2025-2026学年湖南省长沙市望城六中高三（上）10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市望城六中高三（上）10月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,4}，B={2,3,4,5}，则下列错误的是( )
A. ∁UA⊆BB. (∁UA)∩(∁UB)≠⌀
C. A∪B=UD. (A∩B)⊆(A∪B)
2.设z=1+i1−i+i2，则z+z−=( )
A. 4B. 2C. −2D. −4
3.已知向量a和b满足|a|=4，|b|=2，向量a−b在向量a上的投影向量为34a，则|a−b|=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
4.已知2sinαcsα=cs2β，cs2α=cs2(β+π4)，则tan(α−β)=( )
A. 1B. 2C. 2D. 22
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 8 33πC. 163πD. 563π
6.已知函数f(x+2)=lg3(3x+3−x)，若f(a−1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2]B. [−2,43]
C. (−∞,−2]∪[0,+∞)D. (−∞,−2]∪[43,+∞)
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=30°，且2sinBsinC+sinB+2cs2B=2，则bc的值为( )
A. 4− 32B. 4− 33C. 32D. 34
8.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)−f(−x)=x(ex+e−x)，且在(0,+∞)上有f′(x)+x−1ex2+a+lna．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.A
6.B
7.B
8.A
9.BC
10.ABD
11.AC
12.3
13.(−∞,e24)
14.8
15.
16.(1)证明：∵DC=2,AD=2 2，M为BC的中点，
∴ADAB=ABAM= 2，
∵四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴∠DAB=∠MBA=π2，
∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA=∠AMB，
而∠MBD+∠DBA=π2，即∠MBD+∠ANB=π2⇒AM⊥DB，
∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，
∴PD⊥AM，而DB∩PB=B，DB，PB⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD；(6分)
(2)解：∵PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，
∵四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴AD⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)
D(0,0,0),P(0,0,2),A(2 2,0,0),M( 2,2,0)，(1分)
∵PD⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量为DP=(0,0,2)，(1分)
设n=(x,y,z)为平面APM的法向量，PA=(2 2,0,−2)，MA=( 2,−2,0)，
于是有n⊥PAn⊥MA，可得n⋅PA=0n⋅MA=0，即2 2x−2z=0 2x−2y=0，
取y=1，则平面APM的法向量n=( 2,1,2)，(1分)
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为|DP⋅n||DP|⋅|n|=2×22× ( 2)2+12+22=27 (2分)
17.

18.解：(1)双曲线C中心为原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5，
则c2=a2+b2c=2 5c2=a2+b2，解得a=2b=4，
故双曲线C的方程为x24−y216=1；
(2)证明：过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my−4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1(−2,0)，A2(2,0)，
联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，(4m2−1)y2−32my+48=0，
故Δ=(−32m)2−4×48×(4m2−1)=264m2+192>0且4m2−1≠0，
y1+y2=32m4m2−1，y1y2=484m2−1，
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线NA2方程y=y2x2−2(x−2)，
故x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1−2)y1(my2−6)
=my1y2−2(y1+y2)+2y1my1y2−6y1
=m⋅484m2−1−2⋅32m4m2−1+2y1m⋅484m2−1−6y1
=−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1=−13，
故x+2x−2=−13，解得x=−1，
所以xP=−1，
故点P在定直线x=−1上运动．
19.(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx+1，f(1)=e+1，
则f′(x)=ex−1x，f′(1)=e−1，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e−1)(x−1)+e+1，
即y=(e−1)x+2；
(2)证明：f(x)的定义域为(0,+∞)，则f′(x)=aeax−1x(x>0)，
令函数g(x)=f′(x)，则g′(x)=a2eax+1x2>0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，即f′(x)在(0,+∞)上单调递增；
(3)证明：由(2)得，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为a>0，由f′(12a)=ae12−2a0，
可知存在唯一实数x0∈(12a,1a)，使得f′(x0)=aeax0−1x0=0，
即eax0=1ax0，可得eax0=1ax0,−lnx0=ax0+lna，
当x∈(0,x0)时，f′(x)0，则f(x)在(x0,+∞)上单调递增；
所以f(x)的极小值为f(x0)=eax0−lnx0+a=1ax0+ax0+lna+a
≥2 1ax0⋅ax0+lna+a=2+a+lna，
当且仅当x0=1a时，等号成立，
因为x0∈(12a,1a)，所以f(x0)>2+a+lna，
所以f(x)>2+a+lna．