山东省德州市2026届高三上学期开学考试数学试题（学生版）

这是一份山东省德州市2026届高三上学期开学考试数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知向量，，若，则（ ）．
A. B. C. 2D. 4
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D.
5. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ）
A. 93.5B. 94.1
C. 94.7D. 95.5
6. 某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点A，若线段的中点在上，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ，互斥B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为2
B. 的定义域是
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增
10. 在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（ ）
A. 平面B. ∥平面
C. 平面平面D. 平面∥平面
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ）
A. 直线的斜率为B. 的离心率为2
C. 到上最近点的距离为D.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______．
13. 已知，函数，若，则________．
14. 有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤．
15. 已知等差数列满足，．
（1）求；
（2）求数列的前2n项和．
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求A；
（2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．
17. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
18. 如图，在直三棱柱中，为边长为2的正三角形，，为的中点，点在棱上，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值．
19. 过点作抛物线：的两条切线，切点分别为．
（1）若，求；
（2）求证：直线过定点（与的取值无关）；
（3）记的焦点为，求证：．