山东省泰安肥城市2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题

这是一份山东省泰安肥城市2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题，共8页。试卷主要包含了 如图，为正方体，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的虚部是
A． B． C． D．
2. 设全集，，则集合等于
A． B． C． D．
3. 已知双曲线的实半轴长为，焦距为，则的离心率为
A． B． C． D．
4. 已知是函数的一个零点，则的最小值为
A． B． C． D．
5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A． B． C． D．
6. 如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
7. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
8. 已知，则，，的大小关系不可能为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
9. 如图，为正方体，则
A．// 平面 B．
C．平面 D．异面直线与所成的角为
10. 斜率为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，，直线，的斜率分别为，. 设直线与轴交于点，过作的平行线交于点，则
A. B.
C. ､､､四点共圆 D. 面积的最大值为4
11. 已知的面积为，若，，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线是曲线的切线，则 ▲ .
13. 设等比数列的前项和为，则的公比 ▲ .
14. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求，；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？
（3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，给出的估计值，并根据求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望.
附：
16. （15分）
已知数列中，，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）给定正整数，设函数，求.
17. （15分）
在直三棱柱中，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，且，，，均在球的球面上.
（i）证明：点在平面内；
（ii）求直线与平面所成角的大小.
18. （17分）
已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且
求的方程；
过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，
过且平行于的直线与直线交于点.
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）证明：存在定点，使得.
19. （17分）
（1）当时，证明：；
（2）已知函数，. 记：，使得对，都有；：，使得对，都有.
（ⅰ）证明：是的充要条件；
（ⅱ）若成立，求实数的取值范围. 对新能源汽车的认可度
合计
认可
不认可
南方消费者
150
150
300
北方消费者
75
125
合计
225
500
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828