四川省成都市第七中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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一项是符合题目要求的.
1. 复数 （ 为虚数单位）的实部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简，再根据复数定义判断实部即可.
【详解】复数 ，则复数的实部为 .
故选：B.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别化简两个集合，根据交集的运算可得答案.
【详解】由题意， ，所以 .
故选：B
3. 等差数列 的公差 ，若 成等比数列，以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可以得到 ，进而将式子化为基本量求出 ，进而求解判断各选项即可.
【详解】由 成等比数列，得 ，
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则 ，又 ，
则 ，解得 （舍去）或 ，
则 ， .
故选：C
4. 已知直线 是曲线 的切线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列式求出 值.
【详解】设直线 与曲线 相切的切点为 ，
求导得 ，则 ，所以 ， .
故选：A
5. 已知两个非零向量 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：D.
6. 若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
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【答案】B
【解析】
【分析】令 得 ，令 得 ①，令 得
②，联立即可求解.
【详解】∵ ，令 得 ，令 得
①，令 得 ②，（①+②）÷2 得
，则 ，
故选：B.
7. 若过圆 内不同于圆心 的点 恰好可以作 5 条长度为正整数的弦，则点 到点 的距
离 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点 的最短弦长的取值范围，从而得到点 与圆心之
间距离的取值范围.
【详解】由 得 ，所以圆 的圆心为 ，半径 ，
因为直径是最长的弦，所以点 在圆内，过点 的弦中，直径是最长的弦，长度为 ，
以下分析过点 的最短的弦，
由垂径定理知， ，其中 为圆心 到弦 的距离，
要使得 最短，则 最大，
由图可知， ，当 时， 取到最大值，此时弦长 最短，
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根据圆的对称性，这 5 条长度为正整数的弦长度分别是 ，
要使得有两条长度为 4 的弦，则最短弦长小于 4，要使得没有长度为 3 的弦，则最短弦长大于 3，
因此，过点 的最短的弦长 ，
因为弦长最短时 ，所以 ， ，
，
故选：B
8. 四面体 为正三棱锥，其侧棱 ，底面边 ，底面 ABC 的中心为 ，将一半径
为 的半球放于棱锥内部，半球的底面与棱锥底面 重合，且半球底面圆心与点 重合，将另一半径
为 的小球放置于该半球正上方且该球与三棱锥的三侧面都相切，当 最小时， 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，连接 并延长交 于点 ，易得球心 在线段 上，连接 ，则球 必与
相切，设切点为 ，连接 ，根据几何关系可求得 ，进而化简
，进而求解即可.
【详解】连接 ，连接 并延长交 于点 ，
因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥 的三个侧面均相切，故其球心 在线段 上，连接
，则球 必与 相切，设切点为 ，连接 .
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由题意，球 的半径为 ，半球 的半径为 ，
而 ，
则 ，
易得 与 相似，故有 ，则 ，即 ，
因 ，即 ，
则 ，
该二次函数的开口向上，对称轴为 ，
故 时， 最小，此时 满足题意.
故选：A.
二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 已知正方体 的棱长为 1，则以下说法正确的是（ ）
A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 二面角 所成角的大小为
C. 直线 与直线 所成的角为
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D. 点 到平面 的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角的余弦公式与点到平面距离公式逐项计算即可得.
【详解】以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 、
、 、 ；
对 A：由 轴 平面 ，则平面 的法向量可为 ，
又 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
则 ，故 A 正确；
对 B： 、 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，取 ，则 ，
设二面角 所成角的大小为 ，
又平面 的法向量为 ，
则 ，
故二面角 所成角的大小为 ，故 B 正确；
对 C： 、 ，
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设直线 与直线 所成的角为
则 ，
故直线 与直线 所成的角为 ，故 C 正确；
对 D： 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，取 ，则 ，
则点 到平面 的距离 ，故 D 错误.
故选：ABC.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个样本的平均数为 3，若添加一个新数据 3 组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差不变
B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数 越小，则它们的线性相
关程度越弱
C. 数据 的极差为 40，则这组数据的第 百分位数为 79
D. 已知随机变量 ，且 ，则
【答案】CD
【解析】
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【分析】根据平均数及方差公式计算可得选项 A；根据样本相关系数的概念可得选项 B；利用极差计算 的
值，结合百分位数的概念可得选项 C；根据正态分布曲线的对称性即可得 D.
【详解】A：设原样本数据为 ，其平均数 ，
新样本数据为 ，其平均数 ，平均数不变，
原样本数据方差 ，
新样本数据方差 ，
故方差变小，选项 A 错误；
B.：在成对样本数据中，样本相关系数 ，
当 越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当 越接近 0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱，选项 B 错误.
C：除 外，其他数据的最大值为 80，最小值为 41， ，
因为 ，所以 ，故 ，
将数据从小到大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，共 11 个数据，
因为 ，所以这组数据的第 百分位数为第 9 个数，为 79，选项 C 正确；
D：因为随机变量 ，且 ，
根据正态分布曲线关于直线 对称可得 ，
解得 ，选项 D 正确
故选：CD.
11. 函数 的图象上有三个不同的点 .抛物线 的焦点为 ，
下列说法正确的是（ ）
A. 若点 A 的纵坐标为 ，则其范围是
B. 点 B 关于原点的对称点在函数 的图象上
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C. 若点 且 ，则 可能为直角
D. 若点 则
【答案】AD
【解析】
【分析】由换元法，结合正弦函数的性质即可求解 A，根据偶函数的性质即可求解 B，求导，得函数的单调
性以及变化趋势，继而可作出 的大致图象，根据两点距离公式先证明曲线上除点 外，始终在圆
的内部，即可结合图形性质求解 C，根据两点距离公式以及二次函数的性质证明 ,
即可求解 D.
【详解】对于函数 ，令 ，则 ，所以
A 正确.
B 选项：易知 为偶函数，所以 B 选项错误.
C 选项： 记 ，
,由于 ， ，故
，
所以 单调递增， .
所以当 时， 单调递减，且减小速度逐渐变慢；
当 时， 单调递增，且增长速度逐渐变快，
作出 的大致图象：
设 为曲线上任意一点，则 ，
，则 ，故 在 单调递增，故
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，故 ，当且仅当 取到等号，
，故 ，则
，当且仅当 时， ，
设 ，故曲线上除点 外，始终在圆 的内部，
故当 ，结合曲线的凹凸性可得 ，
所以 大于 ，所以 C 选项错误.
D 选项：设点 函数 图象上一点，
且 ，易知
由于 ,
所以
，
所以， .所以 D 正确.
故选：AD.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡上.
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12. 椭圆 的左､右焦点分别为 是椭圆上一点，且
，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由垂直可得 ，即可得答案.
【详解】设 ,则 ，因 ，
由勾股定理得 ，故 ，
则 ， ，则 .
故答案为：
13. 已知随机事件 ， ，若 ， ， ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件概率公式可得 ，再由 ，再结合条件概率的
公式即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，且 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，所以 .
故答案为: .
14. 中， ，现用一张边长为 的正方形纸张将 覆盖，其中一
种情况如图，则此时 的值为__________.
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【答案】
【解析】
【分析】法 1：设 ，结合两角和差正余弦公式计算求参即可求解边长；法 2：设
，再由 计算求解得出 即可求参.
【详解】 中，由余弦定理得
，
所以
法 1：设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
整理可得 ，所以 ，
所以，正方形边长 .
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法 2：设 ，则 ，
由 ，得 ，
化简得 ，即 ，
.
故答案为： .
四､解答题：本大题共 5 小题，其中 15 题 13 分，16-17 题 15 分，18-19 题 17 分.解答应写出文
字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 中， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设 所在直线与轨迹 的另一个交点为 ，当 面积最大且 在第一象限时，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，由题意得到 化简即可；
（2）由三角形面积最大确定 ，再结合弦长公式即可求解.
【小问 1 详解】
设 由 ，得 ，
整理可得 ，
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即点 的轨迹 的方程为 ，
【小问 2 详解】
如图所示：
由题意可得 ，当 A 到 距离最大时，
即纵坐标最大时满足题意，此时 ，
所以 ，
AD 所在直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离 ，半径 ，
可得 .
16. 等腰梯形 中， ，矩形 满足：平面 平面 ，
，如图所示.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的大小；
（3）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰梯形的性质以及长度可证明 ，即可根据面面垂直的性质求证，
（2）根据线面角的定义即可求解，
（3）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角求解.
【小问 1 详解】
不妨设 ，在等腰梯形 中，作 于 ，则
，
，则 ，即 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ,
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1） 平面 知， 是直线 与平面 所成的角且
在 中， ，则 ，
直线 与平面 所成的角的大小为
【小问 3 详解】
以 C 为原点，以 分别为 轴建立直角坐标系如图， ，
，
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所以 .
分别设平面 与平面 的法向量为 ， ，
由 解得 令 ，则 ，
由 解得 取 ，则 .
，
设二面角为 ，由图知 为锐角，所以 .
17. 在 中， 分别是角 所对 边，且满足 .
（1）求 的大小；
（2）点 是边 上一点，且满足 ，
①求 的值；
②求 的值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式解三角形.
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（2）①根据正弦定理，列出方程组，进而求出结果；
②方法一：根据两角和的正弦公式和二倍角公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果；
方法二：根据前面两个小问的结果，列出方程，根据两角和的余弦公式，求出角的值，再根据正弦定理，
求出结果.
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理可得： .
由于 ，则 ，所以
由于在 中， ，
代入上式化简得： ，则 ，
由于 ，所以 ；
【小问 2 详解】
①由于 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，由于满足 ，
所以 ，
②法 1.由于在 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
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由于 ，则 ，
所以则 或 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，则 ，与已知矛盾.
综上， .
法 2.由①知 ，又由（1）知
且 ，在 中， ，
，
又 ，故 ，又 ，所以 ，
所以 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，
①求 的单调区间；
②讨论 的零点个数；
（2）若函数 在区间 上有最小值，求正实数 的取值范围.
【答案】（1）①答案见解析；②答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①首先求 ，讨论 和 两种情况函数的单调性，②根据①的结论，结
合函数的单调性，以及零点存在性定理，讨论函数极大值和 0 比较，从而确定函数的零点个数；
（2）由端点值的正负，以及利用导数判断函数的单调性，以及零点，讨论函数存在最小值时的正实数 得
到取值范围.
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【小问 1 详解】
①由题可得 的定义域为 ，
当 时， 恒成立， 单调递增，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为
②由①可知，
当 时， 在 单调递增，只有一个零点 1，
当 时， 在 上单调递增，又 .
由零点存 定理知， 在 只有一个零点；
当 时， .
在 ，即 时，且 时， ， ， ，所以 有两
个不同零点；
在 ，即 时， 只有一个零点；
在 ，即 时， 无零点；
综上，当 时， 零点个数为 0；
当 或 时， 零点个数为 1；
当 时， 零点个数为 2.
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【小问 2 详解】
函数
若 ，得
从而 在 上存在零点，故 在 上有最小值 0.
若 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
而 在 上恒成立，故 在 上为减函数，
故 ，故 在 上无最小值.
当 时，在 时， ，在 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数
又 ，
故 在 上存在唯一零点 ，当 时， ，
当 时， ，故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 .
若 ，则 ，此时 ，符合题意；
若 ，则 ，故 在 存在零点，故 ，符合题意.
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 在
上递增，在 上递减，且
在 上恒成立，故 在 上为增函数，而 ，
故此时 在 上无最小值.
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综上， 或 .
正实数 的取值范围是 .
19. 我们称 元有序实数组 为 维向量， 为该向量的范数.
（1）已知 维向量 ，其中 ，记范数为奇数的 的个数为 ，
①求 ；
②求 （用含 的式子表示， ）；
（2）设集合 ，若
，定义 .记 ，求 的分
布列与数学期望（用含 的式子表示）.
【答案】（1）① ， ；②
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题目定义，分析 出现时的情况，对其分类讨论，再根据组合计数原理，求出结果
即可，根据乘法原理和加法原理，列出方程组，进而求出 .
（2）根据 的通项公式，和二项式定理的概念，求出分布列，根据分布列求出数学期望即可.
【小问 1 详解】
①当 时，范数为奇数，则 的个数 1，
根据乘法原理 ，
当 时，范数为奇数，则 的个数为偶数，即 0 的个数为 0，2，
根据乘法原理和加法原理得到 .
②当 为偶数时，范数为奇数，则 的个数为奇数，即 0 的个数为 ，
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根据乘法原理和加法原理得到 ，
，
，
两式相减得到 ；
当 为奇数时，范数为奇数，则 的个数为偶数，即 0 的个数为 ，
根据乘法原理和加法原理得到 ，
，
，两式相加得到 .
综上所述： .
【小问 2 详解】
若 ，则 ，与 为不相等的向量矛盾，
所以随机变量 的可能取值有 ，
对于 的随机变量，在坐标 与 中有 个对应位置上的值均为 1，剩
下 个对应位置上的值有 3 种对应关系，
且 个对应位置上的值不能同时为 0，否则，两个向量相等，此时所对应情况数为 种.
中元素的个数为 个，所以
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
第 22页/共 23页
所以随机变量 的数学期望为 ，
令 ，因为 ，可得：
其中 ，
因为 ，
所以 ，
.
所以 .