湖北省腾云联盟2026届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

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三、填空题
12．80 13． 14．
四、解答题
15．（1）由题意知，的前项和，
当时，，
当时，，
经检验，满足，
的通项公式为；分
（2）证：，
，
分
16.（1）设过点的切线与圆相切于点，过点的切线与圆相切于点，
由切线长相等得，，，
那么．
由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，
故点的轨迹方程为．分
（2）由题意知直线MN的斜率存在且不为0，故设直线MN：，，由，可得，，故，解得，
故直线MN的斜率为分
17．（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面分
（2）（i）解法1（坐标法）：在四边形中，因为，，，
故,
又，，所以
则，所以，结合，则，
以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
平面PAC的一个法向量为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为分
解法2（几何法）：在四边形中，因为，，，
故；
又，，所以
则，所以，又因为平面ABCD，所以，故,所以,
过D作于点M，连接M,N,因为平面ABCD，,所以,又，PA与AC相交，则，则即为与平面所成角,所以,分
（ii）解：由（1）知平面，平面，故，
因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等，故PB为外接球直径，则球心O为PB的中点.
解法1设,
,
PB为外接球直径，且Q在球的表面上
，，
，，得，所以，.
解法2设,
由，得，
，解得或
由于点Q异于点P，所以舍去，
所以，进一步可得分
18.（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以．
所以，，
，.
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. 分
（ii）分
（2）表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为.
所以
.
所以，
所以当时，，当时，，当时，，分
19．【详解】（1）证明：注意到，
分
(2)因为直线与函数和的图象共有三个交点，
在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，
所以直线与函数有两个交点，
因为为偶函数且在上单调递增，，当且仅当时，等号成立，
所以，即，，解得，
所以，则，分
（3）方法1 证明：，
，
，
，
，
，
令，则且，
即证，
令，
因为，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
即在单调递增，且，
所以时，，时，，
即在且时恒成立，
故．
方法2 注意到为奇函数，为偶函数，
则与都为偶函数，
则要证，只需证当时，即可。
当时即证
令（），由于，所以因为，则，，则，所以在单调递增，则，所以分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
B
D
D
B
C
B
BD
ACD
ABD
0
1
2
3