2025-2026学年贵州省贵阳市清华中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年贵州省贵阳市清华中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知实数，满足，则复数的模为( )
A. B. C. D.
3.奇函数满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
4.某同学测得连续天的最低气温分别为，，，，，，单位，若这组数据的平均数是中位数的倍，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，，，，是正弦函数图象上的四个点，且在，两点处的函数值最大，在，两点处的函数值最小，则( )
A. B. C. D.
6.设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过坐标原点的直线与圆相切，且直线与抛物线：交于点，，若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内有两个不同的零点，则的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.二项式的展开式中含的项的系数是，则下列说法正确的是( )
A. B. 展开式中含的项的系数是
C. 展开式中一定有含的项D. 展开式中的常数项是
10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则有( )
A.
B. 过原点的切线有两条
C. 和都是的极大值点
D. 当时，必有
11.如图所示，在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于的等腰直角三角形，为母线的中点，点为底面上的动点，且，点在直线上的射影为，当点运动时，则有( )
A. 三棱锥体积的最大值为
B. 直线与直线不可能垂直
C. 点的轨迹长度为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知夹角为的非零向量、满足，且，则______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若，，，则椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若数列是公差为的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为．
求数列，的通项公式；
设，记数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，且平面，为线段上一点，且平面将四棱锥分成体积比为：的两部分．
求证：平面平面；
Ⅱ若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动．
Ⅰ为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
Ⅱ某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
求，；
证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小、
附：．
18.本小题分
已知，分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ设过的直线与双曲线交于，两点与、不重合，记直线，的斜率为，，证明：为定值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程．
记，若有两个零点．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：数列是公差为的等差数列，
由得，
，
点在函数的图象上，
；
证明：显然数列为等比数列，首项为，公比为，
则，
，



．
16.(I)证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴VP−ABDE：VP−CDE=3：1，
即SABDE：S△CDE=3：1，
∴E为BC的中点，由AB=2，AD=4，得AB=BE，
又ABCD是矩形，则∠AEB=45°，
同理∠DEC=45°，∴∠DEA=90°，
则DE⊥AE，PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，
∴PA⊥DE，而PA∩AE=A，DE⊥平面PAE，由DE⊂平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAE．
(Ⅱ)依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，
∵AB=2，又PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA即为PB与平面ABCD所成角的平面角，故∠PBA=π3，
∴PA=2 3，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，E(2,2,0)，P(0,0,2 3)，
由(1)知：平面PAE的一个法向量DE=(1,−1,0)，
设m=(x,y,z)是平面PBE的一个法向量，而PE=(2,2,−2 3)，BE=(0,2,0)，
∴m⋅PE=2x+2y−2 3z=0m⋅BE=2y=0，取z=1，则x= 3，
故m=( 3,0,1)，
∴cs〈m,DE〉=m⋅DE|m||DE|= 3 2×2= 64，
由图知，二面角B−PE−A为锐角，
故二面角B−PE−A的余弦值为 64．
17.(Ⅰ)假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
χ2=200×(60×80−20×40)280×120×100×100≈33.3>10.828，
根据小概率值α=0.00的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
(Ⅱ)①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
故第三次传给甲的概率为13，故P2=0，P3=13．
②第n次触球者是甲的概率记为Pn，
则当n≥2时，第n−1次触球者是甲的概率为Pn−1，第n−1次触球者不是甲的概率为1−Pn−1，
则Pn=Pn−1⋅0+(1−Pn−1)⋅13=13(1−Pn−1)，
可得Pn−14=−13(Pn−1−14)，且P1−14=34≠0，
所以{Pn−14}是以34为首项，公比为−13的等比数列；
可得Pn−14=34×(−13)n−1，所以Pn=34×(−13)n−1+14，
则P19=34×(−13)18+14>14，P20=34×(−13)19+140，且3m2−4≠0，可得m2≠43恒成立，
且y1+y2=−24m3m2−4，y1y2=363m2−4，可得my1y2=−32(y1+y2)，
所以k1k2=y1x1+2⋅x2−2y2=y1(my2+2)y2(my1+6)=my1y2+2y1my1y2+6y2=−32(y1+y2)+2y1−32(y1+y2)+6y2=y1−3y2−3(y1−y2)=−13为定值．
19.(1)当a=1时，f(x)=e2x−x，可得导函数f′(x)=2e2x−1，
那么f′(0)=2−1=1，且f(0)=1，
因此y=f(x)在x=0处的切线方程为y−1=1×(x−0)，即y=x+1．
(2)(i)由ℎ(x)=f(x)−g(x)=ae2x−x−(2−a)ex，则ℎ(x)定义域为R，
且ℎ′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
当a≤0时，aex−10，可得导函数ℎ′(x)0时，令导函数ℎ′(x)=0，可得aex−1=0，解得x=−lna，
当x∈(−lna,+∞)时，ℎ′(x)>0，当x∈(−∞,−lna)时，ℎ′(x)0)，要满足题意，那么只需φ(a)0，因此φ(a)在(0,+∞)上单调递增，且φ(1)=0，
所以a∈(0,1)．
(ii)证明：由(i)可得ℎ(ln3a)=9a+3−6a−ln3a=3a−ln3a+3，
令τ(x)=x−lnx+3(x>3)，可得τ′(x)=x−1x，
当x>3时，τ′(x)>0，所以τ(x)在(3,+∞)上单调递增．
所以τ(x)>τ(3)=6−ln3>0，即ℎ(ln3a)>0，得证．喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
女性
合计