2025-2026学年北京市东城区第五十五中学八年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市东城区第五十五中学八年级上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．如图，过的顶点，作边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A．B．C．或D．或
5．根据下列已知条件，不能唯一画出的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）

A．40°B．50°C．80°D．100°
7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的底边长为( )
A．B．C．或D．或
8．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，中，，于，则图中共有 个直角三角形．
10．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使，再过点D画出的垂线，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段 即可．

11．三角形三条中线的交点是三角形的重心，这个命题的逆命题是 ．
12．如图，BE与CD交于点A,且∠C ＝∠D．添加一个条件： ，使得△ABC ≌△AED .
13．如图，在中，平分若则 ．
14．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝ .

15．如下图所示，在等边中，是边的中点，于，是上的动点，若，则的最小值为 ．
16．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为 ．

三、解答题
17．已知如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD,,求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，4)、C(4，2)．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使B1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P(a，b)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为_______．
19．如图，在中，平分交于点，是边上的高，与相交于点，且，求的度数．
20．尺规作图：“经过直线外一点作这条直线的平行线”．
已知：直线l和l外一点P
求作：过点P作直线l的平行线．（至少用两种方法）
21．如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
22．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F．
（1）求证：OD=OC；
（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
23．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）
（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足．
(1)求a，b的值：
(2)以AB为边作，点C在直线AB的右侧且，求点C的坐标；
(3)若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作交x于点F．
①求证；
②直接写出点C到DE的距离．
《北京市第五十五中学2025--2026学年上学期八年级数学10月考试卷》参考答案
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义和图案特点即可解答．
【详解】A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，解题关键在于掌握其定义和识别图形.
2．D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
【详解】如图所示：
从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
3．A
【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，可知边上的高线经过点且垂直，进行判断即可．
【详解】解：边上的高满足两个条件：①经过点．②垂直；
故选：A．
4．C
【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解．
【详解】解：当为顶角时，底角的度数即为，
当为底角时，底角的度数，
综上所述，它的底角是或，
故选：C．
5．D
【分析】根据三角形全等的判定方法判断处理．
【详解】解：A. ，，，根据知，三角形唯一；
B. ，，，根据知，三角形唯一；
C. ，，，根据知，三角形唯一；
D. ，，，结合全等三角形的判定方法知，三角形不唯一；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握相关判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．
【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE
∴∠BEC=40°+40°=80°．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．B
【分析】分已知边是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】解：是腰长时，底边为，
∵，
∴、、不能组成三角形；
是底边时，腰长为，
、、能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
8．B
【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．
9．3
【分析】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理．
根据直角三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴直角三角形有，共3个直角三角形．
故答案为：3．
10．/
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：利用，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明，
故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键．
11．三角形的重心是三角形三条中线的交点
【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：这个命题：三角形三条中线的交点是三角形的重心，
故它的逆命题是三角形的重心是三角形三条中线的交点，
故答案为：三角形的重心是三角形三条中线的交点，
12．AC＝AD
【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定△ABC ≌△AED．
【详解】∵∠C ＝∠D，∠BAC=∠EAD，
∴当AC=AD时，依据ASA可得，△ABC≌△AED．
故答案为：AC=AD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
13．1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
14．56°；
【分析】由已知可知从而有∠CAB=∠3,然后根据三角形的外角定理可得解．
【详解】∵ 在和中，
AC＝AD，CB＝DB，AB=AB,
∴
∴∠CAB=∠3=26°,
∴∠CBE＝∠CAB+∠2 =26°＋30°＝56°．
故答案为56°．
【点睛】本题考查三角形全等判定和性质的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∵点关于的对称点为点，
∴就是的最小值．
∵是等边三角形，是边的中点，
∴是的中点，
∴是的中线，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
16．或
【分析】作CD⊥BE,根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当CE∥AB时; 当CE与AB不平行时.
【详解】
因为点A（4，3），点C（5，3），
所以AC∥OB
如图，当CE∥AB时，由平移性质可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE
当CE与AB不平行时，作CD⊥BE,则四边形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根据等腰三角形性质得DE’=DE=1,BE’=3；
所以E’（6,0）
故E的坐标是或
故答案为：或
【点睛】考核知识点：矩形性质，等腰三角形性质，平移性质.根据题意画出相关情况是关键.
17．见解析
【分析】首先利用SAS证明△ABF≌△DCF，根据全等三角形，对应边相等，可得到结论BF=DE．
【详解】证明：∵AB∥CD, ∴∠A=∠C,
∵AE=CF，
∴AE+EF=FC+EF．
即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE．
∴BF=DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，这是一种经常用、很重要的方法，要注意掌握．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）关于y轴对称可知，对应点纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可作出；
（2）由移动到原点O的位置可知，对应点向右平移了3个单位，向下平移了4个单位，由此可作出；
（3）根据两次变换可知，点P先关于y轴对称，再进行平移，即先纵坐标不变，横坐标互为相反数，再向右平移了3个单位，最后向下平移了4个单位，即可得到的坐标．
【详解】
（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作；
（3）点关于y轴对称得，
向右平移3个单位，再向下平移4个单位得．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移与轴对称变换，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．
19．
【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．根据是边上的高，可得，结合平分，，可得，即可得，根据对顶角性质即可得出的度数．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
20．见解析；
【分析】本题考查平行线作图，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：方法一：在直线上任取两点，作直线，在直线的同侧，作，然后过点P、E即可作出直线．如图，直线即为所求．
方法二：在直线上任取一点A，连接并延长；以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和线段于点B，C，以点P为圆心，以长度为半径画弧，交线段于点D，以D为圆心，以长度为半径画弧，与上一圆弧交于点E，作直线，即为直线m，所以直线m即为所求.
21．（1）证明见解析；（2）互相垂直，证明见解析
【分析】（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
△ACD和△ABE中，
∵
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD=AE．
（2）猜想：OA⊥BC．
证明：连接OA、BC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．
∴∠DAO=∠EAO，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC．
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF．
【分析】（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系．
【详解】证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【点睛】本题考查了特殊的直角三角形，三角形全等的判定，垂直平分线等知识，综合性强，中等难度．读图能力是解题关键．
23．（1）见解析；（2）；（3），证明见解析
【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；
（2）先判断出，再表示出∠BAF，即可得出结论；
（3）先判断出是直角三角形，结合是等边三角形，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）连接．
由题意可知，，
∴
∵，
∴
∴
∴，即
（3），
证明：∵是等边三角形，
∴，
由（2）可知
∴
点B关于直线CF的对称点为点E
∴，
∴．
∵
∴是直角三角形，且．
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCF是直角三角形是解本题的关键．
24．(1)，
(2)或
(3)①见解析；②1
【分析】（1）根据，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点的坐标；
（3）①过点作轴于点，则，根据可证明，得出，根据可证明 ≌，得出，则结论得证；②过点作于点，过点作于点，根据可证明≌，可得，由角平分线的性质可得．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，；
（2）由（1）知，，
，，
，，
是直角三角形，且，
只有或，
Ⅰ、当时，如图1，
，
，
过点作于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
Ⅱ、当时，如图2，
同Ⅰ的方法得，；
即：满足条件的点或；
（3）①如图3，由（2）知点，
过点作轴于点，则，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
②点到的距离为1．
如图4，过点作于点，过点作于点，
由①知，
，
，
，，
，
，
≌，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
D
A
C
D
C
B
B