．
【答案】23.
24. 见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出，根据的取值进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
∵点是函数图象上两个点，
∴，
∴
，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴当时，；
当，；
当时，．
24. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
（1）连接．证明即可；
（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
设，则，
在中，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
25. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【答案】（1）
（2）当销售价定为80元时，销售利润最大，为元
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出二次函数的解析式．
（1）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数即可；
（2）根据二次函数的性质，求最值即可；
（3）根据题意，列出不等式，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：；
【小问2详解】
∵，
∴当时，有最大值为：，
答：当销售价定80元时，销售利润最大，为元；
【小问3详解】
由题意，当：时，
解得：或，
∴当时，，
又，
解得：，
综上：．
26. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接、，已知．
（1）求直线的函数表达式；
（2）Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和相似，求点Q的坐标；
（3）P为抛物线上一点（异于A点），若，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）把代入二次函数解析式，求出二次函数解析式，进而求出点坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）根据相似三角形的性质，得到也是直角三角形，分， 和，三种情况进行讨论求解即可．
（3）作点A关于的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线向下平移，平移的距离为的长度，可得到直线，联立方程组即可求出的坐标；
【小问1详解】
解：将代入，
化简得，则（舍）或，
∴，
∴，
当时，，当时，，解得：，
∴，．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
【小问2详解】
∵为直角三角形，，，
∴，
当以B、C、Q为顶点的三角形和相似时，
则：是直角三角形；
设，
①当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
当时，，
∵，
∴，满足题意；
②当时：如图：
过点作，过点作，
则：，，，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：（舍去）或（舍去）或或，
∴或
此时，
不满足题意，舍去；
③当时，如图：
过点作轴，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∵，不符合题意；
∴不满足题意；
综上：．
【小问3详解】
∵，
∴点与点到的距离相等，
如图，过点A作，设直线与y轴的交点为G，将直线向下平移个单位，得到直线，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：（舍），或，
∴，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：，，
∴，，
∴或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查三角形的面积问题，角度的存在性，相似三角形的性质，以及解直角三角形，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
27. 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、．
（1）若、，求的坐标；
（2）在轴上取一点，连接、，若直线的函数表达式为，求直线的函数表达式；
（3）当时，过、、三点的圆交轴于点，连接、，当最小时，请直接写出的值和的最小值．
【答案】（1）；
（2）直线的表达式为；
（3）；的最小值为．
【解析】
【分析】待定系数法求解即可；
先利用直线解析式和抛物线解析式求出、两点的坐标，再求直线的解析式即可；
先求出，，设外接圆圆心，根据求点坐标，根据轴对称求最短值方法，设关于直线的对称点，当、、三点共线时，即值最小，据此求出直线解析式，将点坐标代入可求得的值，最后将的值代入、坐标即可求得即的最小值．
【小问1详解】
解：将、代入，
得，
，
，
．
【小问2详解】
解：把代入，
得，
，
将其代入，
得，
解得，
，
将代入，
得，
，
，
，
设直线的解析式为，
将和代入可得，
，
解得，
直线的解析式为．
【小问3详解】
解：当时，，
，
当时，可得，
，
，，
设的外接圆圆心为，
根据三角形外接圆性质可得，一定在的垂直平分线上，
可设，
，
，
解得，
，
设，
，
，
解得或（舍），
，
设关于直线的对称点为，则，
且，
则当、、三点共线时，即的值最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的直线解析式为，
将代入得，
，
，，，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数的图像与性质、三角形外接圆性质、轴对称求最短距离，解题关键是根据三角形外接圆性质确定的坐标．