安徽省江淮名校阶段联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份安徽省江淮名校阶段联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了 已知实数， “， 已知集合， 下列结论中正确的是（， 已知，等内容，欢迎下载使用。
考⽣注意：
本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，考⽣务必⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔将密封线内项⽬填写清楚.
考⽣作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每⼩题选出答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效.
本卷命题范围：⼈教 A 版必修第⼀册第⼀章⼀第⼆章第 2 节.
⼀､选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1.
已知集合
，集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2.
命题 p：，
的否定为（）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
3.
已知集合
，
，则集合
的⼦集个数为（）
A. 4
4. 已知实数
， ，
B. 8
，满⾜
C. 10
，则下列结论正确的是（
D. 16
）
A.
5. “
”是“
B.
”的（
C.D.
）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
B.
D.
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
6. 已知集合
或
，
，且，则的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
或

为了增强公司的凝聚⼒，某公司举⾏⽻⽑球、乒乓球、⽹球三项⽐赛，共有名员⼯参赛，其中参加⽻
⽑球⽐赛的有名，参加乒乓球⽐赛的有名，参加⽹球⽐赛的有名，同时参加⽻⽑球、乒乓球⽐赛的有名，同时参加乒乓球、⽹球⽐赛的有名，同时参加⽻⽑球、⽹球⽐赛的有名，则这三项⽐赛都参加的员⼯⼈数是（ ）
A.B. C. D.
已知实数，则（ ）
A. 有最⼩值 2B. 有最⼤值 2
C. 有最⼩值 6D. ⽆最⼩值
9. 下列结论中正确的是（
）
A.
B.
C.
下列结论正确的是（
当时，
）
B. 当时，
⼆､多选题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
D.
C. 的最⼩值为 2D. 的最⼩值为 2
已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
中最⼤的元素不超过 1
中最⼩的元素可以⼩于
若集合中只有⼀个元素，则或
若集合中有两个元素，则
三､填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
若，则 M 与 N 的⼤⼩关系为.
如图，坐标系中矩形及其内部 点构成的集合可表示为.
若，则.
四､解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂宇说明､证明过程或演算步骤.
已知集合，.
（1）求；
（2）求.
已知集合，．
若成⽴⼀个必要条件是，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
已知，，；，使得.
若是真命题，求最⼤值；
若 p，q ⼀个为真命题，⼀个为假命题，求取值范围.
为宣传 2023 年杭州亚运会，某公益⼴告公司拟在⼀张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等⾼的宣传栏（栏⾯分别为两个等腰三⻆形和两个全等的直⻆三⻆形且），宣传栏（图中阴影部分）的⾯积之和为.为了美观，要求海报上所有⽔平⽅向和竖直⽅向的留空宽度均为10cm（宣
传栏中相邻两个三⻆形板块间在⽔平⽅向上的留空宽度也都是 10cm），设.
当时，求海报纸（矩形）的周⻓；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺⼨，可使⽤纸量最少（即矩形的⾯积最⼩）？
问题：已知、 、 均为正实数，且，求证：.

证明：，当且仅
当时，等号成⽴.学习上述解法并解决下列问题：
已知、、 均为正实数，且，求最⼩值；
已知、、、均为正实数，且，求证：；
求的最⼩值，并求出使得取得最⼩值时 的值.

2025~2026 学年上学期⾼⼀年级阶段联考数学
考⽣注意：
本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，考⽣务必⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔将密封线内项⽬填写清楚.
考⽣作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每⼩题选出答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效.
本卷命题范围：⼈教 A 版必修第⼀册第⼀章⼀第⼆章第 2 节.
⼀､选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1. 已知集合
，集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析】先求出集合 A，再根据并集定义计算即可.
【详解】因为
,所以
.
故选：D.
2. 命题 p：
，
的否定为（
）
A. ，
B.
，
C.，
D.
，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可直接得到结果.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题 p：，的否定为:

，.
故选：D.
已知集合，，则集合的⼦集个数为（）
A. 4B. 8C. 10D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，即可求出⼦集个数.
【详解】由题意，，故其⼦集的个数为.
故选：D
已知实数，， ，满⾜，则下列结论正确的是（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A，，则，所以，故A 正确；对B，不妨设，则，故B 错误；
对C，不妨设，则，故C 错误；
对D，不妨设，则，故D 错误；故选：A
“”是“”的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由，得且，所以“”可以得到“”；
由，得，所以“”不能得到“”.

【答案】B
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为集合或，，且，分以下⼏种情况讨论：
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
为了增强公司的凝聚⼒，某公司举⾏⽻⽑球、乒乓球、⽹球三项⽐赛，共有名员⼯参赛，其中参加⽻
⽑球⽐赛的有名，参加乒乓球⽐赛的有名，参加⽹球⽐赛的有名，同时参加⽻⽑球、乒乓球⽐赛
【分析】设参加⽻⽑球、乒乓球、⽹球⽐赛的员⼯分别构成集合、、 ，设这三项⽐赛都参加的员⼯
所以“
故选：A
”是“
”的充分不必要条件.
已知集合
或，
B.
，且
，则的取值范围是（）
C.
D.
或
（1）当
（2）当
时，
时，
，合乎题意；
，则
，
因为
（3）当因为
时，解得
时，
，解得
；
.
，则
，
的有名，同时参加乒乓球、⽹球⽐赛的有
都参加的员⼯⼈数是（）
名，同时参加⽻⽑球、⽹球⽐赛的有
名，则这三项⽐赛
A.B.
【答案】B
C. D.
【解析】

⼈数为，作出⻙恩图，可得出关于实数的⽅程，解之即可.
【详解】设参加⽻⽑球、乒乓球、⽹球⽐赛的员⼯分别构成集合、、，设这三项⽐赛都参加的员⼯⼈数为，根据题意得出如下⻙恩图，
因为该公司共有名员⼯参加⽐赛，
则有，
即，解得，
因此，这三项⽐赛都参加员⼯⼈数是.
故选：B.
已知实数，则（）
有最⼩值 2B. 有最⼤值 2
C. 有最⼩值 6D. ⽆最⼩值
【答案】B
【解析】
【分析】对分式变形，利⽤均值不等式求导即可得解.
【详解】，
因为，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成⽴，故的最⼤值为 2.
故选：B.

⼆､多选题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列结论中正确的是（）
B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.
【详解】不含有任何元素，所以，故A 错误；
不含有任何元素，含有元素，所以，故B 错误； 是集合的⼀个元素，所以，故C 正确；
【答案】AB
【解析】
【分析】利⽤基本不等式，注意等号成⽴条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成⽴，故A 正确；当时，，
当且仅当时，即时等号成⽴，故B 正确；
空集是任何集合的⼦集，所以
故选：CD
10. 下列结论正确的是（）
，故D 正确.
A. 当时，
B. 当
时，
C.的最⼩值为 2
D.
的最⼩值为 2
当时，显然不成⽴，故C 错误；
因为，
中最⼤的元素不超过 1
中最⼩的元素可以⼩于
若集合中只有⼀个元素，则或
若集合中有两个元素，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，设为数集中最⼤的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断；对于B,设为数集中最⼩的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断；
对于C,设为数集中唯⼀的元素，可知也是数集的元素，则,解⽅程即可求解；对于D 举出也满⾜条件即可判断.
【详解】对于A，设为数集中最⼤的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素，则,解得：,所以数集中最⼤的元素不超过 1，故A 正确；
对于B,设为数集中最⼩的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素，则,即,解得或，
所以数集中最⼩的元素不⼩于，故B 不正确；
对于C,设为数集中唯⼀的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素
，则,解得：或,则或，故C 正确；
当且仅当
时等号成⽴，此时
⽆解，故取不到等号，故D 错误．
故选：AB
11. 已知有限数集
中的元素均为实数，且对任意
，都有，则下列结论正确的是（
）

,
对于D,设集合中有两个元素分别为，
当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时；当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满⾜条件,故D 不正确；
故选：AC
三､填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
若，则 M 与 N 的⼤⼩关系为.
【答案】
【解析】
【分析】作差法⽐较⼤⼩即可.
【详解】因为 ，
所以.
故答案为: .
如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为.
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的点构成的集合求解即可.
【详解】易知阴影部分的点构成的集合为.
故答案为：.
若，则.
【答案】
【解析】

【分析】依题意可得①或②，再求出参数的值，从⽽得解，需代⼊检验是否满⾜集合元素的互异性.
【详解】因为，所以①或②，
由①得或，其中与元素互异性⽭盾，舍去，故符合题意，此时；由②得 符合题意，此时；
综上，的值为.
故答案为：
四､解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分.解答应写出⽂宇说明､证明过程或演算步骤.
已知集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合并集定义运算即可求；
（2）据集合补集和交集定义运算即可.
【⼩问 1 详解】
由题可知
，
，
所以
【⼩问 2 详解】
因为
或
.
，
所以
.
16. 已知集合
，
．

若成⽴的⼀个必要条件是，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）成⽴⼀个必要条件是，则，求解即可；
（2）由，则或，求解即可.
【⼩问 1 详解】
因为集合，．若成⽴的⼀个必要条件是，所以，
则，所以，
若是真命题，求的最⼤值；
若 p，q ⼀个为真命题，⼀个为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，利⽤全称命题为真命题即可求得；
（2）先求出命题 q 为真时 a 的取值范围，进⽽分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应 a 的取值范围即可求解.
【⼩问 1 详解】
要使，为真命题，只需，即 的最⼤值为 1.
故实数的取值范围
.
【⼩问 2 详解】 若，则
所以或
，
或
，
故实数的取值范围
.
17. 已知，
，
；，使得.

【⼩问 2 详解】
若使，使得为真命题，则，解得.
①真假时，只需所以；
②假真时，只需所以，
所以或.
综上，的取值范围为或.
18. 为宣传 2023 年杭州亚运会，某公益⼴告公司拟在⼀张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等⾼的宣传栏（栏⾯分别为两个等腰三⻆形和两个全等的直⻆三⻆形且），宣传栏（图中阴影部分）的⾯积之和为.为了美观，要求海报上所有⽔平⽅向和竖直⽅向的留空宽度均为10cm（宣
传栏中相邻两个三⻆形板块间在⽔平⽅向上的留空宽度也都是 10cm），设.
当时，求海报纸（矩形）的周⻓；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺⼨，可使⽤纸量最少（即矩形的⾯积最⼩）？
【答案】（1）900cm
（2）选择⻓、宽分别为 350cm，140cm 的海报纸，可使⽤纸量最少
【解析】
【分析】（1）根据宣传栏的⾯积以及可计算出直⻆三⻆形的⾼，再根据留空宽度即可求得矩形的周⻓；
（2）根据阴影部分⾯积为定值，表示出矩形⾯积的表达式利⽤基本不等式即可求得⾯积的最⼩值，验证等号成⽴的条件即可得出对应的⻓和宽.
【⼩问 1 详解】
设阴影部分直⻆三⻆形的⾼为cm，
所以阴影部分的⾯积，所以，

⼜，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周⻓为cm.
故海报纸的周⻓为 900 cm.
【⼩问 2 详解】
由（1）知，，， ，当且仅当，即cm，cm 时等号成⽴，
此时，cm，cm.
故选择矩形的⻓、宽分别为 350 cm，140 cm 的海报纸，可使⽤纸量最少.
19. 问题：已知 、 、 均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅
当时，等号成⽴.学习上述解法并解决下列问题：
已知、、 均为正实数，且，求的最⼩值；
已知、、、均为正实数，且，求证：；
求的最⼩值，并求出使得取得最⼩值时 的值.
【答案】（1）
（2）证明⻅解析（3）当时，取最⼩值
【解析】
【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利⽤基本不等式可求得的最⼩值；
将代数式与相乘，展开后利⽤基本不等式可证得所证不等式成⽴；
分析可得，利⽤（2）中的结论可得出，可求得的最⼩值，结合

（2）中的结论可求得对应的 的值.
【⼩问 1 详解】
解：因为、、 均为正实数，且，则
，
当且仅当时，即当时，等号成⽴，
所以，的最⼩值为.
【⼩问 2 详解】
证明：因为、、、均为正实数，且，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成⽴，故
.
【⼩问 3 详解】
解：对于代数式
，有，可得
，
此时，
所以，
，
，则，

由（2）中的结论可得，可得，
当且仅当时，即当时，取最⼩值.
【点睛】易错点睛：利⽤基本不等式求最值时，要注意其必须满⾜的三个条件：
“ ⼀正” 就是各项必须为正数；
“ ⼆定” 就是要求和的最⼩值，必须把构成和的⼆项之积转化成定值；要求积的最⼤值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
“ 三相等” 是利⽤基本不等式求最值时，必须验证等号成⽴的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发⽣错误的地⽅.