陕西省西安市铁一中学2026届高三上学期第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市铁一中学2026届高三上学期第二次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x|10,ω>0,00的右焦点为F1,0，过F的直线交椭圆于A,B两点，当AB与x轴垂直时，AB=3．
(1)求椭圆E的标准方程．
(2)过A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，记直线AD与BC的交点为P．
(ⅰ)证明：点P在定直线l上，并求出定直线l的方程；
(ⅱ)若▵PAB的面积为9 27，求直线AB的斜率．
19.(本小题17分)
已知函数fx=xex，g(x)=lnx+x．
(1)求函数gx在1,g1处的切线方程；
(2)若ℎx=fx−agx，
(i)当a=1时，求函数ℎx的最小值；
(ii)若ℎx=0有两个实根x1，x2，且x1≠x2，证明：ex1+x2−2>1x1x2．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.C
9.BD
10.AB
11.ABC
12.−19
13.516
14.−12,+∞
15.解：(1)列联表如下：
零假设H0：产品是否优质与生产线无关，
χ2=1200×(450×200−150×400)2600×600×850×350≈10.08>6.635，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为产品是否优质与生产线有关．
(2)由已知得，甲生产线中产品的优质品率为450600=34，
∴X所有可能取值为0，1，2，3，4，．
所以X∼B4,34，则PX=k=C4k34k⋅144−k，k=0,1,2,3,4，
故X的分布列为
∴EX=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×81256=3．

16.解：(1)由acsC+12c=b，以及正弦定理可得sinAcsC+12sinC=sinB
即sinAcsC+12sinC=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
即12sinC=csAsinC，
又在▵ABC中sinC≠0，
所以csA=12，
则在▵ABC中A=π3；
(2)由(1)可得S△ABC=12bcsinA= 34bc= 3，
所以bc=4，
由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=b+c2−2bc−a22bc=b+c2−8−48=12，
解得b+c=4，
所以▵ABC的周长a+b+c=6．

17.(1)证明：连接BD，AC，记BD∩AC=O，再连接EO，FO，
因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，
又E是AD的中点，所以EO//AB，
又EO⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EO//平面PAB．
因为O是AC的中点，F是PC的中点，所以OF//PA，
又OF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以OF/​/平面PAB，
又EO∩OF=O，EO，OF⊂平面EOF，所以平面EOF//平面PAB，
又EF⊂平面EOF，所以EF//平面PAB．
(2)解：如图：连接AC，BD，交于点O，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，且O为AC，BD的中点，
又因为PB=PD，
所以PO⊥BD，AC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O，
所以BD⊥平面PAC，
BD⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PAC，
所以AC是直线PA在平面ABCD内的射影，
易得∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角的平面角，
则∠PAO=60∘，
又AB=2，PA⊥PC，∠BAD=60∘，
所以AC=2 3，BD=2，PA= 3，∠POA=60∘，
以O为原点，如图，直线OB、OC所在直线分别为x、y轴，过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，P(0,− 32,32)，
所以PB=(1, 32,−32)，BC=(−1, 3,0)．
平面ABCD一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅PB=0m⋅BC=0⇒x+ 32y−32z=0−x+ 3y=0,
取m=(3, 3,3)，
cs=m⋅n|m|⋅|n|= 217，
由图可知，二面角P−BC−D为锐二面角，
所以二面角P−BC−D的余弦值为： 217
18.解：(1)依题意，c=1，点1,32在椭圆上，
得b2a=32，又a2−b2=c2=1，可得a=2，b= 3，
所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1．
(2)依题意知直线AB与坐标轴不垂直，不妨设直线AB的方程为x=my+1m≠0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
由x=my+1,x24+y23=1,得4+3m2y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
故y1y2y1+y2=32m．
依题意，C,D的坐标分别为x1,0，x2,0，
易知直线AD,BC的斜率均存在，则直线AD的方程为y=y1x1−x2x−x2，
直线BC的方程为y=y2x2−x1x−x1，
联立y=y2x2−x1x−x1与y=y1x1−x2x−x2可得
x0=x1y2+x2y1y1+y2=my1+1y2+my2+1y1y1+y2=2my1y2y1+y2+1=4，
故点P在定直线l上，且直线l的方程为x=4．
(ⅱ)依题意，不妨令m>0，A在x轴上方，
则S▵PAB=12BD⋅x0−x1(▵PBD的面积减去▵ABD的面积即所求)
=12y2⋅4−my1+1=123y2−my1y2
=123y2−32y1+y2=34⋅y2−y1
=34⋅ −6m3m2+42+4×93m2+4=9 m2+13m2+42．
令9 m2+13m2+42=9 27，得18m4−m2−17=0，得m=1.(注意前提条件m>0)
根据椭圆的对称性可得m=±1，
故若▵PAB的面积为9 27，则直线AB的斜率为1m=±1．

19.解：(1)因为g(x)=lnx+x，所以g′(x)=1x+1，
所以g′(1)=11+1=2，又g(1)=1，
所以函数gx在1,g1处的切线方程为：y−1=2x−1，即2x−y−1=0．
(2)(i)当a=1时，ℎx=fx−gx=xex−lnx−x，定义域为0,+∞，
ℎ′x=x+1ex−1x−1=x+1xex−1x，
令Fx=xex−1,x∈0,+∞，
则F′x=x+1ex>0，
所以Fx在0,+∞上单调递增，
又因为F0=−10,F1=e0，
所以∃x0∈0,1使得Fx0=0，即x0ex0=1，①
故当x∈0,x0时，Fx0，此时ℎx在x0,+∞上单调递增，
所以当x=x0时，函数ℎx有最小值，
由①可得lnx0ex0=ln1=0，即lnx0+x0=0，
所以函数ℎx的最小值为x0ex0−lnx0−x0=1．
(ii)由题意，ℎx=xex−alnx+x，定义域为0,+∞，
由题意ℎx=xex−alnx+x=xex−alnxex=0有两个不相等的实数根，
令t=xex，则t′=x+1ex>0，
所以t=xex在0,+∞上递增，所以t>0，
令Gt=t−alntt>0，
所以Gt有两个不相等的正的零点t1,t2，且t1=x1ex1,t2=x2ex2，
即t1−alnt1=0t2−alnt2=0，两式分别相加减得，
alnt2+lnt1=t2+t1,alnt2−lnt1=t2−t1．
所以lnt2+lnt1=t2+t1a,a=t2−t1lnt2−lnt1②
要证ex1+x2−2>1x1x2，只需证x1ex1⋅x2ex2>e2，
即证lnx1ex1+lnx2ex2>2，即需证lnt1+lnt2>2，
由②知，lnt1+lnt2=t2+t1t2−t1lnt2−lnt1=t2t1+1lnt2t1t2t1−1，
故只需证t2t1+1lnt2t1t2t1−1>2，
不妨设02，即lnμ>2⋅μ−1μ+1=2⋅1−2μ+1，
故只需证lnμ+4μ+1−2>0，
令sμ=lnμ+4μ+1−2,μ>1
则s′μ=1μ−4μ+12=μ−12μμ+12>0，
所以sμ在1,+∞上单调递增，
所以sμ>s1=0，
即当μ>1时，lnμ+4μ+1−2>0成立．
所以lnt1+lnt2>2，即x1ex1⋅x2ex2>e2，故ex1+x2−2>1x1x2．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
年产量y/万辆
31
33
38
44
a
b
c
优质品
非优质品
合计
甲生产线
450
150
600
乙生产线
400
200
600
合计
850
350
1200
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256