2025-2026学年北京市石景山区景山学校九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市石景山区景山学校九年级上学期10月月考数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．通常温度降到以下，纯净的水结冰
D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
3．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小值2B．最小值3C．最大值4D．最小值4
4．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为，则可列关于的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长，表盘的半径长为（ ）
A．3B．C．D．
8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为 ．
11．已知点和在二次函数的图象上．若，则符合条件的整数的个数为 ．
12．如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于 ．
13．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
14．小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：
随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米．
15．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论有 ．（填序号）
16．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：
18．已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值．
19．已知：如图，是的弦．
求作：上的点，使得．
作法：①连接并延长交于；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线交于点，，连接，．
所以，点，就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，．
，，
（______）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（______）（填推理的依据）．
．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕着点顺时针旋转后得到．
(1)请在图中画出；
(2)线段旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留）．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范围．
22．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
23．已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ．
24．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．求的半径和的长度．
25．在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）．
已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下：
(1)补全表格（结果保留小数点后两位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）；
②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）．
26．如图，抛物线与轴交于点A，B，与直线交于A，C两点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴，与直线交于点，作轴，与抛物线交于点，若，求的取值范围．
27．如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数．
(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”．
(1)已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”；
(2)若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；
(3)已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围．
掷石子的总次数
50
100
200
500
…
石子落在图形内的次数
15
43
80
201
…
石子落在阴影部分的次数
35
57
120
299
…
x
…
0
1
…
y
…
0
0
…
0
0.4
0.8
1.2
1.6
1.8
2.0
0
0.60
1.20
1.80
2.40
3.00
0
1.60
2.20
2.42
2.51
2.52
2.53
《北京景山学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查随机事件，掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8是不可能事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、通常温度降到以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；
D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
判断出二次函数开口向上，有最小值，在顶点处取最小值．
【详解】解：∵，
∴函数图象开口向上，
∴二次函数，有最小值4．
故A，B，C错误，D正确．
故选：D
4．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意及一元二次方程增长率问题列出方程即可．
【详解】解：根据题意列出方程为，
故选：C．
6．A
【分析】根据题意可知阴影部分的面积为正方形的面积减去四个四分之一圆的面积求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆的面积，正方形面积，解题关键是准确识图，构造等面积转化．
7．B
【分析】设钟表的中心为点，连接，，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可详解．
【详解】解：设钟表的中心为点，连接，，
由题意得：
点在上，，
，
与相切于点，
，
，
表盘的半径长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为，
故答案为：．
10．50°
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°，
又∠DCE＋∠DCB＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝50°，
故答案为50°．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
11．
【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出或，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵点，在二次函数的图象上．且，
∴，则
则符合条件的整数的个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
12．5
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵分别切于A、C两点，
∴，
同理可得：，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
13．（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
14． 0.4
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4；
故答案为：0.4；
（2）∵圆的半径为1米，
∴它的面积为，
∵石子落在图形内的概率为，
∴估计图形的面积为平方米，
故答案为：．
15．③④/④③
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据其开口向下，对称轴为，图象过点，可知，，，推出，判断③；根据，，可判断，，从而可判断①；根据图象的对称性，可判定图象与轴的另一个交点为，从而判断④，将，，代入，可得到，从而判断②，最后得出答案．
【详解】解：根据图象，可知其开口向下，对称轴为，图象过点，
，，，
，即，故③正确；
，，
，即，
，
，故①错误；
对称轴为，图象过点，
图象与轴的另一个交点为，
当时，．故④正确；
，，
，
，
，
即，故②错误；
综上，正确的结论为③④；
故答案为：③④．
16．
【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解
【详解】解：如图，连接．
由题意得，
，
当的值最大时，的值最大，
，
,
,
当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为，
的最大值为．
故答案为：．
17．x1=1+，x2=1-
【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】解：方程变形得：x2-2x=-
配方得：x2-2x+1=
即（x-1）2=，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-
考点：解一元二次方程-配方法．
18．4
【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
∵是关于x的方程的一个根，
∴．
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解．
19．(1)见解析
(2)三线合一，圆周角定理
【分析】此题考查了尺规作图，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题干中的作图方法作图即可；
（2）首先由三线合一得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，点，即为所求．
（2）证明：连接，．
，，
（三线合一）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（圆周角定理）（填推理的依据）．
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积公式．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）找出绕点顺时针旋转后各顶点的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据勾股定理可求出的长，再根据线段旋转过程中所扫过的面积即为扇形的面积，结合扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：由图可知线段旋转过程中所扫过的面积即为扇形的面积，且圆心角为，半径长为长．
∵，，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用公式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根小于3 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴原方程有两个实数根
（2）解：
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根小于3 ， 找出关于的一元一次不等式
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；
（2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】证明：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键．
23．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，可利用待定系数法，将点的坐标代入解析式，即可求该二次函数解析式；
（2）根据二次函数的图像和性质，利用函数值等于的两点得横坐标，即可求解；
（3）根据题意，关于x的一元二次方程 有实根，等价于二次函数与直线有交点，故可求得时，函数值得范围，即是参数t的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，二次函数的图像过点和 ，
所以可设二次函数的解析式为，
将代入得，
解得，
所以二次函数的解析式为；
（2）由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值，
故该二次函数开口向上，对称轴为直线，
又函数图像过点，
所以当时，或；
（3）由（1）知，函数解析式为，
所以当时，，
又函数图像开口向上，过点，对称轴为直线，
故该二次函数在时，随的增大而减小；
在时，随的增大而增大；
所以当时，函数取得最小值，
所以当时，关于x的一元二次方程 有实根，
即二次函数与直线有交点，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，含参数的一元二次方程有实根转化成函数图像与直线的交点问题，熟练掌握二次函数的定义，图像和性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)的半径为4，
【分析】（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明；
（2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
；
又，
，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，，，
在中，，
，解得，
则，
作于，如图，
则，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、二次根式的性质等知识点，熟练以上知识点是解题的关键．
25．(1)补全表格见解析
(2)图见解析
(3)①0.7；②．
【详解】（1）解：观察表格可知：为定值，
∴当时，；
补全表格如下：
故答案为：2.70
（2）根据表格数据描点，连线，画图如下：
（3）①由图象可知：当时，，
当时，，
∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为；
故答案为：；
②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢，
∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大，
∵，且，
∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差；
故答案为：．
26．(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与不等式综合.
（1）先求得点的坐标，进而由待定系数法即可求解；
（2）当且，则，且，即可求解；当且，同理可解.
【详解】（1）抛物线与轴交于点，，抛物线与直线交于，两点，则点，
则，
解得：
所以抛物线的表达式为：；
（2）点，
当时，即，则，即点，
则，
当时，，即点，
则，
当且，即
则，且，
解得：，
即；
当且，即
则，且，
解得：，
即；
综上，或．
27．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解；
（）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证．
【详解】（1）解：在上取点，使得，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：．
证明：延长与交于点，连接，，，
∵，，是中点，
∴，，，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，，，，由正切函数知，，则可得是弦的“伴随点”；点则不是弦的“伴随点”；
（2）连接，过点O作于点F，过点B作于点E，由题意易得，则可得；在中，，根据的取值范围可求得的取值范围；
（3）当分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，连接，则可得，得伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，显然当线段位于直线与直线间时满足题意，从而求得m的取值范围；由对称性，求得分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围，从而得到结果．
【详解】（1）解：∵点，，
∴由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，且，，
∵点A的坐标为，B的坐标为，
∴，
在中，，则；
同理得，，
∵，且是圆的切线，
∴是弦的“伴随点”，而点则不是弦的“伴随点”；
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过点O作于点F，过点B作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵点D为弦的“α伴随点”，
∴，，
∴，
当点在的右边，根据三角形外角的性质可得，，当点在的左边，根据三角形内角和定理可得，，
∵存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，
∴；
（3）解：如图，当分别在y轴正半轴，x轴正半轴上时，连接，
∵，，
∴，；
∵点C为弦的“伴随点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得：，
则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；
设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，则，，
当与重合时，把点D坐标代入，即；
∵直线，且与圆相切，，
∴点O到切线的距离为，，
∴，
∴，即；
当线段与直线重合时，把点H的坐标代入，即；
当线段位于直线与直线间时满足题意，此时；
由对称性，当分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为；
综上，m的取值范围为：或．
【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
D
A
C
A
B
C


0
0.4
0.8
1.2
1.6
1.8
2.0
0
0.60
1.20
1.80
2.40
2.70
3.00
0
1.60
2.20
2.42
2.51
2.52
2.53