山东省泰安肥城市2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题(含解析)含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 答案：B
解析：，虚部是1 .
2. 答案：C
解析：因为，所以.
3. 答案：C
解析：因为，所以.
4. 答案：A
解析：令，得，所以.
5. 答案：D
解析：,故选D .
6. 答案：B
解析：设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为，由已知可得，，，
所以，.
7. 答案：A
解析：由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，
所以 ， ，解得 .
8. 答案：D
解析：设，则
当时，，选项A正确；
当时，，，，所以
，
，由此可得，选项B正确；
当时，同理可得，选项C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 答案：AC
解析：因为//，所以// 平面，选项A正确；而平面，所以选项C正确，选项B错误；异面直线与所成的角为45°，所以选项D错误.
10.答案：ABD
解析：对于A，设，则，由得，
直线 AB 的斜率，故直线AB 的方程为，
令，解得 ，故 ，所以 ，选项A正确；
对于B，，选项B正确；
对于C，取 ，则 ，故 ，， ，
则确定的圆方程为 ，
因为，故､､､四点不共圆，选项C错误；
对于D，过作的平行线，该方程为 ，与 联立，
解得：，故的面积，
因为，故将 代入上式并化简得 ，
不妨设，则，当且仅当时等号成立，此时，
故面积的最大值为 4 ，选项D正确；故选：ABD.
11. 答案：ACD
解析：由，及、
得，结合，化简得，即，由此可得
，所以A正确. 又由题设得，即，再由正、余弦定理得，化简得. 结合选项A可以判断是等腰直角三角形，，. 所以结合条件得.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 或 14.
12. 答案：
解析：设切点是，则，，所以切线方程是
，即，所以
，解得，.
13. 答案：或
解析：由可知，所以，
两式相除，整理得，解得，所以或.
14. 答案：
解析：设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，则.
所以，
故.
四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
解：（1）由列联表得 ……………………………………………………1分
……………………………………………………2分
（2） …………………………………………4分
由于所以根据小概率值的独立性检验，可以认为南、北消费者对新能源汽车的认可度有差异. ……………………………………………………6分
（3）南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为
因此的估计值分别为 ……………………………………………………8分
4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数
则
故的分布列为：
……………………………………………………12分
故 ……………………13分
16. （15分）
解：（1）证明：由已知可得：即 ………………………3分
所以是以为首项，1为公差的等差数列. ……………………………………5分
（2）由（1）得：所以 ………………………7分
故，
可得，
所以，……………………10分
所以
………………………………………………13分
所以. ………………………………………………15分
17. （15分）
解：（1）由已知，平面，平面，故.……………2分
又，，平面，平面，
故平面. ……………………………………………………4分
因为平面，所以平面平面.…………………………5分
A
B
C
P
A1
B1
C1
x
y
z
（2）（i）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，. 设，，因为，所以

解得
故点在平面内. ……………………………………………………10分
（ii）由（i）可得，，，，.
设是平面的法向量，则 即可取.
……………………………………………………12分
则， ……………………………………………………14分
故直线与平面所成角的大小为. ……………………………………………15分
18. （17分）
解：（1）设，则 …………………………………………1分
设的短半轴为，则.
又由得. ……………………………………………3分
所以的方程为 ……………………………………………………4分
（2）（ⅰ）因为共线，且的横坐标分别为故若，则
的横坐标为，所以.不妨设在第一象限，由得
即.
设，则由几何关系可知故,直线的斜率
设直线与轴的交点为，则又，所以 ……………………………………………………7分
又因为//，，故所以，
故 ……………………………………………………9分
（ⅱ）由（ⅰ）猜想平分角因为，故直线的方程可设为，不妨设，与的方程联立有，
整理有. …………………………………………10分
设，，则
故 …………………………………………………11分
当斜率不存在时，由（ⅰ）可知 …………………………………12分
当时，斜率存在，
且故此时也有即
……………………………………………………14分
因为//，故.
又，故
设关于直线的对称点为，则，取，则，易知
∽，故，故∽，故
所以存在定点，使得.……………………17分
19. （17分）
解：（1）令，，则，………………………2分
所以在上单调递减，所以，即.
…………………………………………5分
（2）（i）必要性：若成立，即存在，使得对任意，都有，则对任意，，即成立. ……………………………………7分
充分性：若成立，即存在，使得对任意，都有.
当时，有；当时，有；
当时，，由，
知是奇函数.所以.
于是对任意，都有，即成立. …………………………………10分
（ii）由（i）知，只需考虑成立，即存在，使得对任意，都有，等价于. …………………………………………………………11分
令，，
则需，在上恒成立.
不妨取，即，在上恒成立.
由，得，，则
①当时，，符合题意；
②当时，，在上单调递增，故符合题意；
③当时，令，则，在上单调递增；
若，即，则，在上单调递增，同②符合题意；
若，即，由，知存在，使得.
当时，，在上单调递减，故，不符合题意.
于是. …………………………………………14分
2°由，得，，
令，，
①当时，由（1）可知
，符合题意.
②当时，，在上单调递减，
若，即，则，在上单调递减，故，符合题意；
若，即，由，知存在，使得，当时，，在上单调递增，故，不符合题意.
于是. …………………………………………16分
综上，实数的取值范围为. …………………………………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
A
D
B
A
D
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
ACD
0
1
2
3
4