2025-2026学年河北省石家庄市桥西区第四十一中学八年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年河北省石家庄市桥西区第四十一中学八年级上学期10月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．【易容之术】一门派秘传“分式易容术”，形可变而神不可散．下列法术中，何者能保其本元不变？（ ）
A．B．C．D．
2．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ）
A．不改变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍
3．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”，则剑光总长为八尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（ ）
A．4尺B．3尺C．2尺D．3.5尺
5．【古籍残卷】如图，方格中的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与全等的格点三角形共有（ ）个．（不含）
A．7B．29C．32D．31
6．已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
10．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形中各个顶点均为格 点，设，，则的值 ．
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
12．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设．
（1）当时，的值为 ；
（2）若均为非零整数，则的值为 ．
三、解答题
13．如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：．

14．我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为 ，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
15．某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题：
(1)A，B两款净水器每台进价各是多少元？
(2)若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？
(3)在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案．
16．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且．
(1)求证：．
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
《河北省石家庄市第四十一中学2025-2026学年八年级上学期10月月考试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于零的整式，分式值不变，即可得出答案．
【详解】解：．，原变形错误，故该选项不符合题意；
．，原变形错误，故该选项不符合题意；
．，原变形错误，故该选项不符合题意；
．，原变形正确，故该选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了分式的性质，先根据题意将原式变为，再约分得出答案．
【详解】根据题意，得，
所以浓度不变．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题，符合题意；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，为假命题，，不符合题意；
真命题有1个，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据线段和差求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵尺，尺，
∴尺，
∴尺，
∴尺，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了三角形全等的判定、勾股定理与网格问题，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．根据勾股定理与网格问题、三角形全等的判定画出左下角的正方形中，与全等的格点三角形，同样的方法可得在左上角的正方形中，在右上角的正方形中，在右下角的正方形中，由此即可得答案．
【详解】解：如图，在左下角的正方形中，共有7个格点三角形与全等．
同理，在左上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等，
在右上角的正方形中，共有8个格点三角形与全等，
在右下角的正方形中，共有8个格点三角形与全等，
所以可以与全等的格点三角形共有（个）．（不含）
故选：D．
6．A
【分析】首先由幂的乘方的逆运算得到，得到，同理得到，然后分别利用分式的通分，因式分解分别变形代数求解判断即可．
【详解】∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∴
，故②正确；
∴，故③正确；
∴
∴
∴当时，；
当时，，故④错误．
综上所述，计算结果正确的是①②③．
故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算，分式的求值，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点．
7．B
【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
∵方程的解为负数，
∴，
∴．
∵且，
∴且，
∴且．
故选B．
8．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．由，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解．
【详解】解：令和交于，
，，
，，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
由条件不能推出，
∴①②③正确．
故选：C．
9．3
【分析】分式方程有增根，则增根为x=1，把分式方程化为整式方程后，把x=1代入整式方程中，即可求得m的值．
【详解】解：由题意知，分式方程的增根为x=1，
分式方程去分母得：m－3=x－1，
把x=1代入上述整式方程中，解得m=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是确定分式方程的增根．
10．/度
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解．熟练掌握了一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是解题的关键．
首先分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据已知解集确定的取值范围，再求解凡是方程，根据方程的解为正数确定的另一取值范围，最后找出满足两个条件的所有整数a并求和．
【详解】解：
两边同时乘以6得：
解得：，
，
解得：，
因为一元一次不等式组的解集为，
所以，解得：；
通分得到：
解得：，
因为分式方程的解为整数，所以且，
解得：且，
所以满足条件的整数为：，，2，3，4，5，
它们的和为：，
故答案为：．
12． 或
【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值；
（1）解方程，即可求解；
（2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得
，
去分母得，
，
解得：，
经检验：是此方程的解，
故答案为：；
（2）由题意得
，
均为非零整数，
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
故答案为：或．
13．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证．
【详解】证明：∵和相交于点O，
∴，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴， 即；
在和中
；
∴．
14．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解；
（3）把原方程变形为，再结合运用“十字方程”并代入运算即可求解．
【详解】（1）解：可化为，
，．
（2）解∶ 根据题意得：，，
．
（3）解∶ 原方程变为，
，，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．
15．(1)A款净水器每台进价1200元，B款净水器每台进价1800元
(2)商场共有四种进货方案
(3)6个
【分析】（1）根据题意，设每台A款净水器进价x元，则每台B款净水器进价元，列出方程求解即可；
（2）由题可知A款净水器购进a台，则B款净水器购进台，根据题意得求不等式的整数解即可；
（3）将（2）中个方案代入进行求解即可；
【详解】（1）解：设每台A款净水器进价x元，则每台B款净水器进价元．
，解得．
经检验是原分式方程的解．
∴．
答：A款净水器每台进价1200元，B款净水器每台进价1800元；
（2）∵A款净水器购进a台，∴B款净水器购进台．
根据题意得，
解得
∵a，都是正整数，
∴，44，41，38；，4，6，8．
∴商场共有四种进货方案；
（3）当A款净水器购进47台，B款净水器购进2台
（元）
400×6+0=2400（元）
A款净水器赠送6台，B款净水器赠送0台
两款净水器滤芯共赠送6个．
当A款净水器购进44台，B款净水器购进4台
（元）
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2550，故不符合题意；
当A款净水器购进41台，B款净水器购进6台
（元）
400×3+500×3=2700（元）
A款净水器赠送3台，B款净水器赠送3台
两款净水器滤芯共赠送6个．
当A款净水器购进38台，B款净水器购进8台
（元）
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2850，故不符合题意；
故两款净水器滤芯共赠送6个．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)存在，或
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
（1）由，可得，通过即可证明；
（2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：存在，
如图2，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
A
C
D
A
B
C