邢台市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷

这是一份邢台市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在直三棱柱中，，，.若点P满足，且点P在平面内，则( )
A.B.C.D.1
2．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是( )
A.B.C.D.
3．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
4．过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数m的取值范围是( ).
A.B.
C.或D.
5．如图，空间四边形中，，，，点M在上，，点N为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6．二面角的棱上有A、B两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为( )
A.B.C.D.
7．已知圆和点，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足，则的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
8．如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知点和圆O：，则下列选项正确的有( )
A.若点P在圆O内，则直线与圆O相交
B.若点P在圆O上，则直线与圆O相切
C.若点P在圆O外，则直线与圆O相离
D.若直线AP与圆O相切，A为切点，则
10．已知圆，直线.则下列结论正确的是( )
A.当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
B.对于任意实数m，直线l恒过定点
C.若圆C与圆恰有三条公切线，则
D.若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为
11．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点E在棱上，且，则下列说法正确的是( )
A.若，且，则三棱锥体积为定值
B.若，则动点P所围成的图形的面积为
C.若，则的最小值为3
D.若动点P满足，则P的轨迹的长度为
三、填空题
12．人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为.现已知平面的方程为，直线l的方向向量为，则直线l与平面所成角是________.
13．已知曲线，，，若圆与，，都相切，则圆C的标准方程为________.
14．若过圆内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦，则符合条件的点P构成的区域的面积为________.
四、解答题
15．如图，在边长为3的正方形中，E，F分别在边，上，，，将沿翻折，使得点D与点P重合，且平面平面，
(1)证明：平面且.
(2)求平面与平面的夹角.
16．已知、、为圆C上的三点.
(1)求圆C的方程；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为6，求l的方程.
17．如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)若平面，证明：；
(2)若A，B，C，D四点共圆，且二面角的余弦值为，求.
18．如图，正方体的棱长为a，M，N是棱，上的点，且（）.
(1)证明：过B，M，N三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形；
(2)若，求直线与所成角的余弦值；
(3)设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，证明：.
19．在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若上存在两个不同的点M，N，对于上任意满足的两个不同的点P，Q，都有，则称点A是的关联点，称的大小为点A与的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，的半径为1.
①在点，，中，点__________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为__________；
②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为__________；
(2)已知点，，，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为.若，直接写出t的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：，
且点P在平面内，
，.
故选：B.
2．答案：A
解析：由圆，可知，即，
，A选项正确，
，不一定小于0，B选项错误，
，不一定小于0，C选项错误，
，不一定小于0，D选项错误.
故选：A
3．答案：B
解析：对于A，因，
即，，共面，故A不合题意；
对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，
故，，不共面，即B符合题意；
对于C，因，
即，，共面，故C不合题意；
对于D，因，
即，，共面，故D不合题意.
故选：B.
4．答案：D
解析：当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为或，
所以或，
所以或.
综合得实数m的取值范围是.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为，N为中点，，，，
所以.
故选：B
6．答案：B
解析：如图，二面角的棱上有A、B两点，
平面、平面，在平面内做，且，
连接，则四边形是长方形，
所以为二面角的平面角，设为，
由，，，平面，
所以平面，由，可得平面，
因为平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
因为，所以.
故选：B.
7．答案：C
解析：设，由可得，
整理得，
∴点M在圆上，
且圆心为,半径为，
又∵点在圆上，
∴圆与圆有公共点，
∴，且,
∴，
则的最大值为6，
故选：C.
8．答案：A
解析：点B和点D到平面的距离相等，故平面，
而为平面法向量，故平面平面，
分别过C，作平面的垂线，垂足为E，F，
如图，则E，A，F三点共线，
由，且与中点重合可知.
因此，，故，
进而由易知点到平面的距离为，
又因为与中点重合，且平面，
因此点到平面的距离为，
而点B到平面的距离为，
且，故直线与平面的夹角正弦值为，
易知直线与平面垂直，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
故选：A
9．答案：BD
解析：对于A，点P在圆O内，则，
又点O到直线的距离，
直线与圆O相离，故A错误；
对于B，点P在圆O上，，
又点到直线的距离，
故与圆O相切，
,故B正确；
对于C，点P在圆O外，则，
又点O到直线的距离，
直线与圆O相交，故C错误；
若直线与圆O相切，则点P在圆O外，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：对于A，圆的圆心为，
半径，当时，直线，
则圆心C到直线l的距离为，
因为，
所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误，
对于B，由，
得，由于，
所以，得，
所以直线l恒点，所以B正确，
对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，
所以两圆相外切，由，得，
所以，解得，所以C正确，
对于D，设的中点为，
则可得动点D的坐标为，
因为动点D在圆C上，所以，
化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确，
故选：BCD
11．答案：ABD
解析：对于A，因为动点P在正方体内及其边界上运动，
且，，则动点P的运动轨迹为线段.
由于，平面，所以平面.
故三棱锥的体积为定值，A正确.
对于B，在正方形中，.
在正方体中，因为平面，
又平面，所以.
因为，，，
且，平面，所以平面.
动点在正方体内及其边界上运动，且，
所以动点P围成的图形是矩形，
其面积为，故B正确.
对于C，设边上的高为h，则.
由正弦定理可得，
所以，故.
以A为原点，分别以，，
所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
设，x，y，，
则，.
又，则有，
整理得，
所以动点P的轨迹是以为球心，
为半径且位于正方体内的部分球面.
又，
所以，故C错误.
对于D，由，设，，，
则，
即，
化简得，
表示以为球心，半径为的球.
又，，
则，
即，
化简得，
表示以为球心，半径为的球.
两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，
两球心距离为，半径均为，
则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线l的方向向量，
设直线l与平面所成角为，，
所以，则.
故答案为：.
13．答案：
解析：由，得，
则曲线表示圆的上半部分，
由，得，
则曲线表示圆的上半部分，
由，得，
则曲线表示圆的上半部分，
画出曲线，，如图所示.根据对称性可知，
圆C的圆心在y轴的正半轴上，
设圆C的标准方程为，
则，解得，
故圆C的标准方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由得，
所以圆C的圆心为，半径，
因为直径是最长的弦，所以点P在圆内，
过点P的弦中，直径是最长的弦，长度为，
以下分析过点P的最短的弦，
由垂径定理知，，
其中d为圆心C到弦的距离，
要使得最短，则d最大，
由图可知，，当弦时取到等号，
所以当弦时，d最大，弦长最短，
根据圆的对称性，这5条长度为正整数的弦长度分别是4，5，6，5，4，
要使得有两条长度为4的弦，则最短弦长小于4，
要使得没有长度为3的弦，则最短弦长大于3，
因此，过点P的最短的弦长，
因为弦长最短时弦，
所以，，，
所以点P落在以为圆心，
半径分别为和的圆所夹的圆环内，
所以该区域的面积为，
故答案为：
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为，平面，
平面，所以平面.
取的中点H，连接，.
因为，，
所以，则，所以.
又平面平面，平面平面，
所以平面，所以.
因为，，所以，
所以，
所以.
(2)以B为坐标原点，，的方向分别为x轴､y轴的
正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，.
，
设平面的法向量为，
则，
即
令，得.
设平面的法向量为，
则，
即
令，得.
由，得，
所以平面与平面的夹角为.
16．答案：(1)
(2)和
解析：(1)设所求圆的方程为，
则，
解得.
所以，圆C的方程为：.
(2)如图：
若直线l不存在斜率，则根据对称性得，
此时，点A到直线l的距离为2，
所以.
所以直线不为所求.
若直线l存在斜率，设为k，
则直线l：，即.
圆心到直线l的距离为：，
所以弦的长度为.
由点A到直线l的距离为：.
所以
.
由
所以
或.
由
.
因为
，
所以，
所以
或.
由
，
此时，
所以方程无解.
综上或，
所以直线l的方程为：
或，
即或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在中，因为，，
可得，所以，
又因为底面，
且底面，所以，
因为，且平面，
所以平面，
又因为平面，
平面，且平面平面，
所以，所以平面，
因为平面，所以.
(2)由(1)知，因为A，B，C，D四点共圆，可得，
以D为原点，以，所在直线分别为x轴和y轴，
过点D平行于的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，
设，，则，即，
可得，
，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，，所以，
因为二面角的余弦值为，
可得，
解得，
因为，所以，即的长为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)在正方体中，在上取点E，
使得，连接，
由，
得四边形是平行四边形，则，
又，
则，，四边形是平行四边形，
因此，，
又，
则四边形为平行四边形，，
于是，
四边形为平行四边形，
所以过B，M，N三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形.
(2)以D为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，
因此，
所以直线与所成角的余弦值为.
(3)依题意，平面，平面，
则平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为，
而，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
则，
又平面的法向量为，
则，
所以.
19．答案：(1)①，60
②
(2)
解析：(1)①根据定义可得：当A在上时，不存在都有，
当A在内部时过A的直径使得的关联角度为，
当A在的外部时，且，为的切线时，大；
如图，是的关联点且其与的关联角度小于，
与的关联角度为，与的关联角度大于，
∵，的半径为1，
∴，，且是的切线，
∴，∴
∴，即与的关联角度为.
故答案为：，60.
②根据定义可得B为外一点，
∵，的半径为1，
∴，当时，
如图，取点，则，
∴，
∴m的最小值为，
故答案为：.
(2)由(1)可得，当A在圆的外部时，
且，为圆的切线时，最大，点A距离圆心最近.
∵，∴当时，
由，如图，
∴四边形是矩形，
由∵∴四边形是正方形，∴
当时，
∵点，，
经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则，
∴上距离T最近的点在的圆环内.
①若线段均内，线段上所有的点都是的关联点，
这些点与的关联角度的最大值均为若，如图，
则.
②若线段均在外，则上距离T最近的点在的圆环内.
当时，如图：
则；
当时，如图：
则.
综上可知：或或.
所以所求t的取值范围为.